资源简介

数 学
本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息；
2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4．在草稿纸、试题卷上作答无效；
5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某品牌三角板的售价是每副元，则买副这样的三角板需要
A．元 B．（）元 C．元 D．元
2．如图，该电池的主视图是
A． B． C． D．
3．水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是
A． B． C． D．
4．已知点在数轴上的位置如图所示，则点表示的数可能是
A． B．
C． D．
5．已知＞，＞，且，则的值是
A． B． C． D．
6．若是分式方程的解，则的值是
A． B．
C． D．
7．在四张完全相同的卡片正面分别印上“湘剧”“花鼓戏”“阳戏”“祁剧”的非遗知识，将其背面朝上洗匀后随机抽取一张，恰好抽中“湘剧”卡片的概率为
A． B．
C． D．
8．如图，在四边形中，连接．若，，，则下列说法正确的是
A． B．
C． D．平分
9．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的斜边经过原点，连接．已知，若点的坐标为，则点的坐标为
A． B．
C． D．
10．门与两面墙的平面示意图如图所示，墙与垂直，门可绕旋转，是门与门吸的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置），于点．已知，，，且，则门吸离墙的距离为
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．化简：________
12．因式分解：________
13．已知，则代数式的值是________．
14．如图，是两个正六边形的公共边，和是离最远的顶点，则________°．
15．如图，的半径为，若它的周长等于的长的倍，则阴影部分的面积为________．
16．如图，，，是反比例函数图象上三个不同的点，轴于点D．
（1）若在的外接圆上，且点的坐标是，则________；
（2）设是线段的中点，且轴．若，则________．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或推导步骤．
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组：
19．（8分）我国已有三代治沙人致力于沙漠改造、他们采用科学治沙、绿色发展的理念开展治沙工作，治沙效果大幅提升，某地区三代治沙人共完成治沙面积万亩，比第一代治沙人治沙面积的倍还多万亩，求第一代治沙人的治沙面积．
20．（8分）如图，在等腰中，．在上取一点，以为圆心，的长为半径画弧，交于点；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点；作射线交于点；以为圆心，的长为半径作⊙．
（1）求证：与⊙相切；
（2）已知，，求⊙的半径．
21．（10分）科技创新，从“小”做起、某校举办校园科技节活动，为了解学生选择参与的科技活动项目的情况，随机抽取若干名学生进行问卷调查、所有问卷全部回收且有效，并对所得数据进行整理、部分信息如下：
调查问卷 整理与描述
学生选择参与的科技活动项目调查问卷 你选择参与的科技活动项目是（ ）（单选题） A．小发明 B．小制作 C．小实验 D．小论文 学生选择参与的科技活动项目统计图
请根据上述信息，回答下列问题：
（1）本次问卷调查中，参与调查的学生有____人；
（2）在扇形统计图中，项目对应的圆心角的度数为____
（3）请补全条形统计图；
（4）若该校有名学生．选择参与“小论文”项目的学生可能会被推荐为科技活动宣传员，请估计该校可能会被推荐为科技活动宣传员的学生人数；
（5）该学校准备给四个科技活动项目设置个奖励名额，请你根据统计结果，合理分配每个活动项目的奖励名额．
22．（10分）
某中学为了满足更多学生的阅读需求，决定对阅读室现有的桌椅摆放进行调整．
【数据收集】
图是每套桌椅摆放示意图，桌面是边长为米的正方形，座椅预留活动空间为四个以桌边为斜边的等腰直角三角形．如图，该阅读室摆放了行列共套桌椅（阅读室门窗不影响桌椅摆放，未绘制），桌边平行于墙面，相邻两排桌椅间的过道宽度均为米，靠墙座椅预留活动空间的直角顶点与墙壁无间隙．
【数据分析】
（1）如图，连接，则________米，取，________米（结果保留一位小数）；
（2）求阅读室的长与宽；
【问题解决】
（3）调整桌椅摆放方向如图所示（平行于墙面），阅读室可以容纳更多套桌椅．如图，相邻两排桌椅间的过道宽度仍为米，靠墙过道的宽度不低于米，请利用前面的计算结果，判断阅读室能否摆下套桌椅，并说明理由．
23．（12分）如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上．以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出点的坐标；
