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2026年上海市闵行区中考数学三模试卷
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（　　）
A． B． C．1 D．1.5
2．下列与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列函数中，函数值随自变量的值增大而增大的是（　　）
A． B． C． D．
4．体育委员帮体育老师记录同学们的跳远成绩，可是由于刻度尺放置错误，导致每个同学的成绩少了，那么下列关于实际成绩与记录成绩的说法中正确的是（　　）
A．平均数改变，方差不变 B．平均数改变，方差改变
C．中位数改变，方差改变 D．中位数不变，方差不变
5．如图，是的直径，是的弦，于点，连接．若，，则的半径的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
6．已知△，求作△的中线，两位同学给出了如下所示的两种方案，对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　）
方案Ⅰ （1）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，； （2）作直线，交于点，联结，即为所求． 方案Ⅱ 作法： （1）分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点； （2）作直线，交于点，即为所求．
A．方案Ⅰ可行、方案Ⅱ不可行 B．方案Ⅰ不可行、方案Ⅱ可行
C．方案Ⅰ、方案Ⅱ都可行 D．方案Ⅰ、方案Ⅱ都不可行
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．　 　．
8．函数的定义域是　　 ．
9．如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是　　 ．
10．已知反比例函数的图象位于第二、四象限，请写出一个符合要求的的值是　　 ．
11．已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是　　 ．
12．在一个不透明的袋子中装有2个白球，个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从袋子中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则　　 ．
13．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在问天实验舱内开讲．进行的太空实验有①毛细效应；②水球变“懒”实验；③太空趣味饮水；④会调头的扳手．某校1500名学生在线观看了“天宫课堂”第三课，并参与了关于“我最喜爱的太空实验”的问卷调查．如果从中随机抽取45名学生的问卷调查情况进行统计分析，并将调查数据整理成下面的条形图，那么估计该校喜欢③太空趣味饮水实验的初中学生有 　　名．
14．宋苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小．据测量，200粒粟的重量大约为1克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为　　 克．
15．如图，在平行四边形中，点在边上，，如果，，那么　　 ．（结果用含、的式子表示）
16．如图，的周长为8，对角线，交于点，延长到点，使，于点，连接，则　　．
17．定义：如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，那么这个二次函数图象的对称轴为　　 ．
18．如图，在矩形中，，，是的中点，是上一点．若以点为圆心，为半径作圆．与线段仅有一个公共点，则的长的取值范围是
　　．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）解方程：．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象与轴交于点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）分别联结、，点是轴上一点，且△的面积等于△面积的2倍，求点的坐标．
22．（10分）已知：如图，在四边形中，，，，是上一点，联结交于点，联结．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，求证．
23．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
探究遮阳伞下的影子长度
素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长2.5米．且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．
素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻12点13点14点15点16点17点太阳高度（度907560453015
素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米．如图2，小明坐的位置记为点．
问题解决
任务1 确定影子长度 若某一时刻测得米， ①　　 米，　　 ； ②求此时影子的长度．
任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？并说明理由．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，且与轴相交于点，点的横坐标为6，抛物线顶点为点．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；
