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2024-2025学年上海市闵行区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共6题，每题2分，满分12分）.
1．已知，下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列命题中，真命题是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等
C．面积相等的两个三角形是全等三角形
D．一条线段有且仅有一条垂直平分线
3．已知：如图，点、、、在同一直线上，、交于点，，，增加下列条件不能推导出△△的是（　　）
A． B． C． D．
4．在△中，，厘米，那么的长度有可能是（　　）
A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米
5．一张直角三角形纸片，两条直角边长分别为和，将纸片先绕长为的直角边所在直线旋转一周，得到圆锥体甲；再绕长为的直角边所在直线旋转一周，得到圆锥体乙，关于这两个圆锥体，有下列两个结论：
①甲、乙的侧面积之比为；②甲、乙的体积之比为．
对于结论①和②，下列说法正确的是（　　）
A．①正确，②错误 B．①②都正确 C．①错误，②正确 D．①②都错误
6．如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这个等腰三角形的顶角的度数是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．“与的3倍的和不大于12”，根据题意列出的不等式是 　　 ．
8．命题“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题是　　命题（填“真”或“假”
9．已知：如图，直线、交于点，平分，，那么 　　 度．
10．已知：如图，在△中，，、分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点到直线的距离，那么他应该测量线段 　　 的长度．
11．已知：如图，，三角尺的直角顶点在直线上，，的度数为 　　 ．
12．如果一个圆柱体的底面半径缩小为原来的，高扩大为原来的2倍，那么它的侧面积的值将 　　 ．（填“变大”或“变小”或“不变”
13．如果分式的值为负数，那么应满足的条件是 　　 ．
14．如图，给定一个△，用直尺和圆规作△△，有人的作法是：①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接．△就是求作三角形．在此作法中，判定△△的依据是 　　 ．（填简记）
15．已知：如图，在△中，，点在边上，，图中共有 　　 个等腰三角形．
16．某城市一种共享单车的收费标准是：前15分钟收1.5元，往后每15分钟收1元，不满15分钟按15分钟算．一位同学电话手表中现有5元钱，在不欠费的前提下他用这些钱最多能骑行这种单车 　　 分钟．
17．定义：如果一个三角形一边长为，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，，边是特征边，那么边的长为 　　 ．
18．已知：△的三条边都不相等，，将△沿直线翻折，点恰好落在点处，边的延长线与射线相交于点，如果△为直角三角形，那么的度数为 　　 ．
三、解答题（本大题共8题，满分64分）
19．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
20．已知：如图，在△中，已知、分别平分和，经过点的直线平行于，交、分别于点、，，．求△的周长．
解：平分，
　　 ．
，
　　 ．
　　 ．
　　 ．
同理可得 　　 ．
△周长，
，
，
　　 ．
21．如图，直线与直线、分别相交于点、．
请你从①；②；③中选择其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并进行证明．
你选择作为已知条件的是：　　 ，作为结论的是 　　 ．（填序号）
证明：
22．水是生命之源，有研究表明初中生按体重每日需水量为毫升千克．根据小明的实际体重，扣除食物水分，营养师建议他每日直接饮水量为1.62升；如果他用圆柱形水杯喝水（底面圆的直径为6厘米，高为10厘米），且每次盛满水并喝完，那么他每日需用这样的杯子喝多少杯水？升立方厘米，的值取
23．已知：如图，△是等边三角形点是的中点，．求证：．
24．已知：如图，点在线段上，，，平分．
求证：
（1）△是等腰三角形．
（2）．
25．小聪与小明同学对作格点等腰三角形（顶点都在小正方形的顶点上的等腰三角形）开展探究．如图1，在一个的方格中，已知格点、，确定点的位置，使△是格点等腰三角形．
小聪的作法是：以点为圆心，以长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点点除外）就是点的位置．
（1）按照小聪的作法，能确定 　　 个点，此时等腰三角形的底边是 　　 ．（填线段）
（2）小明受到小聪的启发，也有了自己的想法，他想以作为△的底边，那么小明的作法应该是：以点 　　 为圆心，以 　　 长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点点除外）就是点的位置．
（3）你还有其他确定点位置的方法吗？请将你的想法在图2中用尺规作图的方法表示出来．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）小聪、小明和你一共作出了 　　 个符合要求的点．
26．已知：如图1，点是的中点，，平分，点在线段上，且．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，交于点，如果，．
（ⅰ）当时，求四边形的面积；
（ⅱ）延长至点，使，连接，求的度数．
参考答案
选择题（共6题，每题2分，满分12分）.