（2）分别求直线与抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元．求栅栏到铁路的距离．
24．（12分）
【问题背景】
如图，给定平行四边形，点是边上不与，重合的一动点．如图，作，使得，且当点运动时，保持，．
【动手操作】
将拼接于平行四边形的上方：
操作一：如图，使点与重合，点与重合，将此时的点记为，作交于点；
操作二：如图，使点与重合，点与重合，将此时的点记为，连接．
【问题解决】
（1）如图，当时，________°；
（2）如图，从结论①，②中选一个给出证明；
①，②；
（3）如图，在点运动过程中，探究线段与线段的数量关系，并说明理由；
（4）如图，设，，当点运动时，求的最大值．数 学
本试题卷共 6页。时量 120分钟。满分 120分。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形
码上的姓名、准考证号和相关信息；
2.选择题部分请按题号用 2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3.非选择题部分请按题号用 0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4.在草稿纸、试题卷上作答无效；
5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸。
一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.某品牌三角板的售价是每副 3元，则买 a副这样的三角板需要（ ）
A. 3a元 B. (3 a) a元 C 3. a 元 D. 元
3
解析：三角板每副三元，买 a副，共需3a元。
选 A
2.如图，该电池的主视图是（ ）
解析：考察立体几何三视图。
选 D
3.水的化学式是 H2O ，其中氢元素的化合价是 +1，氧元素的化合价是 2 .计算
( 1) 2 ( 2)的结果是（ ）
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
解析： ( 1) 2 ( 2) 1 2 2 2 2 0
选 B
4.已知点 P 在数轴上的位置如图所示，则点 P表示的数可能是（ ）
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A. 4 B. 2 C 2 D. 5
3 . 3
解析：由图可知， 2 P 3，
1 4 2，A选项错误；
3
1 2 2，B选项错误；
1 3 2，C选项错误；
2
2 5 3，D选项正确。
选 D
5. 已知 a 0 , b 0 , 且 (ab)n a2b2 ,则 n的值是（ ）
A. -2 B. 2 C. 3 D. 4
(ab)n n n解析： a b ，n 2。
选 B
2x a
6.若 x 1是分式方程 3的解，则 a的值是（ ）
x
A. - 1 B. 0 C. 1 D.2
x 1 2 1 a解析：将 代入原式，有 2 a 3， a 1。
1
选 C
7.在四张完全相同的卡片正面分别印上“湘剧”“花鼓戏”“阳戏”“祁剧”的非遗知识.
将其背面朝上洗匀后随机抽取一张，恰好抽中“湘剧”卡片的概率为（ ）
1 B. 1 1 3A. C. D.
2 3 4 4
1
解析：共有四个卡牌，有四种可能性。抽一张卡牌，概率为 。
4
选 C
8. 如图,在四边形 ABCD中,连接 BD .若 A BDC 90 , C 30 , AB AD ,则
下列说法正确的是（ ）
A. BC 2AD B. ADC 135 C. AD BC D.BD平分 ABC
解析：
A 90 ， AB AD
ABD为等腰直角三角形， ADB ABD 45
AD AB tan 45 BD 2 BD
2
BC BD 2BD 2 2AD，A错误；cos30
ADC ADB BDC 45 90 135 ,B正确；
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ADB DBC，内错角不相等， AD与BC不平行，C错误；
ABD 45 ， DBC 180 BDC C 180 90 30 60
ABD DBC， BD不是 ABC的角分线，D错误。
选 B
9.如图，在平面直角坐标系中，直角三角形 ABC的斜边 AB经过原点O，连接OC .已知
OA OC , 若点 A的坐标为 1,0 ,则点 B的坐标为（ ）
A. 1,0 B. 0, 1 C. 0,1 D. 2,0
解析：
ABC为直角三角形
CBA CAB 90
OA OC
OAC OCA
OCA CBA 90
OCA OCB 90
OCB CBA
OC OB OA 1
B坐标为 ( 1,0)
选 A
10.门与两面墙的平面示意图如图所示，墙 AC与 BD垂直，门 CD可绕 C旋转，F是门 CD与
门吸 EF的接触点(门吸指门页打开后吸住定位的装置)， EF AB于点 E.已知 AC a ,
