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2026年上海市奉贤区中考数学三模试卷
一、选择题（共5题，每题4分，满分20分）.
1．下列代数式中，不是单项式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知直线经过点和，那么下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．乐乐同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：8.8，7.0，9.0，10，9.0，7.0，9.4，工作人员根据评委所打的分数对这组数据平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（　　）
A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数
5．如图，在锐角三角形中，，点、分别在边、上，联结、．下列命题中，假命题是（　　）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
二、填空题（共11题，每题4分，满分44分）.
6．化简：　 　．
7．请写出比大且比小的所有整数：　 　．
8．计算：　 　．
9．方程的解是　 　．
10．将抛物线向右平移2个单位，平移后的抛物线与轴交点的坐标是　 　．
11．某校九年级举行足球比赛，第一轮比赛的分组规则是：将4个班级随机分成2组，每组2个班级（每个班级只能被分在其中一个组），那么1班和2班被分在同一组的概率是　 　．
12．为了解九年级学生假期“社区志愿者服务”活动时间的情况，从该校九年级学生中随机抽取部分同学进行调查，调查结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．根据图中信息，该校九年级300名学生中，假期开展了“社区志愿者服务”活动时间大于2小时的人数约有　 　人．
13．如图，在正六边形中，设，，那么用向量、表示为　 　．
14．如图，某大坝横断面的迎水坡的坡度，坝高米，则迎水坡面的长度是　 　米．
15．已知平行四边形，，，经过点，经过点．如果与相交，且一个交点落在边上，那么边长的是　 　．
16．如图，已知等腰直角三角形，，．将边绕点顺时针旋转得到，联结、．如果△是以为腰的等腰三角形，那么的正切值是　 　．
三、解答题（共7题，满分86分）
17．（10分）先化简，再求值：，其中．
18．（10分）解方程组：．
19．（12分）某物理兴趣小组在探究“声音在空气中的传播速度与温度的关系”时，记录了不同温度下声音传播的速度，部分数据如表所示．
温度 0 10 30
声音传播速度 324 330 336 348
经过分析，小组成员发现声音传播的速度与温度之间近似满足一次函数关系、是常数，．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出与之间的函数表达式（不要求写定义域）．
（2）物理小组在实验室进行验证，当实验室温度控制在某一数值时，测得声音传播10.2米刚好用了0.03秒．求此时实验室的温度．
（3）物理小组在研究中发现，声音在甲、乙两个实验室传播时，由于温度不同，甲实验室的声速比乙实验室快，求甲、乙两个实验室的温度差．
20．（12分）如图，在△中，，是边上的中线，为边的中点，点在边上，，交于点，联结、．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）联结，交于点．如果，求证：．
21．（14分）【阅读材料】
在计算机绘图软件中，选中图形后会出现一个矩形边框，如图1所示，这个矩形边框的边分别平行于水平方向和铅垂方向，且至少每一条边都与图形有公共点，我们称这个矩形边框为图形的“隐形框”，“隐形框”的水平方向的边长称为它的“宽度”，铅垂方向的边长称为它的“高度”．
【解决问题】
如图2，平行四边形的边水平放置，，，．
（1）求平行四边形的“隐形框”的“宽度”与“高度”的比值．
（2）在绘图软件中，选中了平行四边形，并拖动顶点，可以改变的大小，并保持和长度不变，且始终水平，随着的大小的变化，平行四边形的形状变了，其“隐形框”的面积也在变化．当时，求此时它的“隐形框”的面积．
（3）在绘图软件中，选中了平行四边形，执行了一个“水平拉伸”操作：保持边固定不动，将的对边向右平移，形成了一个新的平行四边形，如果这个新形成的平行四边形的“隐形框”的“宽度”恰好是其“高度”的4倍，求边向右平移的距离．
22．（14分）在平面直角坐标系中（如图），直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过点，对称轴为直线，它与轴的另一个交点为，顶点为．
（1）求点、的坐标和抛物线的表达式．
（2）将抛物线向下平移个单位，使平移后的新抛物线与直线交于点，如果，求的值．
（3）将抛物线沿射线的方向平移，设平移后新抛物线的顶点为，新抛物线的对称轴与原抛物线交于点，如果，求新抛物线的表达式．
23．（14分）已知是的弦，为弦中点，为中点，点、分别在和上，且，联结、、、．
（1）如图1，，判断四边形的形状，并说明理由．
（2）如图2，如果的半径为5，弦．
①当时，求的余切值．
②联结，与交于点，当是的中点时，求的值．
参考答案
一、选择题：（本大题共5题，每题4分，满分20分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．下列代数式中，不是单项式的是（　　）
A． B． C． D．
解：．是单项式；
．是单项式；
．是单项式；
．是多项式．
故选：．
2．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（　　）
