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2026年上海市金山区初级中学中考数学诊断试卷
一.选择题（共6小题，每题4分，满分24分）.
1．下列实数中，是有理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．一次函数的图象经过第一、二、三象限，它的解析式可以是（　　）
A． B． C． D．
4．如果正十边形的边长为，那么它的半径是（　　）
A． B． C． D．
5．贾老师从某班随机选取了10位同学上周在校的劳动次数，绘制成如图所示的频数分布直方图（每组包括最小值，不包括最大值）．随后他将其中2个同学的劳动次数分别用字母、代替，得到数据：1，5，4，1，，3，2，，3，4．假如，那么的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知和外切，半径长分别为和．如果半径长是的与、都相切，那么符合题意的最多有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
二.填空题（共11小题，每题4分，满分44分）
7．分解因式：　 　．
8．方程的解是　 　．
9．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是　 　．
10．2026年4月，我国天龙三号大运力火箭成功首飞，推动商业航天快速发展．已知某微型卫星芯片的厚度为0.00000085米，0.00000085用科学记数法表示　 　．
11．如果抛物线向左平移2个单位长度后经过原点，则的值为　 　．
12．如图，电路图上有四个开关、、、和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关、、都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是　 　．
13．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为　 　．
14．如图，已知△中，点、分别在边、上，，、交于点，，设，，那么向量用向量、表示是　 　．
15．温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为　 　米．
16．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知△中，，较短的一条直角边边长为1，如果△是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于　 　．
17．如图，已知在△中，，，，点是斜边上一点，过点作交边于点，过点作的平行线，与过点作的平行线交于点．如果点恰好在的平分线上，那么的长为　 　．
三.解答题（共7小题，满分82分）
18．（10分）计算：．
19．（10分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
20．（12分）如图，在△中，，，．分别以点、为圆心、大于的同样长为半径作弧，两弧相交于点、，直线分别交、于点、．
（1）直线是线段的　 　，　 　；
（2）求点到直线的距离．
21．（12分）已知：如图，在菱形中，，，垂足分别为、，射线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
22．（12分）半马，即半程马拉松，又称二分之一马拉松，目前国际上从众增长最快的赛跑项目，路程长度大约是21公里．如图为某次半马的路线，公里，，为折返点，拐弯路段的长度忽略不计，公里，为半圆路段，为圆心，半径为1公里．根据选手报名人数和赛道宽度等情况，为保证赛道畅通和补给有序，组委会决定采取分区检录、分枪起跑、同地出发的发令方式，具体发令时间如下：
◆第一枪发令时间，区选手出发；
◆第二枪发令时间，区选手出发；
◆第三枪发令时间，区选手出发．
若甲为区选手，平均配速为5分钟公里；乙为区选手，平均配速为5.5分钟公里．（平均配速是指每公里所需要的时间）
（1）在整个赛程中，甲、乙共有几次相遇，并求甲、乙在距离起点多少公里处相遇；
（2）此次比赛，冠军用时1小时3分钟．已知丙为区选手，甲出发17分钟时，甲、乙、丙三人所在的位置分别为，，，当，，三点中，有一点恰好是另外两点为端点的线段的中点时，求丙的平均配速．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．
（1）求点和点的坐标；
（2）若点与点关于抛物线的对称轴对称，联结，，若平分，求抛物线的表达式；
（3）若点是抛物线第四象限上一动点，联结、、、，线段与线段交于点，与轴交于点，当时，求的值．
24．（14分）如图，在△中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），联结、分别交边于点、，．
（1）当时，求的长；
