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2026年上海市虹口区中考数学三模试卷
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
2．下列是四款比较常用的工具的图标，其中是中心对称图形的是（　　）
A．千问 B．
C． D．元宝
3．判断关于的方程根的情况（　　）
A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
4．对于数据：1、1、1、2、3、4、5、6、6、50，能较好反映这组数据平均水平的是（　　）
A．这组数据的平均数 B．这组数据的中位数
C．这组数据的众数 D．这组数据的方差
5．在矩形中，，，与直线相切．如果与相交，且点在内，那么的半径长可以是（　　）
A．6 B．10 C．14 D．18
6．如图，在锐角△中，以点为圆心长度为半径作弧，交边于点，交边于点，联结．如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．计算：　　．
8．分解因式：　　 ．
9．方程的解是 　　 ．
10．函数的定义域是　　 ．
11．将正比例函数的图象向下平移3个单位长度后，得到的新函数的图象对应的解析式是　　 ．
12．某公司举行抽奖活动，不同颜色的球可以得到对应不同的奖品．小郭前两次已经摸出1个蓝球和1个黑球，此时抽奖箱中还有3个蓝球，1个黑球和1个白球，它们除了颜色外都相同．小郭随机摸一个球，恰好摸出尚未取得颜色的球的概率是　　 ．
13．某校在科技节主题讲座的筹备过程中，随机抽样了100位学生关于元宇宙、脑机接口和人形机器人三种主题的兴趣偏好，有10位同学表示都没有兴趣，在剩余作出选择的90位同学中，调查情况如图所示，那么全校1500名学生中，对于脑机接口有兴趣的人数约有　　 人．
14．图1是公园里的一个秋千．如图2，从侧面看，线段表示绳索的静止状态，测得此时点到地面的距离是20厘米．小李同学坐上秋千后，将点向后抬起到点，此时测得，点到地面的距离是50厘米．已知绳索长度保持不变（即，那么绳索的长度约是　　 厘米．（参考数据：，，
15．如图，已知△中，中线、相交于点，设，，那么用向量、表示向量　　 ．
16．如图，正六边形位于正方形内，它们的中心重合于点，且．已知正方形的边长为10，正六边形的边长为4，那么点到边的距离为　　 ．
17．如图，在正方形网格上建立直角坐标系，轴、轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度．反比例函数在第一象限的图象被撕掉了一部分，已知点、在格点上，由图中给出的信息，我们可以得到的值是　　 ．
18．我们规定，如果一个圆与一个四边形的各边都有两个公共点，且各边截取的弦长都相等，那么这个圆叫做这个四边形的“等截圆”．如果一个上底为3、腰长为4的等腰梯形存在各边截得弦长均为2的“等截圆”，那么该“等截圆”的半径长是　　 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19．计算：．
20．解方程：．
21．某公司生产一种产品，当年产量至少为20吨，但不超过100吨时，其每吨的售价（万元）与年产量（吨的函数关系如图所示．
（1）求关于的函数解析式；（不用写定义域）
（2）当这种产品的总售价为2400万元时，求该产品的年产量．（注：总售价每吨售价年产量）
22．如图1，将一张正方形纸片对折，使与重合，展开后，得到折痕平分了正方形的边．如图2，将边翻折到与重合，得到折痕，点、就分别是边、的一个四等分点．那么是否可以利用折纸得到正方形边上的三等分点、五等分点呢？
（1）同学们组成探究小组，对这个问题进行探索，得到了一些方案．
①“爱探”小组得到的方案是：如图3，将边沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在折痕上，把折痕与边的交点标记为，点就是边的一个三等分点，请你验证这个方案的正确性；
②“爱究”小组得到的方案是：如图4，将正方形纸片沿翻折，得到折痕，再将边沿过点的直线折叠，使得边的对应边落在上，那么这条直线与边的交点就是一个边的三等分点．请你验证这个方案的正确性；
（2）请你设计一种方案，不借助其他工具，仅利用折叠正方形纸片得到折痕，确定正方形边的一个五等分点，画出示意图并简述折叠过程，说明理由．（可模仿（1）中方案叙述的语言）
23．如图，已知在四边形中，，，点是对角线上一点，联结、，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）延长交边于点，当时，求证：．
24．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴正半轴交于点，且，联结．
（1）用含的代数式表示抛物线的对称轴；
（2）设抛物线与轴的另一个交点为点，过点作，与抛物线交于第四象限的点，设点的横坐标为．
①求与的等量关系，并求出的取值范围；
②在轴负半轴上有一点，联结、，如果射线与射线的交点在的垂直平分线上，，求点的坐标．
25．如图1，已知是半圆的直径，点为延长线上一点，点为上一点，联结交半圆于点，点为半径上一点，联结．
（1）如果，求证：△△；
（2）如图2，，，如果△是以为腰的等腰三角形，求的值；
（3）当时，如果，，平分，求的长．
参考答案