1．已知，下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
解：，
根据不等式的性质3，得；
根据不等式的性质1，得；
根据不等式的性质2，得；
当时，；
当时，，
选项，，不符合题意，
选项符合题意，
故选：．
2．下列命题中，真命题是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等
C．面积相等的两个三角形是全等三角形
D．一条线段有且仅有一条垂直平分线
解：、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
、两条平行直线被第三条直线所截，截得的同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
、面积相等的三角形不一定全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
、一条线段有且仅有一条垂直平分线，正确，是真命题，符合题意．
故选：．
3．已知：如图，点、、、在同一直线上，、交于点，，，增加下列条件不能推导出△△的是（　　）
A． B． C． D．
解：，
，
即，
，
，
当添加时，，△△，所以选项不符合题意；
当添加时，△△，所以选项不符合题意；
当添加时不能判断△△，所以选项符合题意；
当添加时，△△，所以选项不符合题意．
故选：．
4．在△中，，厘米，那么的长度有可能是（　　）
A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米
解：，
，
厘米，
厘米，
故选：．
5．一张直角三角形纸片，两条直角边长分别为和，将纸片先绕长为的直角边所在直线旋转一周，得到圆锥体甲；再绕长为的直角边所在直线旋转一周，得到圆锥体乙，关于这两个圆锥体，有下列两个结论：
①甲、乙的侧面积之比为；②甲、乙的体积之比为．
对于结论①和②，下列说法正确的是（　　）
A．①正确，②错误 B．①②都正确 C．①错误，②正确 D．①②都错误
解：如图，圆锥甲的侧面积为，体积为，
圆锥乙的侧面积为，体积为，
所以圆锥甲与圆锥体乙的侧面积之比为，体积之比为，
因此①②都正确，
故选：．
6．如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这个等腰三角形的顶角的度数是（　　）
A． B． C． D．
解：如图：，垂直平分交于，垂足是，是的中点．
连接，
，是的中点，
，平分，
，
垂直平分，
，
△是等腰直角三角形，
，
．
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．“与的3倍的和不大于12”，根据题意列出的不等式是 　　 ．
解：根据题意得：．
故答案为：．
8．命题“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题是　真　命题（填“真”或“假”
解：等腰三角形两腰上的高线相等的逆命题是如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题．
理由：如图，
已知：，是的高，且，
求证：，
证明：，是的高，
，
在和中，，
，
，
，（也可以用判断
故答案为：真．
9．已知：如图，直线、交于点，平分，，那么 　121　 度．
解：直线、交于点，，
，，
，
平分，
，
，
故答案为：121．
10．已知：如图，在△中，，、分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点到直线的距离，那么他应该测量线段 　　 的长度．
解：在△中，，、分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点到直线的距离，那么他应该测量线段的长度，
故答案为：．
11．已知：如图，，三角尺的直角顶点在直线上，，的度数为 　　 ．
解：如图，
，
，
，
．
故答案为：．
12．如果一个圆柱体的底面半径缩小为原来的，高扩大为原来的2倍，那么它的侧面积的值将 　不变　 ．（填“变大”或“变小”或“不变”
解：设原圆柱的底面半径为，高为，
则原侧面积为，
当底面半径缩小为原来的，高扩大为原来的2倍时，
侧面积变为，
所以它的侧面积的值将不变．
故答案为：不变．
13．如果分式的值为负数，那么应满足的条件是 　　 ．
解：如果分式的值为负数，
那么，
解得：，
故答案为：．
14．如图，给定一个△，用直尺和圆规作△△，有人的作法是：①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接．△就是求作三角形．在此作法中，判定△△的依据是 　　 ．（填简记）
解：由作图可知：在△和△中，
，
△△．
故答案为：．
15．已知：如图，在△中，，点在边上，，图中共有 　三　 个等腰三角形．
解：在△中，，
，
，
，
，
，
在△中，，
，
△是等腰三角形；
，
△是等腰三角形；
，
△是等腰三角形，
综上所述：图中共有三和等腰三角形．
故答案为：三．
16．某城市一种共享单车的收费标准是：前15分钟收1.5元，往后每15分钟收1元，不满15分钟按15分钟算．一位同学电话手表中现有5元钱，在不欠费的前提下他用这些钱最多能骑行这种单车 　60　 分钟．
解：设在不欠费的前提下他用这些钱能骑行这种单车为正整数）分钟，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为4，
的最大值为60，