（2）设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）联结并延长交边于点，如果△是等腰三角形，请直接写出的长．
参考答案
一.选择题（共6小题，每题4分，满分24分）
1．下列实数中，是有理数的是（　　）
A． B． C． D．
解：、，是无限不循环小数，故是无理数；
、是无限不循环小数，故是无理数；
、是分数，属于有理数；
、开方开不尽，是无限不循环小数，故是无理数．
故选：．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：、，故选项错误，不符合题意；
、，故选项错误，不符合题意；
、，故选项正确，符合题意；
、，故选项错误，不符合题意；
故选：．
3．一次函数的图象经过第一、二、三象限，它的解析式可以是（　　）
A． B． C． D．
解：由一次函数的图象经过第一、二、三象限可知，，所以符合题意的只有选项；
故选：．
4．如果正十边形的边长为，那么它的半径是（　　）
A． B． C． D．
解：设是圆内接正十边形的边长，
连接、，过作于点，
则，
，，
，
故选：．
5．贾老师从某班随机选取了10位同学上周在校的劳动次数，绘制成如图所示的频数分布直方图（每组包括最小值，不包括最大值）．随后他将其中2个同学的劳动次数分别用字母、代替，得到数据：1，5，4，1，，3，2，，3，4．假如，那么的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
解：由频数分布直方图可知，大于等于0且小于3的个数为3个，大于等于3且小于6的个数为6个，大于等于6且小于9的个数为1个，
，
，．
故选：．
6．如图，已知和外切，半径长分别为和．如果半径长是的与、都相切，那么符合题意的最多有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
解：当与和一个外切一个内切时，如图所示，
．
当与和都外切时，如图所示，
．
当与和都内切时，如图所示，
．
综上所述，符合题意的最多有6个．
故选：．
二.填空题（共11小题，每题4分，满分44分）
7．分解因式：　　．
解：．
故答案为：．
8．方程的解是 ．
解：平方，得
，
解得，
故答案为：．
9．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是　　．
解：由题意可知：△，
，
故答案为：
10．2026年4月，我国天龙三号大运力火箭成功首飞，推动商业航天快速发展．已知某微型卫星芯片的厚度为0.00000085米，0.00000085用科学记数法表示 ．
解：．
故答案为：．
11．如果抛物线向左平移2个单位长度后经过原点，则的值为　4　 ．
解：由题意得，抛物线向左平移2个单位长度后的解析式为，
抛物线向左平移2个单位长度后经过原点，
，
解得．
故答案为：4．
12．如图，电路图上有四个开关、、、和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关、、都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是 ．
解：画树状图得：
共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，
小灯泡发光的概率为：．
故答案为：．
13．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为 ．
解：斜面的坡度为，
故答案为：．
14．如图，已知△中，点、分别在边、上，，、交于点，，设，，那么向量用向量、表示是 ．
解：，
，
，
，
，
△△，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 　20　 米．
解：由题知，
垂直平分，
所以圆弧所在圆的圆心在延长线上．
连接，
因为垂直平分，
所以（米．
设的半径为米，
则米．
在△中，
，
解得，
所以这个弧形石拱桥设计的半径我20米．
故答案为：20．
16．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知△中，，较短的一条直角边边长为1，如果△是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于 ．
解：“有趣中线”有三种情况：
若“有趣中线”为斜边上的中线，直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不合题意；
若“有趣中线”为边上的中线，则“有趣中线”为1，不符合题意；
若“有趣中线”为另一直角边上的中线，如图所示，，
设，则，
在△中，根据勾股定理得：，即，
解得：，
则这个三角形“有趣中线”长等于．
故答案为：．
17．如图，已知在△中，，，，点是斜边上一点，过点作交边于点，过点作的平行线，与过点作的平行线交于点．如果点恰好在的平分线上，那么的长为 ．
解：在△中，，，，
，，
，
，
，
△△，
，
设，则，，
，