A． B． C． D．
解：、，△，所以方程没有实数解；
、，△，所以方程有两个相等的实数解；
、，△，所以方程有两个不相等的实数解；
、，△，所以方程有两个相等的实数解．
故选：．
3．已知直线经过点和，那么下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：由题知，
因为直线经过点和，
所以，，
则．
故选：．
4．乐乐同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：8.8，7.0，9.0，10，9.0，7.0，9.4，工作人员根据评委所打的分数对这组数据平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（　　）
A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数
解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选：．
5．如图，在锐角三角形中，，点、分别在边、上，联结、．下列命题中，假命题是（　　）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
解：、，
，
在△和△中，
，
△△，
，故本选项命题是真命题，不符合题意；
、时，与不一定相等，故本选项命题是假命题，符合题意；
、同选项中的证明过程可知：△△，
，故本选项命题是真命题，不符合题意；
、在△和△中，
，
△△，
，故本选项命题是真命题，不符合题意；
故选：．
二、填空题：（本大题共11题，每题4分，满分44分）
6．化简：　　．
解：因为，
所以．
所以．
故答案为：．
7．请写出比大且比小的所有整数：　2和3　 ．
解：，，
，，
比大且比小的整数只有2和3．
故答案为：2和3．
8．计算： ．
解：，
故答案为：．
9．方程的解是 ．
解：平方，得
，
解得，
故答案为：．
10．将抛物线向右平移2个单位，平移后的抛物线与轴交点的坐标是 ．
解：由题知，
将抛物线向右平移2个单位长度后，所得抛物线的解析式为，
将代入得，，
所以平移后的抛物线与轴交点的坐标是．
故答案为：．
11．某校九年级举行足球比赛，第一轮比赛的分组规则是：将4个班级随机分成2组，每组2个班级（每个班级只能被分在其中一个组），那么1班和2班被分在同一组的概率是 ．
解：列表如下：
1班 2班 3班 4班
1班 班，2班） 班，3班） 班，4班）
2班 班，1班） 班，3班） 班，4班）
3班 班，1班） 班，2班） 班，4班）
4班 班，1班） 班，2班） 班，3班）
共有12种等可能的结果，其中1班和2班被分在同一组的结果有：班，2班），班，1班），班，4班），班，3班），共4种，
班和2班被分在同一组的概率为．
故答案为：．
12．为了解九年级学生假期开展了“社区志愿者服务”活动时间的情况，从该校九年级学生中随机抽取部分同学进行调查，调查结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．根据图中信息，该校九年级300名学生中，假期开展了“社区志愿者服务”活动时间大于2小时的人数约有　156　 人．
解：该校九年级300名学生，活动时间大于2小时的人数占比为，
该校九年级300名学生中，假期开展了“社区志愿者服务”活动时间大于2小时的人数约有人，
故答案为：156．
13．如图，在正六边形中，设，，那么用向量、表示为 ．
解：连接，取的中点为，连接，
根据正六边形的性质得到，，，
在正六边形中，设，，
，四边形是平行四边形，
，
，
，
．
故答案为：．
14．如图，某水库大坝横断面的迎水坡的坡度，坝高米，那么迎水坡面的长度是 米．
解：由题意可得，
，
解得，
．
故答案为：．
15．已知平行四边形，，，经过点，经过点．如果与相交，且一个交点落在边上，那么边长的是 ．
解：设边的长为，
四边形是平行四边形，
，，．
设与的交点落在上，
在上，经过点，
．
过作于点，
在△ 中，，
设，，由勾股定理得：，
已知，
，解得，
因此，．
由，
在△中，，
．
在上，经过点，
．
过作，交直线于点，
，，
同理可得，．
以为原点，所在直线为轴建立坐标系，则的横坐标为，
点坐标为，点坐标为，
．
在△ 中，由勾股定理得，
代入得：，
展开得，
整理得，
解得，
此时落在线段上，符合题意，
故答案为：．
16．如图，已知等腰直角三角形，，．将边绕点顺时针旋转得到，联结、．如果△是以为腰的等腰三角形，那么的正切值是或1　 ．
解：①当时，如图1，过作于，过作于，
，
将边绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
，
又，，
△△，
，，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
；
②当时，如图2，
将边绕点顺时针旋转得到，
，
又，
，
四边形是菱形，
又，
四边形是正方形，
，
，
综上所述，的正切值是或1，
故答案为：或1．
三、解答题：（本大题共7题，满分86分）
17．（10分）先化简，再求值：，其中．
解：原式
；
当时，
原式．
18．（10分）解方程组：．
解：解方程组：．
，
将方程①的左边因式分解，得或．
将它们与方程②分别组成原方程组，得：
，．
解得，．
所以，原方程组的解是：
，．
19．（12分）某物理兴趣小组在探究“声音在空气中的传播速度与温度的关系”时，记录了不同温度下声音传播的速度，部分数据如表所示．
温度 0 10 30
声音传播速度 324 330 336 348
经过分析，小组成员发现声音传播的速度与温度之间近似满足一次函数关系、是常数，．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出与之间的函数表达式（不要求写定义域）．