在不欠费的前提下他用这些钱最多能骑行这种单车60分钟．
故答案为：60．
17．定义：如果一个三角形一边长为，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，，边是特征边，那么边的长为 　3　 ．
解：分两种情况：
①当时，，
此时，，不能构成三角形，不符合题意，舍去；
②当时，，
此时，，能构成三角形，符合题意；
综上所述，边的长为3，
故答案为：3．
18．已知：△的三条边都不相等，，将△沿直线翻折，点恰好落在点处，边的延长线与射线相交于点，如果△为直角三角形，那么的度数为或或 ．
解：如图1所示，
当，则，
由折叠的性质可得，
，
，
，
，此时不符合题意；
如图2所示，当时，
由折叠的性质可得，
，
又，
，
如图3所示，当时，则，
由折叠的性质可得，
，
如图4所示，当，则，
由折叠的性质可得，
综上所述，的度数为或或，
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共8题，满分64分）
19．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
20．已知：如图，在△中，已知、分别平分和，经过点的直线平行于，交、分别于点、，，．求△的周长．
解：平分，
　　 ．
，
　　 ．
　　 ．
　　 ．
同理可得 　　 ．
△周长，
，
，
　　 ．
解：平分，
．
，
（两直线平行，内错角相等）．
．
（等角对等边）．
同理可得．
△周长，
，
，
，
故答案为：；两直线平行，内错角相等；；等角对等边；；14．
21．如图，直线与直线、分别相交于点、．
请你从①；②；③中选择其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并进行证明．
你选择作为已知条件的是：　①②（答案不唯一）　 ，作为结论的是 　　 ．（填序号）
证明：
解：条件：，，结论：，
故答案为：①②（答案不唯一）；③（答案不唯一）；
证明如下：，，
，，
，
．
22．水是生命之源，有研究表明初中生按体重每日需水量为毫升千克．根据小明的实际体重，扣除食物水分，营养师建议他每日直接饮水量为1.62升；如果他用圆柱形水杯喝水（底面圆的直径为6厘米，高为10厘米），且每次盛满水并喝完，那么他每日需用这样的杯子喝多少杯水？升立方厘米，的值取
解：圆柱形水杯的容积为，
（杯．
答：他每日需用这样的杯子喝6杯水．
23．已知：如图，△是等边三角形点是的中点，．求证：．
【解答】证明：点是的中点，
，
△是等边三角形，
，，
在△和△中，
，
△△，
．
．
24．已知：如图，点在线段上，，，平分．
求证：
（1）△是等腰三角形．
（2）．
【解答】证明：（1）平分，
设，
，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
△是等腰三角形；
（2）在△中，，
，
，
，
，
．
25．小聪与小明同学对作格点等腰三角形（顶点都在小正方形的顶点上的等腰三角形）开展探究．如图1，在一个的方格中，已知格点、，确定点的位置，使△是格点等腰三角形．
小聪的作法是：以点为圆心，以长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点点除外）就是点的位置．
（1）按照小聪的作法，能确定 　3　 个点，此时等腰三角形的底边是 　　 ．（填线段）
（2）小明受到小聪的启发，也有了自己的想法，他想以作为△的底边，那么小明的作法应该是：以点 　　 为圆心，以 　　 长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点点除外）就是点的位置．
（3）你还有其他确定点位置的方法吗？请将你的想法在图2中用尺规作图的方法表示出来．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）小聪、小明和你一共作出了 　　 个符合要求的点．
解：（1）如图1中，点，，即为所求．
故答案为：3，，，；
（2）作法应该是：以点为圆心，以长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点点除外）就是点的位置，如图2中，点，，即为所求；
故答案为：，；
（3）如图3中，点，即为所求；
（4）小聪、小明和你一共作出了8个符合要求的点．
故答案为：8．
26．已知：如图1，点是的中点，，平分，点在线段上，且．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，交于点，如果，．
（ⅰ）当时，求四边形的面积；
（ⅱ）延长至点，使，连接，求的度数．
【解答】（1）证明：如图1，连接，
为的中点，
，
平分，
，
，，
△△，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
；
（2）解：（ⅰ）如图2，过点作于点，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
四边形的面积；
（ⅱ）如图3，连接，过点作于点，则，
，
，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
，
，，，
△△，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
△△，
，
平分，
．

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