EF b , ACF ,且 a b , 则门吸 EF离墙 AC的距离 AE为（）
A. B. C. D.
解析：过点 F做 FG AC于点G，则 AG EF b，
CG CA AG
CG a b
tan FG
CG
FG CG tan
FG (a b) tan
AE FG
AE (a b) tan
选 D
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二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.
11. 化简: 3a 2a .
答案：5a
解析：
合并同类项，系数相加，字母不变：3a 2a (3 2)a 5a。
12. 2因式分解： t 25 _ .
答案： (t 5)(t 5)
解析：
2 2
平方差公式： x y (x y)(x y)
= t 2 52原式 t 5 t 5
x213. 已知 4x 0 2x2，则代数式 8x 2026的值是 .
答案： 2026
解析：
整体代入，对代数式变形：
2x2 8x 2026 2(x2 4x) 2026
x2把 4x 0代入：
2 0 2026 2026。
14.如图，BD是两个正六边形的公共边，A和 C 是离 B最远的顶点，则 ABC = °.
答案：120
解析：
(6 2) 180
正六边形内角公式： 120 ，单个内角120 。
6
点 B处，两个正六边形在 BD两侧， ABD CBD 60 。
ABC ABD CBD 60 60 120
14. 如图， O的半径为 6，若它的周长等于 AB的长的 6倍，则阴影部分的面积为 .
答案：6
解析：
圆周长C 2 r 12
12
由题意：C 6 l ,则 l 2 AB AB 6
n r
扇形弧长公式 l 代入 l 2 , r 6
180
2 n 6 ，则 n 60；
180
n r 2 60 62
扇形面积 S 6
360 360
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k
16. 如图,A,B,C是反比例函数 y k 0,x 0 图象上三个不同的点， AD x轴于点 D.
x
(1) 若 C在 OAD的外接圆上, 且 A点的坐标是 4,2 , 则 tan OCD ;
(2) 设 E是线段 OA的中点, 且 BE y轴. 若 BE mAD , 则m .
3
答案：（1） 2（2）
2
解析：
（1）已知 A(4,2) k 8在反比例函数 y 上，代入得 k 4 2 8，反比例函数为 y 。
x x
AD垂直 x轴，故D(4,0)。 OAD是直角三角形， OAD 90 ，其外接圆的直径为 OA，
圆心为 OA的中点 (2,1)，半径为 5。
由同弧所对的圆周角相等， OCD OAD。在 RT OAD中，OD 4, AD 2，因此：
tan OAD OD 4 2 ,故 tan OCD 2。
AD 2
（2）设 A(x1, y1)，则 k x1 y
x y
1， AD y1。E是OA中点，故 E( 1 , 1 )。因为 BE平行于 y2 2
x k 2x y
轴，所以 B 的横坐标为 1 ，代入反比例函数得 B 的纵坐标为 1 1x 2y2 1
，即
1 x1
2
B( x1 , 2y )。
2 1
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三、解答题：本题共 8 小题，共 72 分.解答应写出文字说明，证明过程或滴重步骤.
6 217. ( 分) 计算:2sin 30 3 2
解 ：
1
原式 2 3 4
2
=1 3 4
=8
x 2 1
18. (6分)解不等式组:
2(x 1) 4
解：（1）解不等式： x 2 1
解得 x 3
（2）解不等式： 2(x 1) 4
x 1 2
解得 x 1
（3）取公共解集 x 3
19.(8分)我国已有三代治沙人致力于沙漠改造.他们采用科学治沙、绿色发展的理念开展治沙工作，
治沙成效大幅提升，某地区三代流沙人共完成治沙面积 29万亩，比第一代治沙人治沙面积的 3
倍还多 5万亩，求第一代治沙人的治沙面积。
解：设第一代治沙人的治沙面积为 x,由题目可得以下方程：
3x 5 29
解得 x=8
答：第一代治沙人的治沙面积为 8万亩。
20.(8分)如图,在等腰 OAB中, OA OB . 在 OA上取一点 E, 以 O为圆心, OE的长为半径画
1
弧，交 OB于点 F：分别以 E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，在 AOB内两弧交于点
2
P：作射线 OP交 AB于点 C；以 O为圆心，OC的长为半径作 O .
(1) 求证: AB 与 O相切;
(2) 已知OA 10 , AB 12, 求 O的半径、
解：（1）证明：连接 EP、 FP .
以O为圆心,OE的长为半径的弧与OB交于点 F ,
OE OF
1以 E,F为圆心，大于 EF的长为半径画的两弧交于点 P ,
2
EP FP
在 OEP和 OFP中，
OE OF

