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2024-2025学年上海市浦东新区建平实验中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共6小题，每小题4分，共24分）.
1．下列根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．边长为2的等边三角形的边心距是（　　）
A． B． C． D．
3．已知一组数据，3，5，2，7，9的中位数是5，那么可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
4．如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（　　）
A．测得的最高体温为 B．前3次测得的体温在下降
C．这组数据的众数是36.8 D．这组数据的中位数是36.6
5．下列说法正确的是（　　）
A．两圆外切时，连心线等于这两圆的半径长的和
B．平分弦的直径垂直于弦
C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等
D．经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线
6．如图，在梯形中，已知，，，，，分别以、为直径作圆，这两圆的位置关系是（　　）
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
二、填空题（本大题共12小题，共48分）
7．计算：　　 ．
8．因式分解：　　．
9．不等式的正整数解是　　 ．
10．如果一个正多边形的内角和是，那么它的中心角是　　 度．
11．在中，弦的长为8，它所对的弦心距为3，那么半径 　　 ．
12．已知和内切，，的半径是7，则的半径是 　　 ．
13．小凯沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了26米，那么他上升的高度是　　 ．
14．为了进一步了解某校九年级学生的体能情况，随机抽取50名学生进行1分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制成不完整的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值），若该校九年级共有450名学生，那么一分钟跳绳次数在次的人数是 　　 ．
15．已知在△中，，，，如果顶点在内，顶点在外，那么的半径的取值范围是 　　 ．
16．小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区60户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这60户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约 　　 千克．
17．已知半径为3和4的两个圆外切，与这两个圆同时相切的圆只有5个，那么圆的半径是　　 ．
18．如图，在正方形中，，点在正方形内部，且，，如果以为圆心，为半径的与以为直径的圆相交，那么的取值范围为　　 ．
三、解答题（本大题共7小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．计算：．
20．解方程：．
21．已知：如图，的半径为5，弦的长等于8，，垂足为点，的延长线与相交于点，点在弦的延长线上，与相交于点，．
求：（1）的长；
（2）的长．
22．某区连续几年的（国民生产总值）情况，如表所示：
年份 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
（百亿元） 10.0 11.0 12.4 13.5 ■
我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：、、、．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的，可以尝试选择直线、直线等函数模型来进行分析．
（1）根据点、的坐标，可得直线的表达式为．请根据点、坐标，求出直线的表达式；
（2）假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适．
（说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组所有实际值偏离图象上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．
例如：分析直线，即上的点，可知（1），（2），（3），（4），求得偏离方差．
请依据以上方式，求出关于直线的偏离方差值：　　 ；
问题：你认为在选用直线与直线进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？
请写出所选直线的表达式：　　 ；
根据此函数模型，预估该区第五年的约为 　　 百亿元．
23．已知：如图，、是的两条弦，且，是延长线上一点，联结并延长交于点，联结并延长交于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：四边形是菱形．
24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点、，与轴交于点，点在线段上，，点在第二象限，，，，垂足为．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段、的长（用含的代数式表示）；
（3）当时，求的值．
25．已知：在△中，，在边上，点为中点，以为圆心、为半径的圆分别交、于点、，联结交于点．
（1）如图1，如果，求的度数．
（2）如图2，联结、交于点，联结交于点，如果，且，求证：垂直平分．
（3）如图3，如果四边形是等腰梯形，，求的长．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，共24分）
1．下列根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
解：与不是同类二次根式，则不符合题意，
，它与不是同类二次根式，则不符合题意，
，它与是同类二次根式，则符合题意，
，它与不是同类二次根式，则不符合题意，
故选：．
2．边长为2的等边三角形的边心距是（　　）
A． B． C． D．
解：如图，△是边长为2的等边三角形，作△的外接圆，圆心为点，连接、，作于点，
，，，
，，
，
，
，
，
边长为2的等边三角形的边心距是，
故选：．
3．已知一组数据，3，5，2，7，9的中位数是5，那么可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
解：根据题意，得
，3，5，2，7，9的中位数是5，所以前2个数是2，3，那么后2个数就是7，9，中间的数是5和，
所以可以是5．
故选：．
4．如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（　　）
A．测得的最高体温为 B．前3次测得的体温在下降
C．这组数据的众数是36.8 D．这组数据的中位数是36.6
解：由折线统计图可以看出这7次的体温数据从第1次到第7次分别为、、、、、、．
、测得的最高体温为，故不符合题意；
、观察可知，前3次的体温在下降，故不符合题意；
、出现了2次，次数最高，故众数为，故不符合题意；
、这七个数据排序为，，，，，，．中位数为．故符合题意．
故选：．
5．下列说法正确的是（　　）
A．两圆外切时，连心线等于这两圆的半径长的和
B．平分弦的直径垂直于弦
C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等
D．经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线
解：、连心线是直线没有长度，故不符合题意；
、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故不符合题意；
、圆中非直径的弦对一条优弧和一条劣弧，因此在同圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故不符合题意；
