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2026年上海市静安区市北初级中学中考数学预测试卷
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．函数的自变量的取值范围是（　　）
A． B．且 C． D．
2．下列各式中计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知，满足等式：，，则，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
4．小亮在处理一组数据“23，23，35，44，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
5．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为．若直线与正方形的边有两个公共点，则的取值范围是（　　）
A． B． C．或 D．
6．四边形为矩形，过、作对角线的垂线，过、作对角线的垂线，则四条垂线所在的直线围成的四边形为（　　）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7．若，则的取值范围为　　 ．
8．因式分解：　　 ．
9．若一次函数，为常数，且的图象经过点，，则该函数的解析式为　　 ．
10．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 ．
11．方程的解是　　 ．
12．如图，已知直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中斜边与直线交于点．若，则的度数为　　 度．
13．在△中，设，，点在边上且，用、的线性组合表示　　 ．
14．为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某中学组织了一次国学知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为52，66，50，48，61，54，则这组数据的中位数是　　 ．
15．如图，购买高铁车票时，从，，，，五个座位中随机选择两个，恰好两个座位都靠近窗户的概率是　　 ．
16．对于二次函数，与的部分对应值如表所示．在某一范围内，随的增大而减小，写出一个符合条件的的取值范围 　　 ．
0 1 2 3
1 3 3 1
17．如图，在矩形中，点在上，连接并延长，交的延长线于点．如果，，那么的长是　　 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，分别是边，上的点，已知点，，连接，则△的周长为 　　 ．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．如图，在平面直角坐标系中，的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标分别为，反比例函数的图象经过点，．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）将向上平移，当点落在反比例函数的图象上时，求出平移的距离．
20．如果关于的分式方程的解为正数，求常数的取值范围．
21．乒乓球台（如图①的支架可近似看成圆弧，其示意图如图②，与所在的直线过弧所在圆的圆心，直线与弧所在的圆相切于点，连接，，且，．若弓形的高为，，且，求的长．
22．为助力成都“公园城市”示范区建设，某社区开展“绿色家园绿植认养”公益活动，计划购进、两种绿植共500盆用于居民认养．
（1）已知购进2盆种绿植和3盆种绿植共需90元，购进3盆种绿植和1盆种绿植共需65元．求、两种绿植的进货单价分别是多少元；
（2）该社区计划种绿植的认养单价为25元盆，种绿植的认养单价为35元盆．根据前期居民调研，种绿植的认养数量不低于种绿植认养数量的．绿植供应商给出如下优惠：若购进种绿植超过200盆，则超出部分每盆进货单价降价3元，种绿植的进货单价保持不变．设购进种绿植盆，本次活动的总利润为元．
①求与之间的函数关系式；
②如何安排进货方案，才能使本次活动的总利润最大？最大利润是多少元？
23．如图1，正方形的边长为，在△中，，，连接，且．
（1）若，求的长为　　 ；
（2）如图2，连接交于点，若是的中点，求证：；
（3）在（2）问的条件下，求出的长．
24．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点为P，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）若a＝﹣1．
①当b＝4，c＝﹣3时，求点P的坐标；
②点A（﹣2，0），C（0，2），点D在抛物线上，∠CAD＝90°，点G在AD上，当△BCG的周长最小时，求出点G的坐标；
（2）a＞0，点O为原点，OB＝OC，点E在线段BC上，BC＝4BE，点F在抛物线上，OE⊥OF，且OE＝OF，又点H是第四象限的一动点，满足∠OHB＝90°，连接HF，当HF的最小值为时，求a的值．
25．如图①，已知四边形是的内接四边形，、的延长线交于点，、的延长线交于点，连结，已知．
（1）若，求的度数；
（2）求证：；
（3）如图②，若是直径，，求的值（用含的代数式表示）．
参考答案
一、选择题：共6小题，每小题4分，共24分。
1．函数的自变量的取值范围是（　　）
A． B．且 C． D．
解：由题意得，，
，
函数的自变量的取值范围是．
故选：．
2．下列各式中计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：、，故此选项符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
故选：．
3．已知，满足等式：，，则，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
解：，
，
．
故选：．
4．小亮在处理一组数据“23，23，35，44，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
解：根据平均数、众数、中位数、方差的概念判断哪个统计量不随未知数据的变化改变如下：
设被污染的数据为，由题意得，这组数据共5个数，将数据从小到大排列后，中位数是排列后的第3个数，
，无论在之间取何值，从小到大排序后，前两个数恒为23，23，第三个数恒为35，