EP FP

OP OP
OEP OFP(SSS )
AOP BOP
在 AOC和 BOC中，
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OA OB

AOP BOP

OC OC
AOC BOC (SAS )
ACO BCO 1 180 90
2
OC AB即 AB与 O相切.
(2) AOC BOC (SAS )
AC BC 1 1 AB 12 6
2 2
2 2
在直角 AOC中，OC OA AC 102 62 8
O的半径为 8.
21.(10分)科技创新，从“小”做起、某校举办校园科技节活动，为了解学生选择参与的科技活动项
目的情况，随机抽取若干名学生进行问卷调查、所有问卷全部回收且有效，并对所得数据进行
整理、部分信息如下：
调查问卷 整理与描述
学生选择参与的科技 学生选择参与的科技活动项目统计图
活动项目调查问卷
你选择参与的科技活动项目是 ()(单
选题 )
A.小发明 B.小制作
C.小实验 D.小论文
请根据上述信息，回答下列问题：
(1)本次问卷调查中，参与调查的学生有 人：
(2)在窗形统计图中，项目 C对应的圆心角的度数为 。
(3)请补全条形统计图：
(4)若该校有 1200名学生，选择参与“小论文”项目的学生可能会被推部为科技活动宣传员，
请估计该校可能会被推荐为科技活动宣传员的学生人数；
(5)该校准备给四个科技活动项目设置 80 个奖励名额，请你根据统计结果，合理分配每个活动
项目的奖励名额。
（1）100
解析：参与调查的人数=B项目的人数 B 项目所占比例=50 50% 100（人）
（2）90
解析：C项目所占比例=C项目的人数 参与调查的人数= 25 100 25%
项目 C对应的圆心角= 25% 360 90
（3）
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（4）解：D项目所占比例=15 100 15%
被推荐学生人数=D项目所占比例 学校总人数=15% 1200 180（人）
答：该校可能会被推荐为科技活动宣传员的学生人数为 180人。
（5）解：由题可知 A项目所占比例为10%，B项目所占比例为50%，C项目所占比例为 25%，D
项目所占比例为15%，则各个活动项目的奖励名额：
A项目：80 10% 8（人）
B项目：80 50% 40（人）
C项目：80 25% 20（人）
D项目：80 15% 12（人）
答：A项目 8人，B项目 40人，C项目 20人，D项目 12人。
22. (10分)
【问题背景】
某中学为满足更多学生的阅读需求，决定对阅读室现有桌椅摆放进行调整.
【数据收集】
图 1 是每套桌椅摆放示意图，桌面是边长为 1.2米的正方形 ABCD，座椅预留活动空间为
四个以桌边为斜边的等腰直角三角形.如图 2，该阅读室摆放了 5行 8列共 40套桌椅(阅读室门
窗不影响桌椅摆放，未绘制)，桌边平行于墙面，相邻两排桌椅间的过道宽度均为 0.6米，靠墙
座椅预留活动空间的直角顶点与墙壁无间隙.
【数据分析】
(1) 如图 1, 连接 FH, 则 FH= 米, 取 2≈ 1.414, EH≈ 米(结果保留一位小
数)；
(2)求阅读室的长与宽；
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【问题解决】
(3)调整桌椅摆放方向如图 3 所示(EH 平行于墙面)，阅读室可以容纳更多套桌椅.如图 4，相
邻两排桌椅间的过道宽度仍为 0.6米，靠墙过道的宽度不低于 0.5米，请利用前面的计算结
果，判断阅读室能否摆下 60套桌椅，并说明理由.
（1）2.4；1.7
1
解析：设 CD与 FH交于点 I，因为 DHC是等腰直角三角形，则HI CI CD 0.6 ;
2
FH BC 2HI 1.2 2 0.6 2.4 ;
EH 2DH 2 2CI 2 2 0.6 1.7（结果保留一位小数）
（2）解：由题可知， FH EG 2.4
阅读室的长：0.6 （8 1） 2.4 8 23.4（米）
阅读室的宽：0.6 （5 1） 2.4 5 14.4（米）
答：阅读室的长为 23.4米，宽为 14.4米。
（3）解：60套桌椅可摆成 6行 10列，且当靠墙宽度等于 0.5米时可摆放最多的桌椅
长：0.6 （10 1） 1.7 10 0.5 2 23.4
宽：0.6 （6 1） 1.7 6 0.5 2 14.2 14.4
故阅读室可以摆下 60套桌椅。
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23.(12 分)如图 1,公路 l1与铁路 l2垂直交汇于河岸 O点处，公路 l1与河岸的另一交点为 A，其中河岸 OC
B段为抛物线的一部分，AB段为线段，OA 7km , AB 5km ,点B 到公路 l1的距离. BD 3km，
抛物线的顶点 C到公路 l1与铁路 l2的距离分别为 4km 与 2km.当地政府为了振兴乡村经济，拟开发
河道与公路 l1围成的区域，用于生态放牧.为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图 2，
栅栏 EF紧靠公路 l1 (与公路 l1的距离忽略不计)，栅栏 EH EF ,点 H在该段抛物线上；栅栏
FG EF ,点 G在线段 AB上.以点 O为坐标原点，直线 l1与 l2分别为 x轴与 y轴，规定 1个单位长
度为 1km，建立平面直角坐标系.
(1)请直接写出点 B的坐标；
(2)分别求直线 AB 与抛物线 OCB的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)；
(3)点 E 到铁路 l2的距离小于 1.5km, EH 2FG，已知建 1km长栅栏的各项开支为 2万元，建完
栅栏需花费 17万元.求栅栏 EH 到铁路 l2的距离.
解： 1 B 3,3
2 OA 7
A点坐标为 7,0
设直线 AB的函数表达式为 y kx b
把 A 7,0 和 B 3,3 代入得
7k b 0

