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2024-2025学年上海市浦东新区洋泾菊园实验学校八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分）.
1．下列四个函数中，一次函数是（　　）
A． B． C． D．
2．已知一次函数，如果函数值随的增大而减小，那么的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．下列事件中，确定事件是（　　）
A．上海明天太阳从西边升起
B．任意两个非零实数，它们的积为正
C．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
4．下列方程中，有实数解的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在梯形中，，，为中点，连接，下列向量中，不是的相反向量的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（　　）
A．10 B． C． D．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．直线的截距是　　 ．
8．方程的解是　　 ．
9．如果一次函数的图象经过点，那么的值是　　 ．
10．如果一次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴上，那么的取值范围是　　 ．
11．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是　　 ．
12．如果一个多边形的每个内角都是，那么其内角和为　　 ．
13．如图，矩形中，，对角线和相交于点，且，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，那么四边形的面积是　　 ．
14．如图，正方形中，点、分别在边、上，，，如果，那么△的周长是　　 ．
15．如图，在中，、分别是边、的中点，、分别是、的中点，如果，那么　　．
16．如图，点、在平行四边形的对角线上，且．设，，，用，，表示：　　 ．
17．如图，梯形中，，，，若该梯形的中位线长为3，则　　 ．
18．如图，已知正方形的边长为4，点、分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点落在处，点恰好落在边上的点处，如果四边形的面积为6，那么△的面积是　　 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分64分）
19．解方程：．
20．解方程组：．
21．十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把其中的“虎”、“兔”、“龙”、“蛇”4张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同）．
（1）如果乙同学从中随机抽取一张，摸出的邮票是“龙”的概率是　　 ；
（2）如果乙同学从中随机抽取两张，利用树状图求抽取的两张邮票恰好是“虎”和“龙”的概率；
（3）如果可以往桌面上放任意生肖邮票（不限一套邮票），请你设计一个概率为的游戏方案．
22．某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度（千米时）与高架路上每百米车的数量（辆的关系如图所示．
（1）求关于的函数解析式（不必写的取值范围）；
（2）如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米时．
①求该时刻高架路上每百米车的数量；
②如果车辆的平均速度小于20千米时，将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？
23．如图，在平行四边形中，、分别是边和的中点，联结、，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）作，与的延长线交于点．求证：四边形是矩形．
24．如图，已知，，点、在射线上（点、不与点重合且点在点的左侧），联结、，为的中点，过点作，交的延长线于点，联结．
（1）求证：四边形是梯形；
（2）如果，当为等腰三角形时，求的长．
25．已知直线（其中，我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线．
在平面直角坐标系中，已知直线的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点．
（1）如果直线经过点．
①求直线、的表达式和点的坐标；
②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标．
（2）将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由．
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分，每题只有一个选项正确）
1．下列四个函数中，一次函数是（　　）
A． B． C． D．
解：、，自变量的最高次数为2，不是一次函数，不符合题意；
、，是一次函数，符合题意；
、，不是一次函数，不符合题意；
、，不是一次函数，不符合题意．
故选：．
2．已知一次函数，如果函数值随的增大而减小，那么的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
解：整理一次函数得，
一次函数随的增大而减小，
，
解不等式得．
故选：．
3．下列事件中，确定事件是（　　）
A．上海明天太阳从西边升起
B．任意两个非零实数，它们的积为正
C．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
解：、太阳一定从东方升起，不可能从西边升起，是确定事件，符合题意；
、两个非零实数相乘，同号得正异号得负，积可能为正也可能为负，是随机事件，不符合题意；
、抛掷质地均匀的硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，是随机事件，不符合题意；
、只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，非平行直线被截时同位角不相等，是随机事件，不符合题意．
故选：．
4．下列方程中，有实数解的是（　　）
A． B． C． D．
解：根据分式方程求解方法，平方的非负性，算术平方根的非负性和分式的性质逐项分析判断如下：
．，
去分母得，，
整理得，
解得，
检验：当时，，
原方程有实数解；
．变形得，
任意实数的平方满足，不可能等于，
该方程无实数解；
．方程，
分子，分母，分式的值不可能为0，
该方程无实数解；
．方程变形得，
任意实数的算术平方根满足，不可能等于，
该方程无实数解．
故选：．
5．如图，在梯形中，，，为中点，连接，下列向量中，不是的相反向量的是（　　）
A． B． C． D．
解：与是相反的向量，故不符合题意；
为中点，
，
，
，
在梯形中，，
与是相反的向量，故不符合题意；
与是平行向量，方向相同，不是相反向量，故符合题意；
与是相反向量，故不符合题意．
故选：．
6．如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（　　）
A．10 B． C． D．
解：四边形是正方形，对角线长为，
，
，即，
，
如图，连接交于点，
将正方形变形为菱形，
，，，，
，
△为等边三角形，
，，
，
．
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．直线的截距是 ．
解：当时，代入得．
故答案为：．
8．方程的解是 ．
解：由条件可得，，
，
，
或，
（舍去）或
解得．
方程的解是．
故答案为：．
9．如果一次函数的图象经过点，那么的值是　2　 ．
解：一次函数的图象经过点，
，
解得：．
故答案为：2．
10．如果一次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴上，那么的取值范围是 ．
解：令，得，