（2）过点作，在直线上点取一点，使得，求点的坐标；
（3）将该抛物线向左平移个单位，所得新抛物线与轴负半轴相交于点且顶点仍然在第四象限，此时点移动到点的位置，，求的值．
25．（14分）已知：在△中，，，．点在边上，与外切于点，且、分别与边、交于点、，联结．
（1）如图1，当时，求的半径；
（2）联结、，当△是直角三角形，且时，求的长；
（3）如图2，联结，射线交于点，射线交于点，记、、、的长分别为、、、，当时，求的度数．
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（　　）
A． B． C．1 D．1.5
解：，，，，
，
的位置距离原点最近，
故选：．
2．下列与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
解：、与不是同类二次根式，故不符合题意；
、，与不是同类二次根式，故不符合题意；
、，与是同类二次根式，故符合题意；
、与不是同类二次根式，故不符合题意．
故选：．
3．下列函数中，函数值随自变量的值增大而增大的是（　　）
A． B． C． D．
解：根据反比例函数的性质逐项分析判断如下：
．是反比例函数，，
，
在每个象限内随的增大而减小，不符合要求，错误．
．是一次函数，
，
随的增大而减小，不符合要求，错误．
．是二次函数，开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，不符合要求，错误．
．是一次函数，
，
在全体实数范围内，随的增大而增大，符合要求，正确．
故选：．
4．体育委员帮体育老师记录同学们的跳远成绩，可是由于刻度尺放置错误，导致每个同学的成绩少了，那么下列关于实际成绩与记录成绩的说法中正确的是（　　）
A．平均数改变，方差不变 B．平均数改变，方差改变
C．中位数改变，方差改变 D．中位数不变，方差不变
解：每位同学的成绩都少记录了，
实际成绩与记录成绩相比，众数增加，方差不变，平均数增加，中位数增加，
故选：．
5．如图，是的直径，是的弦，于点，连接．若，，则的半径的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
解：连接，
直径于点，
，
，
，
△是等腰直角三角形，
，
的半径的长为．
故选：．
6．已知△，求作△的中线，两位同学给出了如下所示的两种方案，对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　）
方案Ⅰ （1）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，； （2）作直线，交于点，联结，即为所求． 方案Ⅱ 作法： （1）分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点； （2）作直线，交于点，即为所求．
A．方案Ⅰ可行、方案Ⅱ不可行 B．方案Ⅰ不可行、方案Ⅱ可行
C．方案Ⅰ、方案Ⅱ都可行 D．方案Ⅰ、方案Ⅱ都不可行
解：方案是作已知线段的垂直平分线的基本作法，故方案可行，
方案是先根据对边相等的四边形是平行四边形作出以、为邻边的平行四边形，再连接第二条对角线，根据平行四边形的对角线互相平分可知方案可行，
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．　　．
解：．
故答案为：．
8．函数的定义域是　　 ．
解：函数，
，
解得，，
故答案为：．
9．如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是 ．
解：关于的一元二次方程有实数根，
△，
解得：，
的取值范围是．
故答案为：．
10．已知反比例函数的图象位于第二、四象限，请写出一个符合要求的的值是　1（答案不唯一）　 ．
解：由题知，反比例函数的图象位于第二、四象限，
，
，
符合题意的值可以是1．
故答案为：1（答案不唯一）．
11．已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是 ．
解：正多边形的一个内角为，
正多边形的一个外角为，
任意多边形的外角和为，
正多边形的边数为，
正多边形的中心角和为，
正多边形的中心角为，
故答案为：．
12．在一个不透明的袋子中装有2个白球，个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从袋子中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则　6　 ．
解：由题意得，，
解得．
故答案为：6．
13．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在问天实验舱内开讲．进行的太空实验有①毛细效应；②水球变“懒”实验；③太空趣味饮水；④会调头的扳手．某校1500名学生在线观看了“天宫课堂”第三课，并参与了关于“我最喜爱的太空实验”的问卷调查．如果从中随机抽取45名学生的问卷调查情况进行统计分析，并将调查数据整理成下面的条形图，那么估计该校喜欢③太空趣味饮水实验的初中学生有 　500　名．
解：由题意知，该校喜欢③太空趣味饮水实验的初中学生有（名，
故答案为：500．
14．宋苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小．据测量，200粒粟的重量大约为1克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为 克．
解：．
故答案为：．
15．如图，在平行四边形中，点在边上，，如果，，那么 ．（结果用含、的式子表示）
解：在平行四边形中，
，，，，
，
，
，
．
故答案为：．