3k b 3
k 3 4
解得
b 21
4
3 21
AB的函数表达式为 y x 4 4
由题意得 C点坐标为 2,4
抛物线经过原点
设抛物线表达式为 y mx2 nx
把 B 3,3 和C 2,4 代入得
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9m 3n 3

4m 2n 4
m 1
解得
n 4
2抛物线函数表达式为 y x 4x
3 由题意得
EH EF GF 17 2 8.5
设OE t，把 x t 代入 y x2 4x
得 EH t 2 4t
EH 2FG
1
FG t 2 2t
2
1 2
把 y t 2t 代入 y 3 21 x
2 4 4
x 2 2 8 2 2 8得 t t 7，即OF t t 7
3 3 3 3
EF OF OE 2 t 2 8 t 7 t 2 t 2 11 t 7
3 3 3 3
EH EF GF 17 2 8.5
t 2 4t 1 t 2 2t 2 11 t 2 t 7 8.5
2 3 3
解得 t 1.8或 t 1
OE 1.5
t 1.8舍去
OE 1即栅栏到铁路距离为 1km
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24. (12 分)
【问题背景】
如图 1，给定平行四边形 ABCD，点 P是 AD边上不与 A，D重合的一动点.如图 2 , 作
XYZ , 使得 XY AD , 且当点 P 运动时, 保持 X ABP , Y DCP .
【动手操作】
将 XYZ 拼接于平行四边形 ABCD的上方：
操作一：如图 3，使点 X与 A重合，点 Y与 D重合，将此时的 Z点记为 Q，作QS AB交
AD于点 S;
操作二：如图 4，使点 X与 D重合，点 Y与 A重合，将此时的 Z点记为 R，连接 RP.
【问题解决】

(1) 如图 1, 当 BPC 80 时, APB DPC °;
(2)如图 3，从结论①，②中选一个给出证明：
① ASQ BAP , ② DSQ CDP ;
(3)如图 3，在点 P运动过程中，探究线段 AP与线段 DS的数量关系，并说明理由；
(4) 如图 4, 设 AD=4, AB=3, 当点 P 运动时, 求 PR+PD的最大值.
解：（1） APB BPC CPD 180
APB CPD 180 BPC 180 80 100
（2）① QS AB
ASQ BAP
又 QAS ABP
ASQ∽ BAP
②在 ABCD中 AB CD, AB CD
QS AB
QS CD
DSQ CDP
又 QDS DCP
DSQ∽ CDP
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（3） AP DS，理由如下：
ASQ∽ BAP
AS SQ

AB AP
AB SQ AP AS
又 DSQ∽ CDP
DS SQ

CD DP
CD SQ DP DS
又 AB CD
AB SQ CD SQ
AP AS DP DS
又 AP DP AD, AS DS AD
AP (AD DS ) (AD AP) DS
AP AD AP DS AD DS AP DS
AP AD AD DS
AP DS
（4）方法一：如图所示，在图 4中作出图 3中的 AQD和线段QS；
即作 AQD，使得 QAD ABP, QDA DCP ，作QS AB交 AD于点 S，则
RAD QDA
AR DQ, RAD QDA
在 RAP与 QDS中
AR DQ

RAD QDA

AP DS
RAP QDS
又 DSQ∽ CDP
APR∽ CDP
AP PR

CD DP
PR AP DP (AD DP) DP (4 DP) DP
CD CD 3
PD x PR PD (4 x)x x 1 7 1 7 49设 ，则 x2 x (x )2
3 3 3 3 2 12
x 7 49所以当 时， PR PD取得最大值，最大值为
2 12
方法二： ASQ∽ BAP
AS AQ

AB BP
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又 AP DP AD, AS DS AD，且 AP DS
AS DP
又 AQ DR
DP DR

AB BP
在 DPR与 BAP中
DP DR

AB BP
PDR ABP
DPR∽ BAP
DP PR

AB AP
PR AP DP (AD DP) DP (4 DP) DP
AB AB 3
设 PD x，则 PR PD (4 x)x x 1 x2 7 x 1 7 (x )2 49
3 3 3 3 2 12
x 7 49所以当 时， PR PD取得最大值，最大值为
2 12
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