中位数始终为35，不发生变化；平均数和方差会随的变化改变，
若，众数变为23和44，众数也会改变，
因此无论在范围内取何值，都不影响这组数据的中位数．
故选：．
5．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为．若直线与正方形的边有两个公共点，则的取值范围是（　　）
A． B． C．或 D．
解：四边形是正方形，点的坐标为，
，把代入得6 ，
解得：，
直线，当时，，
直线通过定点，
当时，直线与正方形的边有两个公共点，
故选：．
6．四边形为矩形，过、作对角线的垂线，过、作对角线的垂线，则四条垂线所在的直线围成的四边形为（　　）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
解：，，
，
同理可得：，
四边形为平行四边形，
四边形矩形，
，，
，，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
四边形为菱形，
故选：．
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7．若，则的取值范围为 ．
解：，
，
解得．
故答案为：．
8．因式分解： ．
解：．
故答案为：．
9．若一次函数，为常数，且的图象经过点，，则该函数的解析式为 ．
解：将点代入解析式：当 时，，解得：．
将 和点代入解析式：当 时，，解得：．
将， 代入，得到函数解析式：，
故答案为：．
10．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
解得：，
的取值范围是．
故答案为：．
11．方程的解是 ．
解：原方程两边同时平方得：，
整理得：，
因式分解得：，
解得：，，
经检验，不是原方程的解，只取，
则原方程的解为，
故答案为：．
12．如图，已知直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中斜边与直线交于点．若，则的度数为　55　 度．
解：如图，过点作，
，
，
，
，
（平行于同一直线的两直线相互平行），
（两直线平行，内错角相等），
．
13．在△中，设，，点在边上且，用、的线性组合表示 ．
解：，，
，
点在边上且，
，
，
故答案为：．
14．为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某中学组织了一次国学知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为52，66，50，48，61，54，则这组数据的中位数是　53　 ．
解：根据中位数定义可知：
重新排列为48，50，52，54，61，66，
这组数据的中位数为，
故答案为：53．
15．如图，购买高铁车票时，从，，，，五个座位中随机选择两个，恰好两个座位都靠近窗户的概率是 ．
解：树状图如下所示，
，
由上可得，一共有20种等可能性，其中恰好两个座位都靠近窗户的可能性有2种，
恰好两个座位都靠近窗户的概率为，
故答案为：．
16．对于二次函数，与的部分对应值如表所示．在某一范围内，随的增大而减小，写出一个符合条件的的取值范围 ．
0 1 2 3
1 3 3 1
解：观察表格知：二次函数的图象经过点和，
对称轴为，
当时，随的增大而减小，
故答案为：．
17．如图，在矩形中，点在上，连接并延长，交的延长线于点．如果，，那么的长是 ．
解：在矩形中，，，
，，，
在△中，由勾股定理得：，
，
，，
△△，
，即，
解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意），
故答案为：．
18．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，分别是边，上的点，已知点，，连接，则△的周长为 ．
解：过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，如图所示：
，
△是直角三角形，
点，
，，
在△中，由勾股定理得：，
四边形是正方形，
，，
，
，
设，，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
△的周长为．
故答案为：．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．如图，在平面直角坐标系中，的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标分别为，反比例函数的图象经过点，．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）将向上平移，当点落在反比例函数的图象上时，求出平移的距离．
解：（1）点，关于轴对称，点的坐标分别为，
，
反比例函数的图象经过点，，
，
反比例函数的表达式为；
（2），，
，
由平行四边形的性质可知，
的边经过原点，
的边经过原点，，
，
，
设将向上平移个单位，点落在反比例函数的图象上，
即点落在反比例函数的图象上，
，
解得．
即将向上平移2个单位，点落在反比例函数的图象上．
故平移的距离为2．
20．如果关于的分式方程的解为正数，求常数的取值范围．
解：关于的分式方程的解为正数，
方程两边同时乘以得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：，
解得，
由题意可得：，
解得，
，
，
，
，
综上所述，常数的取值范围且．
21．乒乓球台（如图①的支架可近似看成圆弧，其示意图如图②，与所在的直线过弧所在圆的圆心，直线与弧所在的圆相切于点，连接，，且，．若弓形的高为，，且，求的长．
解：如图，延长，交于点，则点是弧所在圆的圆心，连接，，设与交于点，
直线与圆相切于点，
，，
，，且，
，
，
，，
，
，弓形的高为，
，
在△中，由勾股定理得，
．
22．为助力成都“公园城市”示范区建设，某社区开展“绿色家园绿植认养”公益活动，计划购进、两种绿植共500盆用于居民认养．
（1）已知购进2盆种绿植和3盆种绿植共需90元，购进3盆种绿植和1盆种绿植共需65元．求、两种绿植的进货单价分别是多少元；
（2）该社区计划种绿植的认养单价为25元盆，种绿植的认养单价为35元盆．根据前期居民调研，种绿植的认养数量不低于种绿植认养数量的．绿植供应商给出如下优惠：若购进种绿植超过200盆，则超出部分每盆进货单价降价3元，种绿植的进货单价保持不变．设购进种绿植盆，本次活动的总利润为元．
