资源简介

2024-2025学年上海市金山区世外学校七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共8题，每题3分，满分24分）.
1．下列解法中，正确的是（　　）
A．，两边同乘，得
B．，两边同乘，得
C．，两边同除以，得
D．，两边同除以，得
2．如图，已知，，那么的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．一个底面半径为2cm，高为3cm的圆锥的体积是（　　）
A．12πcm3 B．4πcm3 C．24πcm3 D．8πcm3
4．已知如果两条平行线被第三条直线所截，那么下列说法正确的是（　　）
A．截得的一对同旁内角相等
B．截得的一对同旁内角的角平分线互相平行
C．截得的一对内错角的角平分线互相平行
D．截得的一对同位角的角平分线互相垂直
5．下列判定两个等腰三角形全等的方法中，一定正确的是（　　）
A．两角对应相等 B．两腰对应相等
C．一边一角对应相等 D．一腰和底边对应相等
6．如图，点P是AB上任意一点，∠ABC＝∠ABD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是（　　）
A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠ACB＝∠ADB D．∠CAB＝∠DAB
7．到三角形三个顶点距离都相等的点是（　　）
A．三角形的三条角平分线的交点
B．三角形的三边垂直平分线的交点
C．三角形的三条高线的交点
D．三角形的三条中线的交点
8．如图，，的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，下列结论中：①；②；③；④△周长．正确的有（　　）
A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共30题，每小题3分，满分30分）
9．根据题意列不等式：与的3倍的和不大于　　 ．
10．用弧长为的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为　　．
11．如图，，如果，那么直线、的夹角是　　 度．
12．等腰三角形的两边长分别为，，其周长为 　　．
13．如图，中，是上一点且，若，则　　．
14．如图，在△中，是的垂直平分线，，△的周长是，则△的周长是　　．
15．已知一个等腰三角形，其中一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为　　．
16．如图，在正中，点在边上，点在边上，将折叠，使点落在边上的点处，则　　．
17．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△中，，则它的特征值　　．
18．在中，，，点在的三边上运动，当成为等腰三角形时，顶角是　　度．
三、简答题（本大题共7题，满分46分）
19．如图，在△中，点在线段上，点在线段延长线上，且，，求证：．
解：，
　　 ，
，
，
即，
　　 ，
在△和△中，
，
△△，
　　 ，
，
　　 ．
20．如图，已知线段、．求作：△，使，且，高．
21．从底面直径为的圆柱形水桶中取出一块底面积为且完全浸泡在水中的圆锥形钢材，取出后水面下降．求该圆锥形钢材的高取．
22．小普经营一家服装店，某次进了100件衬衫，花了8000元．销售时先每件加价20元销售，在销售了若干件以后，剩余部分以每件亏损5元价格售完，现已知小普在此次经营中盈利大于1000元．问：他加价销售的衬衫至少有多少件？
23．如图，在中，点是上一点，且，把边绕着点顺时针旋转一定角度得到，连接，交于点．
（1）若，求的度数．
（2）若，求证：平分．
24．如图，，是等边三角形，点在射线上，联结，以为边作等边三角形，边与边相交于点，联结．
（1）请说明的理由；
（2）联结，当是等腰三角形时，求的度数．
25．如图，在△中，，高、相交于点，，且．
（1）请说明△△的理由；
（2）动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，△的面积为3．
（3）在（2）的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？（请直接写出符合条件的值）．
参考答案
一、选择题（本大题共8题，每题3分，满分24分）
1．下列解法中，正确的是（　　）
A．，两边同乘，得
B．，两边同乘，得
C．，两边同除以，得
D．，两边同除以，得
解：．，两边同乘，得，故本选项不符合题意；
．，两边同乘，得，故本选项不符合题意；
．，两边同除以2，得，故本选项不符合题意；
．，两边同除以，得，故本选项符合题意；
故选：．
2．如图，已知，，那么的度数是（　　）
A． B． C． D．
解：记直线，，与，如图，
，
，