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
解：；
故选：．
2．下列是四款比较常用的工具的图标，其中是中心对称图形的是（　　）
A．千问
B．
C．
D．元宝
解：是中心对称图形，，，不是中心对称图形，
故选：．
3．判断关于的方程根的情况（　　）
A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
解：，
△，
，
，
△，
关于的方程有两个不相等的实数根，
故选：．
4．对于数据：1、1、1、2、3、4、5、6、6、50，能较好反映这组数据平均水平的是（　　）
A．这组数据的平均数 B．这组数据的中位数
C．这组数据的众数 D．这组数据的方差
解：能较好反映这组数据平均水平的是这组数据的中位数；
故选：．
5．在矩形中，，，与直线相切．如果与相交，且点在内，那么的半径长可以是（　　）
A．6 B．10 C．14 D．18
解：如图，连接，
四边形为矩形，
，，
由勾股定理得：，
与直线相切，
的半径为6，
与相交，且点在内，
，
则的半径长可以是14，
故选：．
6．如图，在锐角△中，以点为圆心长度为半径作弧，交边于点，交边于点，联结．如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（　　）
A． B． C． D．
解：联结，
以点为圆心长度为半径作弧，交边于点，交边于点，
，
，，
，
，
，
，
要求出的度数，只需知道的度数，
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．计算：　　．
解：
．
故答案为：．
8．分解因式： ．
解：．
故答案为：．
9．方程的解是 ．
解：将方程的两边同时平方，得：，
解得：，
当时，，
是该方程的解，
方程方程的解是．
故答案为：．
10．函数的定义域是 ．
解：由题意，得，
解得，
故答案为：．
11．将正比例函数的图象向下平移3个单位长度后，得到的新函数的图象对应的解析式是 ．
解：将正比例函数的图象向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数解析式是，
故答案为：．
12．某公司举行抽奖活动，不同颜色的球可以得到对应不同的奖品．小郭前两次已经摸出1个蓝球和1个黑球，此时抽奖箱中还有3个蓝球，1个黑球和1个白球，它们除了颜色外都相同．小郭随机摸一个球，恰好摸出尚未取得颜色的球的概率是 ．
解：抽奖箱中还有3个蓝球，1个黑球和1个白球，
所有可能出现的结果总数为，其中摸出白球的结果数为1，
小郭随机摸一个球，恰好摸出尚未取得颜色的球的概率是．
故答案为：．
13．某校在科技节主题讲座的筹备过程中，随机抽样了100位学生关于元宇宙、脑机接口和人形机器人三种主题的兴趣偏好，有10位同学表示都没有兴趣，在剩余作出选择的90位同学中，调查情况如图所示，那么全校1500名学生中，对于脑机接口有兴趣的人数约有　500　 人．
解：对于脑机接口有兴趣的人数约为（人．
故答案为：500．
14．图1是公园里的一个秋千．如图2，从侧面看，线段表示绳索的静止状态，测得此时点到地面的距离是20厘米．小李同学坐上秋千后，将点向后抬起到点，此时测得，点到地面的距离是50厘米．已知绳索长度保持不变（即，那么绳索的长度约是　150　 厘米．（参考数据：，，
解：过点作于，则四边形是矩形．
厘米，
（厘米），
在△中，，，
，
解得：厘米，
厘米．
15．如图，已知△中，中线、相交于点，设，，那么用向量、表示向量 ．
解：由题知，
和是△的中线，
点为△的重心，
．
，
．
，
，
．
故答案为：．
16．如图，正六边形位于正方形内，它们的中心重合于点，且．已知正方形的边长为10，正六边形的边长为4，那么点到边的距离为 ．
解：如图，连接，，过点作于点，过点作于点，交于点．
，，
，
，，
△是等边三角形，
，
，
四边形是正方形，边长为10，
，
，
，，，
．
故答案为：．
17．如图，在正方形网格上建立直角坐标系，轴、轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度．反比例函数在第一象限的图象被撕掉了一部分，已知点、在格点上，由图中给出的信息，我们可以得到的值是　4　 ．
解：设，则，
，
，
．
故答案为：4．
18．我们规定，如果一个圆与一个四边形的各边都有两个公共点，且各边截取的弦长都相等，那么这个圆叫做这个四边形的“等截圆”．如果一个上底为3、腰长为4的等腰梯形存在各边截得弦长均为2的“等截圆”，那么该“等截圆”的半径长是 ．
解：由“等截圆”定义，画出对应的等腰梯形和，
作、、、，连接、，，过点作于点，如图，
设该“等截圆”半径为，设为圆心到边的距离，各边截得弦长均为2，则弦长的一半为1，根据圆的弦长公式可得，，
圆心到等腰梯形四边的距离相等，
，
，，为半径，，
等腰梯形是轴对称图形，
圆心在等腰梯形的对称轴上；
，，
，
四边形为矩形，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
同理可得△△，
，
，
在△中，，
，
，
，
在△中，，
，
半径为．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19．计算：．
解：原式
．
20．解方程：．
解：去分母得：，
整理得：，即，
分解因式得：，
解得：或，
检验：当时，，
当时，，