16．如图，的周长为8，对角线，交于点，延长到点，使，于点，连接，则　2　．
解：四边形是平行四边形，周长为8，
，，
，
是等腰三角形，
，
，
是的中位线，
，
故答案为：2．
17．定义：如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，那么这个二次函数图象的对称轴为　直线 ．
解：由题意可得，
，
由上可得，，
二次函数的对称轴为直线，
故答案为：直线．
18．如图，在矩形中，，，是的中点，是上一点．若以点为圆心，为半径作圆．与线段仅有一个公共点，则的长的取值范围是
　或　．
解：（1）当与线段相切时，如图1，
设切点为，则，
是的中点，，
，在中，
，
是矩形，
，，
，
又，
，
，
即，
，
即时，与线段相切，与线段仅有一个公共点；
（2）当过线段的端点时，如图2，
此时与线段有两个公共点的最小临界值，
，
当过线段的端点时，如图3，此时与线段有一个公共点的最大临界值，
此时，，
因此时，与直线相交，而与线段仅有一个公共点，
综上所述，当或时，与线段仅有一个公共点，
故答案为：或．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
解：原式
．
20．（10分）解方程：．
解：方程两边同乘以得：（1分）
，（2分）
整理得：，（2分）
解得：，，（3分）
经检验：是原方程的增根，（1分）
所以，原方程的解为．（1分）
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象与轴交于点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）分别联结、，点是轴上一点，且△的面积等于△面积的2倍，求点的坐标．
解：（1）将点和点坐标分别代入得，
，，
所以点坐标为，点坐标为．
将点和点坐标代入得，
，
解得，
所以一次函数的解析式为；
（2）联结、，如图所示，
将代入得，
，
所以点坐标为，
则，
所以，
所以，
解得，
所以点坐标为或．
22．（10分）已知：如图，在四边形中，，，，是上一点，联结交于点，联结．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，求证．
【解答】证明：（1）在△和△中，
，
△△，
，
，
．
．
，
．
四边形是菱形；
（2），
．
，
△△，
，
四边形是菱形，
．
，．
．
△△．
，
，
，
．
23．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
探究遮阳伞下的影子长度
素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长2.5米．且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．
素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻12点13点14点15点16点17点太阳高度（度907560453015
素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米．如图2，小明坐的位置记为点．
问题解决
任务1 确定影子长度 若某一时刻测得米， ①　2　 米，　　 ； ②求此时影子的长度．
任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？并说明理由．
解：任务1：①悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍，
（米；
如图，过作于，而米，米，
米，
（米，
，
故答案为：2，；
②过点作于点，过点作于点．
四边形为矩形．
，
，，，
，
，
，
四边形为矩形，
米，
在△中，，（米，
此时影子的长度为米；
任务2：过点作交于点，
由（1）知，，
，
，
在△中，米，米，
米，
在△中，米，
在△中，米，
在△中，当时，米，
小明刚好被照射到时离点的距离为，
小明会被照射到．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，且与轴相交于点，点的横坐标为6，抛物线顶点为点．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；
（2）过点作，在直线上点取一点，使得，求点的坐标；
（3）将该抛物线向左平移个单位，所得新抛物线与轴负半轴相交于点且顶点仍然在第四象限，此时点移动到点的位置，，求的值．
解：（1）点、在抛物线上
，
解得
抛物线的解析式为，
顶点的坐标是
（2）如图，
，
直线解析式为：
直线解析式为：
设点，
，
平行于，不平行于
四边形为梯形
又
四边形为等腰梯形
或（舍去）
（3）由（1）知
设抛物线向左平移个单位后的新抛物线表达式为
新抛物线与轴负半轴相交于点且顶点仍然在第四象限，设点的坐标为
，，
如图，过点分别做作、轴垂线，垂足分别为点、
，且
△△
又
或者（舍去）
25．（14分）已知：在△中，，，．点在边上，与外切于点，且、分别与边、交于点、，联结．
（1）如图1，当时，求的半径；
（2）联结、，当△是直角三角形，且时，求的长；
（3）如图2，联结，射线交于点，射线交于点，记、、、的长分别为、、、，当时，求的度数．
解：（1）设的半径为，则的半径为，
，，，
，，
，
，即，解得，
的半径为；
（2）过点作于，
，，
，
，，
，
，
△是等边三角形，即，
，
，
△是等腰直角三角形，即，
，，，
，
，
△△，
，
即，解得，
；
（3）连接，，
，
，
，
，，
，
，
△和△都是等腰三角形，
，
，
，
△△，
，则，
，
△△，
，
△是等边三角形，
，
．

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