（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
故选：．
3．一个底面半径为2cm，高为3cm的圆锥的体积是（　　）
A．12πcm3 B．4πcm3 C．24πcm3 D．8πcm3
解：∵圆锥的底面半径为2cm，高为3cm，
∴圆锥的体积是．
故选：B．
4．已知如果两条平行线被第三条直线所截，那么下列说法正确的是（　　）
A．截得的一对同旁内角相等
B．截得的一对同旁内角的角平分线互相平行
C．截得的一对内错角的角平分线互相平行
D．截得的一对同位角的角平分线互相垂直
解：、两直线平行，同旁内角互补，所以该选项说法错误，不符合题意；
、两直线平行，同旁内角互补，其角平分线分得的不同的两角互余，从而推出两条角平分线相交成角，即互相垂直，所以该选项说法错误，不符合题意；
、两直线平行，内错角相等，其角平分线分得的角也相等；根据平行线的性质可判断角平分线互相平行，所以该选项说法正确，符合题意；
、两直线平行，同位角相等，其角平分线分得的角也相等；根据平行线的性质可判断角平分线互相平行，而不是互相垂直，所以该选项说法错误，不符合题意，
故选：．
5．下列判定两个等腰三角形全等的方法中，一定正确的是（　　）
A．两角对应相等 B．两腰对应相等
C．一边一角对应相等 D．一腰和底边对应相等
解：、两角对应相等，没有边的参与，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，所以本选项错误，不符合题意；
、两腰对应相等，第三边不一定对应相等，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，所以本选项错误，不符合题意；
、一边一角对应相等，此条件未明确边角关系而不能保证全等．例如，若一个等腰三角形的腰与另一个等腰三角形的底边对应相等，顶角与另一个的底角对应相等，则无法判定两个等腰三角形全等，所以本选项错误，不符合题意；
、一腰和底边对应相等，相当于两腰和底边对应相等，利用可以证得两个等腰三角形全等，所以本选项正确，符合题意，
故选：．
6．如图，点P是AB上任意一点，∠ABC＝∠ABD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是（　　）
A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠ACB＝∠ADB D．∠CAB＝∠DAB
解：A、如果补充AC＝AD，不能推出△APC≌△APD，所以此选项错误，符合题意；
B、如果补充BC＝BD，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，所以此选项正确，不符合题意；
C、如果补充∠ACB＝∠ADB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，所以此选项正确，不符合题意；
D、如果补充∠CAB＝∠DAB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，所以此选项正确，不符合题意；
故选：A．
7．到三角形三个顶点距离都相等的点是（　　）
A．三角形的三条角平分线的交点
B．三角形的三边垂直平分线的交点
C．三角形的三条高线的交点
D．三角形的三条中线的交点
解：到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，
到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：．
8．如图，，的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，下列结论中：①；②；③；④△周长．正确的有（　　）
A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④
解：，
，（两直线平行，内错角相等），
△中，与的平分线交于点，
，，
，，
，，所以结论①正确；
与不一定相等，所以结论②错误；
在△中，和的平分线相交于点，
，，
，
，所以结论③正确；
，即△的周长为，所以结论④正确；
综上所述，正确的有①③④，
故选：．
二、填空题（本大题共30题，每小题3分，满分30分）
9．根据题意列不等式：与的3倍的和不大于 ．
解：根据题意可得：．
故答案为：．
10．用弧长为的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为　4　 ．
解：弧长为，
底面周长，则圆锥的底面的半径，
故答案为：4．
11．如图，，如果，那么直线、的夹角是　60　 度．
解：设与交于点，如图，
，
（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
故答案为：60．
12．等腰三角形的两边长分别为，，其周长为 　32　．
解：由题意知，应分两种情况：