是增根，分式方程的解为．
21．某公司生产一种产品，当年产量至少为20吨，但不超过100吨时，其每吨的售价（万元）与年产量（吨的函数关系如图所示．
（1）求关于的函数解析式；（不用写定义域）
（2）当这种产品的总售价为2400万元时，求该产品的年产量．（注：总售价每吨售价年产量）
解：（1）设关于的函数解析式为，
将，代入得：，
解得：，
关于的函数解析式为；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该产品的年产量为40吨．
22．如图1，将一张正方形纸片对折，使与重合，展开后，得到折痕平分了正方形的边．如图2，将边翻折到与重合，得到折痕，点、就分别是边、的一个四等分点．那么是否可以利用折纸得到正方形边上的三等分点、五等分点呢？
（1）同学们组成探究小组，对这个问题进行探索，得到了一些方案．
①“爱探”小组得到的方案是：如图3，将边沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在折痕上，把折痕与边的交点标记为，点就是边的一个三等分点，请你验证这个方案的正确性；
②“爱究”小组得到的方案是：如图4，将正方形纸片沿翻折，得到折痕，再将边沿过点的直线折叠，使得边的对应边落在上，那么这条直线与边的交点就是一个边的三等分点．请你验证这个方案的正确性；
（2）请你设计一种方案，不借助其他工具，仅利用折叠正方形纸片得到折痕，确定正方形边的一个五等分点，画出示意图并简述折叠过程，说明理由．（可模仿（1）中方案叙述的语言）
解：（1）①四边形是正方形，
，，
折叠，
，，，，，
，，
设，则，，，
，即，
△△，
，即，
，
，
点就是边的一个三等分点；
②根据题意，，，，，
，
折叠，边的对应边落在上，
，，
，
，
，且，
△△，
，即，
，
，
点就是一个边的三等分点；
（2）如图所示，设正方形的边长为，则，
正方形，将边折叠，与边重合，得到线段的中点，将边折叠，与边重合，得到线段的中点，连接，，将边沿直线折叠得到对应点，将边沿直线折叠得到对应点，折痕，交于点，
，是线段的垂直平分线，，，
，
，
，
，则，
将边折叠，使得边与过点垂直于的线段重合，折痕为，
，
，
，
△△，
，即，
解得，
，
，
点即为线段的五等分点，
，
将边折叠与折痕重合，得到折痕，不展开，再将边折叠与折痕重合，得到折痕、，展开，即可得到线段的五等分点，即，，，是线段五等分点．
23．如图，已知在四边形中，，，点是对角线上一点，联结、，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）延长交边于点，当时，求证：．
【解答】证明：（1）连结交于点，如图，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
与互相垂直平分，
四边形为菱形；
（2）四边形为菱形，
，，
，
即，
，
，
△△，
，
．
24．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴正半轴交于点，且，联结．
（1）用含的代数式表示抛物线的对称轴；
（2）设抛物线与轴的另一个交点为点，过点作，与抛物线交于第四象限的点，设点的横坐标为．
①求与的等量关系，并求出的取值范围；
②在轴负半轴上有一点，联结、，如果射线与射线的交点在的垂直平分线上，，求点的坐标．
解：（1）在中，令得，
，，
，
，，
把代入得：，
（点在轴正半轴），
，
，
抛物线的对称轴为直线；
（2）①设交轴于点，过作轴于，如图：
，，
，
，
，
，
，
，，
△△，
，，
，，
轴于，
△是等腰直角三角形，
，
点的横坐标为，，
，
，
把代入得：，
（点在第四象限），
；
，
由点在第四象限知，
解得，
又（点在轴正半轴），
；
②过作于，如图：
在中，令得，
解得，，
，
由，得直线解析式为，
，
，
，
，
射线与射线的交点在的垂直平分线上，
，
，
直线为，
在中，令得：，
解得，
，，
由，，可得直线解析式为，
点在直线上，
，
解得，（舍去），
，．
25．如图1，已知是半圆的直径，点为延长线上一点，点为上一点，联结交半圆于点，点为半径上一点，联结．
（1）如果，求证：△△；
（2）如图2，，，如果△是以为腰的等腰三角形，求的值；
（3）当时，如果，，平分，求的长．
【解答】（1）证明：连接、，如图，
根据圆的半径相等可知：，
，
，
，，
，，
△△，△△，
，，
，
点、、、四点共圆，
，
，，
，
，
△△；
（2）解：连接，如图，
，
设，，即，，
设圆的半径为，即，，
，
，
，，
四边形内接于圆，
，
，
，
，
△△，
，即，
，
解得：（负值舍去），
，即，
，
，即△是直角三角形，
，即，
，
解得：，
，即，
根据△是以为腰的等腰三角形，分情况讨论：
当时时，过点作于点，如图，
△是以为腰的等腰三角形，，
，
，，
，
，即，
，
，
，
，
，
；
当时，
△△，
，即，
解得：，
，
，
，
综上：的值为或；
（3）解：连接，过点作于点，如图，
，
，
，
，
设，，
，，，
，
，
，
四边形内接于圆，
，
，
，
，
，
△△，
，即，
，
，
在△中，，
即，
，
解得，
即，
，
，即，
，
，
，
，
，
平分，
，
又，
，
又，
△△，
，即，
，，
，
，
．

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