①求与之间的函数关系式；
②如何安排进货方案，才能使本次活动的总利润最大？最大利润是多少元？
解：（1）设、两种绿植的进货单价分别是元，元，
，
解得：，
答：、两种绿植的进货单价分别是15元，20元；
（2）①由题意可得：
，且，
解得：，
当时，；
当时，，
；
②当时，此时的最小值为167，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值为6665；
当时，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值为6498；
，
的最大值为6665，此时，
即购进种绿植167盆，种绿植333盆，才能使本次活动的总利润最大，最大利润是6665元．
23．如图1，正方形的边长为，在△中，，，连接，且．
（1）若，求的长为 ；
（2）如图2，连接交于点，若是的中点，求证：；
（3）在（2）问的条件下，求出的长．
【解答】（1）解：正方形的边长为，
，
，，
，
，，
；
故答案为：；
（2）证明：，，
，
，
，
是的中点，
，
△△，
，
四边形是平行四边形，
；
（3）解：连接，，如图，
在△中，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在正方形中，，，，
，
在△中，，
在△中，，
，
在△中，，
，，
，
，
，，
△△，
．
24．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点为P，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）若a＝﹣1．
①当b＝4，c＝﹣3时，求点P的坐标；
②点A（﹣2，0），C（0，2），点D在抛物线上，∠CAD＝90°，点G在AD上，当△BCG的周长最小时，求出点G的坐标；
（2）a＞0，点O为原点，OB＝OC，点E在线段BC上，BC＝4BE，点F在抛物线上，OE⊥OF，且OE＝OF，又点H是第四象限的一动点，满足∠OHB＝90°，连接HF，当HF的最小值为时，求a的值．
解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），a＝﹣1，b＝4，c＝﹣3，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴该抛物线顶点P的坐标为（2，1）；
②∵a＝﹣1，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+bx+c，
抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A（﹣2，0），C（0，2），将点A，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+2，
当y＝0时，得：﹣x2﹣x+2＝0，
解得：x＝﹣2或1，
∴A（﹣2，0），B（1，0），
设直线AC解析式为y＝kx+d，将点A，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线AC解析式为y＝x+2，
如图1，点A（﹣2，0），C（0，2），设直线AD与y轴交于点M，
∴OA＝OC＝2，
∴∠CAO＝∠ACO＝45°，
∵∠CAD＝90°，
∴∠MAO＝90°﹣∠CAO＝90°﹣45°＝45°，
∴∠AMO＝90°﹣∠MAO＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MAO＝∠AMO，
∴OM＝OA＝2，
∴M（0，﹣2），
设直线AD的解析式为y＝k1x+d1，将点A，点M的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣2，
作点C关于直线AD的对称点C′，连接BC′，即C′（﹣4，﹣2），
∴AD⊥CC′、AC＝AC′，
∴AD垂直平分CC′，
∴CG＝C′G，
当C′、G、B在同一直线上时，CG+BG+BC＝C′G+BG+BC＝BC′+BC最小，
设直线BC′解析式为y＝k2x+d2，将点、点C′的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线BC′的解析式为，
联立得：，
解得：，
∴点G坐标为；
（2）当x＝0时，得：y＝c，
∴C（0，c），
∵OB＝OC，
∴OB＝OC＝|c|＝﹣c，
∴B（﹣c，0），
设直线BC解析式为y＝k3x+d3，将点B、点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x+c，
∴，
∵点E在线段BC上，BC＝4BE，
∴，
∴，
如图2，过点E作EP⊥x轴于点P，过点F作FQ⊥y轴于点Q，
∴∠EPO＝∠FQO＝90°，
∴∠EOP+∠PEO＝90°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠FOQ+∠EOP＝90°，
∴∠FOQ＝∠PEO，
在△FOQ和△OEP中，
，
∴△FOQ≌△OEP（AAS），
∴、，
∴，
取OB中点N，连接HN、NF，
∵∠OHB＝90°，，
∴点H在以点为圆心，为半径的⊙N上，
当N，H，F三点共线时，HF最小，
∴，
∴，
解得：c＝﹣4，
∴C（0，﹣4）、B（4，0）、F（﹣1，﹣3），
将点B，点C，点F的坐标分别代入抛物线y＝ax2+bx+c得：
，
解得：．
25．如图①，已知四边形是的内接四边形，、的延长线交于点，、的延长线交于点，连结，已知．
（1）若，求的度数；
（2）求证：；
（3）如图②，若是直径，，求的值（用含的代数式表示）．
【解答】（1）解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
．
（2）证明：在上取一点，使，连接，如图，
，
．
在△和△中，
，
△△，
，，
，
．
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
；
（3）解：在上取一点，使，连接，过点作于点，连接，如图，
由（2）知：，
，
．
，，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
．

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