（1）当腰长为时，三角形三边长为6，6，13，，不能构成三角形；
（2）当腰长为时，三角形三边长为6，13，13，能构成三角形，周长．
故答案为32．
13．如图，中，是上一点且，若，则　46　．
解：，，
，
，
，
，
故答案为：46．
14．如图，在△中，是的垂直平分线，，△的周长是，则△的周长是　28　 ．
解：是的垂直平分线，，
，，
，
，△的周长为，
故答案为：28．
15．已知一个等腰三角形，其中一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为　或　．
解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
，，
，
即顶角的度数为．
②如图，等腰三角形为钝角三角形，
，，
，
．
故答案为或．
16．如图，在正中，点在边上，点在边上，将折叠，使点落在边上的点处，则　　．
解：为正三角形
折叠
，
，
故答案为：．
17．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△中，，则它的特征值　或　．
解：
①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：
特征值
②当为底角时，顶角的度数为：
特征值
综上所述，特征值为或
故答案为或
18．在中，，，点在的三边上运动，当成为等腰三角形时，顶角是　或或70　度．
解：①如图1，点在上时，，顶角为，
②，，
，
如图2，点在上时，若，顶角为，
如图3，若，则顶角为，
综上所述，顶角为或或．
故答案为：或或70．
三、简答题（本大题共7题，满分46分）
19．如图，在△中，点在线段上，点在线段延长线上，且，，求证：．
解：，
　等边对等角　，
，
，
即，
　　 ，
在△和△中，
，
△△，
　　 ，
，
　　 ．
解：，
（等边对等角），
，
．
即．
（等角对等边），
在△和△中，
，
△△．
（全等三角形的对应角相等），
，
（等腰三角形三线合一）．
故答案为：等边对等角，等角对等边，全等三角形的对应角相等，等腰三角形三线合一．
20．如图，已知线段、．求作：△，使，且，高．
解：如图，△即为所求．
21．从底面直径为的圆柱形水桶中取出一块底面积为且完全浸泡在水中的圆锥形钢材，取出后水面下降．求该圆锥形钢材的高取．
解：设圆锥形钢材高为，
由题意得：，
解得：，
该圆锥形钢材的高为．
22．小普经营一家服装店，某次进了100件衬衫，花了8000元．销售时先每件加价20元销售，在销售了若干件以后，剩余部分以每件亏损5元价格售完，现已知小普在此次经营中盈利大于1000元．问：他加价销售的衬衫至少有多少件？
解：件衬衫总进价8000元，
每件衬衫进价为元，
设加价销售的衬衫有件，
加价销售单件售价为（元，亏损销售单件售价为（元，
根据题意列一元一次不等式得，，
整理得，，
解得，
因为是衬衫件数，为正整数，
因此的最小值为61，
即他加价销售的衬衫至少有61件．
23．如图，在中，点是上一点，且，把边绕着点顺时针旋转一定角度得到，连接，交于点．
（1）若，求的度数．
（2）若，求证：平分．
【解答】（1）解：，，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
在和中，
，
，
，
，
，
平分．
24．如图，，是等边三角形，点在射线上，联结，以为边作等边三角形，边与边相交于点，联结．
（1）请说明的理由；
（2）联结，当是等腰三角形时，求的度数．
解：（1）是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）由（1）知：，
，
分三种情况：
①当时，如图1，
则，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
．
②当时，如图2，
则在的垂直平分线上，
是等边三角形，
，
在的垂直平分线上，
垂直平分，
；
③当时，如图3，
则，
，
是等边三角形，
，
，
、、在一条直线上，
与重合，
不存在；
综上所述，当是等腰三角形时，的度数为或．
25．如图，在△中，，高、相交于点，，且．
（1）请说明△△的理由；
（2）动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，△的面积为3．
（3）在（2）的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？（请直接写出符合条件的值）．
【解答】（1）证明：是高，
，
是高，
，
，，
，
在△和△中，
，
△△；
（2）解：由（1）知△△，
，
，
，
由题意，，
①当点在线段上时，，
，
解得：；
②当点在延长线上时，，
，
解得：，
综上，当为或时，△的面积为3；
（3）存在．
①如图2中，当时，
，，
△△．
，
，
解得，
②如图3中，当时，
，，
△△．
，
，
解得．
综上所述，或时，△与△全等．

展开更多......

收起↑