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2026秋人教九上数学AI赋能完全备课【导学案】
第25章 一元二次方程
数学活动：探究方程有公共解的条件和神奇的线段分割
【学习目标】
1. 通过探究，归纳方程有公共解的条件，理解线段分割的数量关系，尝试尺规作图实现特定分割.
2. 经历“猜想一验证一推导”的探究过程，提升逻辑推理与数形结合能力，在互动中感受数学的关联性，激发主动探究的兴趣.
学习重点：通过探究，归纳方程有公共解的条件，理解线段分割的数量关系，尝试尺规作图实现特定分割.
学习难点：通过探究，归纳方程有公共解的条件，理解线段分割的数量关系，尝试尺规作图实现特定分割.
【复习导入】
如何解决下列两个任务：
任务一：“三个一元二次方程，系数不同却有公共解”背后藏着什么规律？
任务二：线段分三段，既要“最长段＝另两段和”，又要满足分式等式，是巧合还是必然？
【合作探究】
探究点一：探究方程有公共解的条件
活动1：已知 abc≠0，下列方程：
ax + bx + c = 0， ①
bx + cx + a = 0， ②
cx + ax + b = 0. ③
恰有一个公共解. 给出 a，b，c 满足的条件，并求出方程①②③的解.
问题1：要找三个方程的公共解，第一步可以怎么做？
问题2：将 k 代入三个方程，能得到什么式子？
问题3：如何处理这三个式子，得到 a，b，c 的关系？
归纳小结
多个方程公共解问题的通用思路：
设公共解 → 代入方程 →构造关系式→分析系数条件
探究点二：探究方程有公共解的条件
活动2 神奇的线段分割
王芳：李明，我们来做个智力游戏吧. 你能把任意一条线段分成两两不等的三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和吗？
李明：这简单，你来试试这个. 还是把一条线段分成两两不等的三条线段，如果三条线段的长度分别为 a，b，c，且 a > b > c，你能找到合适的 a，b，c，使 a = b + c 和 同时成立吗？
思考：怎么用尺规作出李明提出的问题中线段的两个分点？
当堂反馈
1. 已知三个一元二次方程：x + bx + c = 0、bx + cx + 1 = 0、cx + x + b = 0 有唯一公共解，且 b = 2，则 c = .
2. 将一条长为 10 cm 的线段分成三段 m，n，p ( p 为最长段)，满足 p = m + n 且
. n 与 m 的数量关系 .
参考答案
【合作探究】
探究点一：探究方程有公共解的条件
活动1：
问题1：设公共解为 k
问题2：
问题3：将三式相加：(a + b + c)k + (b + c + a)k + (c + a + b) = 0
提取公因式：(a + b + c)(k + k + 1) = 0
分析：k + k + 1 = 因此必有 a + b + c = 0.
当 a + b + c = 0 时，c = －a－b，代入方程①: ax + bx－a－b = 0
因式分解：a(x －1) + b(x－1) = 0
(x－1) [ a(x + 1) + b] = 0解得 x = 1 或
验证：将 x = 1 代入方程 ②、③，均满足 a + b + c = 0，因此公共解为 x = 1，条件为a + b + c = 0 (abc≠0).
探究点二：探究方程有公共解的条件
活动2 神奇的线段分割
王芳：
依据“线段和差的拼接规则”：若线段总长为
L = a + b + c，当 a = b + c 时，只需在原线段上先截取长为 b 的段，再截取长为 c 的段，剩余部分即为 a (a = L － b － c = b + c )，可实现共线的三段分割.
李明：
思考：
当堂反馈
1. －3
2.
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