解得，
因为一次函数的图象与轴的交点在正半轴上，
所以，
根据不等式的基本性质，不等式两边同乘正数2，不等号方向不变，得，
解得：．
故答案为：．
11．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是 ．
解：根据题意，设，
则原方程可化为，
，
整理得．
原方程可化为关于的整式方程是．
故答案为：．
12．如果一个多边形的每个内角都是，那么其内角和为 ．
解：由条件可知它的每个外角为：，
多边形的边数是：，
其内角和为．
故答案为：．
13．如图，矩形中，，对角线和相交于点，且，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，那么四边形的面积是 ．
解：四边形是矩形，
，，
，
，
△是等边三角形，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：．
14．如图，正方形中，点、分别在边、上，，，如果，那么△的周长是 ．
解：四边形是正方形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
△的周长是．
故答案为：．
15．如图，在中，、分别是边、的中点，、分别是、的中点，如果，那么　4.5　．
解：、分别是边、的中点，
是的中位线，
，，
四边形为梯形，
、分别是、的中点，
，
故答案为：4.5．
16．如图，点、在平行四边形的对角线上，且．设，，，用，，表示： ．
解：四边形为平行四边形，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
17．如图，梯形中，，，，若该梯形的中位线长为3，则 ．
解：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，
四边形是平行四边形，
梯形的中位线长为3，
，
，
，
在梯形中，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
18．如图，已知正方形的边长为4，点、分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点落在处，点恰好落在边上的点处，如果四边形的面积为6，那么△的面积是 ．
解：连接，则，过点作于点，
，
，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
设，则，
四边形的面积为6，
，
即，
解得，
，
，
由翻折的性质得：，
在△中，，
即，
，
解得，
如果四边形的面积为6，那么△的面积为：．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分64分）
19．解方程：．
解：去分母得，，
移项、合并同类项得，，
解得，，
经检验是增根，舍去；是原方程的根，
所以原方程的根是．
20．解方程组：．
解：由（2）得：（1分）．
原方程组可变形为：（Ⅰ）或（Ⅱ）．
由（Ⅰ）得（1分）由（Ⅱ）得（1分）．
原方程组的解为或（1分）．
21．十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把其中的“虎”、“兔”、“龙”、“蛇”4张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同）．
（1）如果乙同学从中随机抽取一张，摸出的邮票是“龙”的概率是 ；
（2）如果乙同学从中随机抽取两张，利用树状图求抽取的两张邮票恰好是“虎”和“龙”的概率；
（3）如果可以往桌面上放任意生肖邮票（不限一套邮票），请你设计一个概率为的游戏方案．
解：（1）共有4张邮票，
乙同学从中随机抽取一张，摸出的邮票是“龙”的概率是；
故答案为：；
（2）画树状图如下：
抽取的两张邮票恰好是“虎”和“龙”的情况有2种，共有12种等可能的情况数，
概率为；
（3）往原有4张邮票中添加1张“虎“邮票，使桌面上共有5张邮票，
从中随机抽取1张，抽到不是“虎”的概率为，答案不唯一．
22．某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度（千米时）与高架路上每百米车的数量（辆的关系如图所示．
（1）求关于的函数解析式（不必写的取值范围）；
（2）如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米时．
①求该时刻高架路上每百米车的数量；
②如果车辆的平均速度小于20千米时，将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？
解：（1）设关于的函数解析式为，
由题意得，，
，
；
（2）①在中，
当时，则，解得，
该时刻高架路上每百米车的数量为25辆；
②如果车辆的平均速度小于20千米时，将严重拥堵，需启动限流措施．
当时，解得，
分钟，
答：为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施．
23．如图，在平行四边形中，、分别是边和的中点，联结、，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）作，与的延长线交于点．求证：四边形是矩形．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
；
、分别是边和的中点，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
平分，
，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）由（1）可得四边形是菱形，
，
，
，
，
；
四边形是平行四边形，
，即，
四边形是平行四边形；
为的中点，
，
，
，
，
．
，
作，与的延长线交于点，则平行四边形是矩形．
24．如图，已知，，点、在射线上（点、不与点重合且点在点的左侧），联结、，为的中点，过点作，交的延长线于点，联结．
（1）求证：四边形是梯形；
（2）如果，当为等腰三角形时，求的长．
【解答】（1）证明：，
，，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，即，
，与交于点，
与不平行，
四边形是梯形；
（2）解：为等腰三角形，
有以下三种情况：
①当时，如图1所示：
为的中点，
，
，，
在中，由勾股定理得：；
②当时，过点作于，如图2所示：
由（1）可知：四边形为平行四边形，
，，，
，，
四边形为矩形，
，，
在中，由勾股定理得：，
；
③当时，如图3所示：
由（1）可知：四边形为平行四边形，
，
此时平行四边形为矩形，即，
，
点与点重合，故不合题意，
综上所述：的长为6或16．
25．已知直线（其中，我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线．
在平面直角坐标系中，已知直线的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点．
（1）如果直线经过点．
①求直线、的表达式和点的坐标；
②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标．
（2）将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由．
解：（1）①由题意得：的表达式为：，
将代入直线的表达式得：，
解得：，
则直线、的表达式分别为：，；
联立上述两个函数表达式得：，
解得：，
则点；
②如图，由直线、的表达式知，点，，
，则直线的表达式为：，
设点，
四边形是等腰梯形，则，
即，
解得：或，
当时，，此时，不符合等腰梯形这个条件，
点；
（2）正确，直线过定点，理由：
由题意得：的表达式为：，
联立、的表达式得：，
解得：，则点，
过点、分别作轴的垂线，垂足分别为点、，
由题意得，，，
则△、△均为等腰直角三角形且，
由点的坐标知，，
则，
则点，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则直线的表达式为：，
即直线过点，即过定点．

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