，
，
，，
平分，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
解得，
，
故答案为：．
三.解答题（共7小题，满分82分）
18．（10分）计算：．
解：原式
．
19．（10分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
20．（12分）如图，在△中，，，．分别以点、为圆心、大于的同样长为半径作弧，两弧相交于点、，直线分别交、于点、．
（1）直线是线段的 　垂直平分线　 ，　　 ；
（2）求点到直线的距离．
解：（1）由作法得垂直平分，
，．
故答案为：垂直平分线；4；
（2）过点作于点，如图，
在△中，，
，
，
，，
，
，
，
在△中，，
，
即点到直线的距离为2．
21．（12分）已知：如图，在菱形中，，，垂足分别为、，射线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【解答】证明：（1）四边形是菱形，
，，，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
；
（2），
，
，
△△，
，
由（1）知：△△，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
即．
22．（12分）半马，即半程马拉松，又称二分之一马拉松，目前国际上从众增长最快的赛跑项目，路程长度大约是21公里．如图为某次半马的路线，公里，，为折返点，拐弯路段的长度忽略不计，公里，为半圆路段，为圆心，半径为1公里．根据选手报名人数和赛道宽度等情况，为保证赛道畅通和补给有序，组委会决定采取分区检录、分枪起跑、同地出发的发令方式，具体发令时间如下：
◆第一枪发令时间，区选手出发；
◆第二枪发令时间，区选手出发；
◆第三枪发令时间，区选手出发．
若甲为区选手，平均配速为5分钟公里；乙为区选手，平均配速为5.5分钟公里．（平均配速是指每公里所需要的时间）
（1）在整个赛程中，甲、乙共有几次相遇，并求甲、乙在距离起点多少公里处相遇；
（2）此次比赛，冠军用时1小时3分钟．已知丙为区选手，甲出发17分钟时，甲、乙、丙三人所在的位置分别为，，，当，，三点中，有一点恰好是另外两点为端点的线段的中点时，求丙的平均配速．
解：（1）设甲、乙在距离起点公里处相遇，则
，
解得：，
故甲、乙在距离起点10公里处相遇，且甲乙共有1次相遇．
故答案为：1．
（2）冠军用时1小时3分钟，
冠军的平均配速约为3分钟公里，
丙的平均配速分钟公里，
设丙的平均配速为分钟公里，
，，
，
①如图，
当为中点时，得，
即，
解得：，
故丙的平均配速为分钟公里；
②如图，
当为中点时，得，
即，
解得：，
故丙的平均配速为分钟公里；
③如图，
当为中点时，得，
即，
解得：（舍去），
综上丙的平均配速为分钟公里或分钟公里．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．
（1）求点和点的坐标；
（2）若点与点关于抛物线的对称轴对称，联结，，若平分，求抛物线的表达式；
（3）若点是抛物线第四象限上一动点，联结、、、，线段与线段交于点，与轴交于点，当时，求的值．
解：（1）在中，令得：，
解得或，
，；
（2）如图：
，
抛物线的对称轴为直线，
在中，令得，
，
点与点关于抛物线的对称轴直线对称，
，轴，
，
平分，
，
，
，
，，，
，
解得或，
，
，
抛物线的表达式为；
（3）如图：
，
，
，
直线解析式为，
，
，
，
设直线解析式为，
把代入得：，
，
直线解析式为，
联立，
解得或，
，
由，得直线解析式为，
在中，令得，
，，
，，
，，
．
24．（14分）如图，在△中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），联结、分别交边于点、，．
（1）当时，求的长；
（2）设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）联结并延长交边于点，如果△是等腰三角形，请直接写出的长．
解：（1），
，
，
，
由勾股定理得：，
，
△△，
，
，
，
；
（2）如图1，，
，
，
，
，
△△，
，
，
，
△△，
，
，，
，，
同理得：，
，
；
如图2，当点在直线上时，，
，，
△△，
，
的取值范围是；
（3）分三种情况：
①当时，如图3，过点作于，
，
，
，，
，
，
，
△△，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，（舍，
；
②当时，如图4，
由勾股定理得：，
由（2）同理得：，
，
，
，即，
，
解得：，
；
③当时，如图5，过点作于，
设，
，
，
在△中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
综上，的长是或或．
(
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