、此说法正确，故符合题意．
故选：．
6．如图，在梯形中，已知，，，，，分别以、为直径作圆，这两圆的位置关系是（　　）
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
解：分别取、中点和，连接，
是梯形的中位线，
，
分别以、为直径的圆的圆心是和，
和的圆心距，
的半径，的半径，
，
这两圆的位置关系是外离．
故选：．
二、填空题（本大题共12小题，共48分）
7．计算： ．
解：．
故答案为：．
8．因式分解：　　．
解：．
故答案为：．
9．不等式的正整数解是　1、2　 ．
解：，
，
则，
所以不等式的正整数解为1、2，
故答案为：1、2．
10．如果一个正多边形的内角和是，那么它的中心角是　72　 度．
解：设这个正多边形的边数为，
则，
解得，
所以正五边形的中心角是，
故答案为：72．
11．在中，弦的长为8，它所对的弦心距为3，那么半径 　5　 ．
解：如图，半径于点，则，
，
，
在△中，．
故答案为：5．
12．已知和内切，，的半径是7，则的半径是 　4或10　 ．
解：如图，和内切于点，
，的半径是7，
，
此时的半径是10；
如图，和内切于，
，的半径是7，
，
此时的半径是4，
综上，的半径是4或10．
故答案为：4或10．
13．小凯沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了26米，那么他上升的高度是　10米　 ．
解：设小凯上升的高度是米，
斜坡的坡比，
小凯行走的水平距离为米，
由勾股定理得：，
解得：（负值舍去），
小凯上升的高度是10米，
故答案为：10米．
14．为了进一步了解某校九年级学生的体能情况，随机抽取50名学生进行1分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制成不完整的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值），若该校九年级共有450名学生，那么一分钟跳绳次数在次的人数是 　135　 ．
解：一分钟跳绳次数在次的人数大约为：（人，
故答案为：135．
15．已知在△中，，，，如果顶点在内，顶点在外，那么的半径的取值范围是 　　 ．
解：如图，过点作于点，
，，
，
，
，
，
顶点在内，顶点在外，
．
故答案为：．
16．小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区60户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这60户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约 　75　 千克．
解：估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约（千克），
故答案为：75．
17．已知半径为3和4的两个圆外切，与这两个圆同时相切的圆只有5个，那么圆的半径是　7　 ．
解：因为半径为3和4的两个圆外切，与这两个圆同时相切的圆只有5个，如图，
由与这两个圆同时内切的圆的半径为7，
故圆的半径是7，
故答案为：7．
18．如图，在正方形中，，点在正方形内部，且，，如果以为圆心，为半径的与以为直径的圆相交，那么的取值范围为　　 ．
解：延长交于，
，
，
，
在正方形中，，
，
，
，
，
点是以为直径的圆的圆心，
设，，
，
，
，
，，，
，
，
为半径的与以为直径的圆相交，
的取值范围为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．计算：．
解：原式
．
20．解方程：．
解：方程两边同时乘以，得，
去括号，得，
整理，得，
，
或，
或，
检验：当时，分母，因此是方程的增根，
时，左边右边，
因此分式方程的根为．
21．已知：如图，的半径为5，弦的长等于8，，垂足为点，的延长线与相交于点，点在弦的延长线上，与相交于点，．
求：（1）的长；
（2）的长．
解：（1）连接．
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
．
（2）作，垂足为点．，
，，
，
，
由垂径定理得：，
又，，
，
．
22．某区连续几年的（国民生产总值）情况，如表所示：
年份 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
（百亿元） 10.0 11.0 12.4 13.5 ■
我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：、、、．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的，可以尝试选择直线、直线等函数模型来进行分析．
（1）根据点、的坐标，可得直线的表达式为．请根据点、坐标，求出直线的表达式；
（2）假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适．
（说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组所有实际值偏离图象上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．
例如：分析直线，即上的点，可知（1），（2），（3），（4），求得偏离方差．
请依据以上方式，求出关于直线的偏离方差值：　0.0125　 ；
问题：你认为在选用直线与直线进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？
请写出所选直线的表达式：　　 ；
根据此函数模型，预估该区第五年的约为 　　 百亿元．
解：（1）设直线的表达式为，
根据题意，
解得，
直线的表达式为；
（2）分析直线，即，
（1），
（2），
（3），
（4），
偏离方差，
，
直线更合适，
当时，（5），
故答案为：0.0125，，14.8．
23．已知：如图，、是的两条弦，且，是延长线上一点，联结并延长交于点，联结并延长交于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：四边形是菱形．
【解答】证明：（1）如图1，连接，，，
、是的两条弦，且，
在的垂直平分线上，
，
在的垂直平分线上，
垂直平分，
；
（2）如图2，连接，
，
，
，
△△，
，
，
，
，
，
，，
，
四边形是菱形．
24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点、，与轴交于点，点在线段上，，点在第二象限，，，，垂足为．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段、的长（用含的代数式表示）；
（3）当时，求的值．
解：（1）二次函数的图象经过点、，
，解得，
这个二次函数的解析式为：；
（2）
，，
△△
．
，
，
，
．
同理，
，
．
（3）抛物线的解析式为：，
，．
如图，连接、，过作的垂线交于点．
，
在△与△中，
，
△△，
，．
如图，过点作轴于点，则在△中，
，，
由勾股定理得：
；
在△中，由勾股定理得：
在△中，，，
由勾股定理得：，
即，
解得，，
当时，，
不合题意舍去，
．
另解：延长至轴交于点．
（已知）
（等角对等边）
设，则．
在△中，，
根据勾股定理得，，
根号，
解得，
△△（两角对应相等）
，
即，
解得．
25．已知：在△中，，在边上，点为中点，以为圆心、为半径的圆分别交、于点、，联结交于点．
（1）如图1，如果，求的度数．
（2）如图2，联结、交于点，联结交于点，如果，且，求证：垂直平分．
（3）如图3，如果四边形是等腰梯形，，求的长．
【解答】（1）解：是的中点，
，
，
，
以为圆心、为半径的圆分别交、于点、，
，
△是等边三角形，
，
，
△是等边三角形，
；
（2）证明：，，
，
，
，
，
平分，
，
设，则，
，
，
，，
△△，
，
平分，
平分，
垂直平分．
（3）解：如图，
连接，作于，作于，
，是的中点，
，
，四边形是等腰梯形，
，，，
，，，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
，
．

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