（2）物理小组在实验室进行验证，当实验室温度控制在某一数值时，测得声音传播10.2米刚好用了0.03秒．求此时实验室的温度．
（3）物理小组在研究中发现，声音在甲、乙两个实验室传播时，由于温度不同，甲实验室的声速比乙实验室快，求甲、乙两个实验室的温度差．
解：（1）设与之间的函数表达式为，
由表格可得，，
解得，
即与之间的函数表达式为；
（2）声音传播10.2米刚好用了0.03秒，
声音的传播速度为：，
将代入，得，
即此时的温度为；
（3）由表格可得，
每升高，声音传播速度提高，
即每升高，声音传播速度提高，
，
即甲、乙两个实验室的温度差为．
20．（12分）如图，在△中，，是边上的中线，为边的中点，点在边上，，交于点，联结、．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）联结，交于点．如果，求证：．
【解答】证明：（1）是边上的中线，
，
为边的中点，
为△的中位线，
，，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2），是边上的中线，
，
为边的中点，
平分，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
，
．
21．（14分）【阅读材料】
在计算机绘图软件中，选中图形后会出现一个矩形边框，如图1所示，这个矩形边框的边分别平行于水平方向和铅垂方向，且至少每一条边都与图形有公共点，我们称这个矩形边框为图形的“隐形框”，“隐形框”的水平方向的边长称为它的“宽度”，铅垂方向的边长称为它的“高度”．
【解决问题】
如图2，平行四边形的边水平放置，，，．
（1）求平行四边形的“隐形框”的“宽度”与“高度”的比值．
（2）在绘图软件中，选中了平行四边形，并拖动顶点，可以改变的大小，并保持和长度不变，且始终水平，随着的大小的变化，平行四边形的形状变了，其“隐形框”的面积也在变化．当时，求此时它的“隐形框”的面积．
（3）在绘图软件中，选中了平行四边形，执行了一个“水平拉伸”操作：保持边固定不动，将的对边向右平移，形成了一个新的平行四边形，如果这个新形成的平行四边形的“隐形框”的“宽度”恰好是其“高度”的4倍，求边向右平移的距离．
解：（1）过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，如图，
则矩形为平行四边形的“隐形框”，它的“宽度”为，它的“高度”为，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形的“隐形框”的“宽度”与“高度”的比值．
（2）当时，
过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，如图，
则矩形为平行四边形的“隐形框”，它的“宽度”为，它的“高度”为，
，，
，
，，
，
此时它的“隐形框”的面积．
（3）过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，如图，
则矩形为平行四边形的“隐形框”，它的“宽度”为，它的“高度”为，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设边向右平移的距离为，
如果这个新形成的平行四边形的“隐形框”的“宽度”恰好是其“高度”的4倍，
，
．
边向右平移的距离为．
22．（14分）在平面直角坐标系中（如图），直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过点，对称轴为直线，它与轴的另一个交点为，顶点为．
（1）求点、的坐标和抛物线的表达式．
（2）将抛物线向下平移个单位，使平移后的新抛物线与直线交于点，如果，求的值．
（3）将抛物线沿射线的方向平移，设平移后新抛物线的顶点为，新抛物线的对称轴与原抛物线交于点，如果，求新抛物线的表达式．
解：（1）对于直线，当，，
当时，则，解得，
，，
将代入中，得，
由抛物线的对称轴为直线，得，
，，
抛物线的表达式为；
（2），对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点，
，
又，
，
，
，
，
△边上的高为6；
当在轴上方时，把代入，则，解得，
，
将代入，得．
；
当在轴下方时，把代入，则，解得，
，
把代入，得，
，
综上可得，；
（3）抛物线故顶点．
抛物线沿射线的方向平移，
，，
，
将抛物线沿射线的方向平移，
抛物线向下平移的距离是向右平移的距离的2倍，
设平移后新抛物线的顶点，
则新抛物线的表达式为，
将代入，得，
．
过点作，垂足为，则．
，
，得，
解得（舍，，
新抛物线的表达式为．
23．（14分）已知是的弦，为弦中点，为中点，点、分别在和上，且，联结、、、．
（1）如图1，，判断四边形的形状，并说明理由．
（2）如图2，如果的半径为5，弦．
①当时，求的余切值．
②联结，与交于点，当是的中点时，求的值．
解：（1）菱形，
理由如下：
如图，联结，过点作，，垂足为点、，
是弦的中点，是的中点，
过圆心，
在中，，
，
，，
，
，
，
△△，
，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，四边形是菱形．
（2）①如图，联结，交于点，联结、，
是弦的中点，是的中点，
，
，
，
，
，
，，
，
在△中，，设，，则，
在△中，，
，
（舍，，
，，
在△中，，
，，
，
，
；
②如图，联结、交于点，交于点，联结交于点，联结，
是弦的中点，是的中点，
，
，
，
，
，
，，，
，
是的中点，是半径，
，，
，
，
，，，
△△，
，，
，
由①得，，△△，
即，，
，
，△△，
．
(
1
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