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2024-2025学年上海市松江区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分）.
1．一次函数的图象一定经过（　　）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限
2．下列方程有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．明天下雨
B．篮球队员在罚球线投篮一次：未投中
C．掷一枚硬币，正面朝上
D．任意画一个四边形，其内角将是
4．下列说法中，正确的是（　　）
A．如果和是相反向量，那么
B．如果和是平行向量，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
5．已知矩形的对角线、交于点，下列条件中能判定四边形是正方形的是（　　）
A． B． C． D．
6．已知小丽家、便利店、体育馆在同一直线上，某天小丽从家步行到便利店买了一瓶水，再到体育馆锻炼，最后骑共享单车回家．小丽离家距离与时间之间的关系如图所示．下列结论错误的是（　　）
A．小丽家到便利店距离500米
B．小丽在便利店停留了5分钟
C．小丽步行的速度是
D．小丽骑自行车的速度是步行速度的1.5倍
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．方程的解为 　　 ．
8．二项方程的实数解是　　．
9．一次函数的截距是　　．
10．用换元法解分式方程时，如果设，并将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是 　　 ．
11．已知一个正多边形的一个外角是，那么这个多边形的边数为 　　．
12．如果一次函数的图象与轴交于点，那么时，的取值范围是 　　 ．
13．一项工程，甲队独做提前2天完成，乙队独做要延期5天，现在两队合作3天后，余下的由乙队独做，正好如期完工，设工程期限为天，可列方程 　　 ．
14．从平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形中任选一个图形，顺次连接其各边中点，得到的四边形是菱形的概率是 　　 ．
15．如图，菱形，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，那么的长为 　　．
16．如图，正方形和正方形中，、、三点共线，点在上，，，那么的长是 　　 ．
17．如果一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这个函数图象的“不动点”．已知点是函数图象上的“不动点”，点，点，如果四边形是等腰梯形，那么点的坐标是 　　 ．
18．如图，矩形中，，，点在边上，折叠矩形使落在射线上，折痕为，点、分别落在点、处，若，那么的长为 　　 ．
三、简答题（本大题共4题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，满分28分）
19．解方程：．
20．解方程组：
21．如图，在中，点在边的延长线上，，设，．
（1）写出图中所有与互为相反向量的向量：　　 ；
（2）试用向量，表示： 　　 ； 　　 ；
（3）在图中求作：．（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结论）．
22．小明家附近有、两种品牌的共享电动车，其收费方式分别满足函数和收费（元与骑行时间（分钟）的关系如图所示．已知小明家到工厂的距离为，两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为．
（1）当时，求品牌收费方式与骑行时间的函数解析式．
（2）小明从家骑行去工厂，选择哪种品牌的共享电动车更省钱？
（3）当骑行时间为多少时，两种品牌的收费相差2元？
四、解答题（本大题共4题，第23、24题每题8分，第25、26题每题10分，满分36分）
23．学校购买一批奖品．已知种奖品的单价比种奖品单价便宜9元，用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个．
（1）求、两种奖品的单价各是多少元？
（2）该校计划购买、两种奖品共80个，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用．
24．如图，已知在中，点、分别是边、的中点，过点、的直线交的延长线于点，联结．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）联结，如果，求证：四边形是矩形．
25．【阅读理解】不论取何值，正比例函数的图象始终经过点，我们说函数的图象经过定点．类似的，函数的图象经过定点．探求定点的具体思路是：设法找到的某些取值，使函数表达式中含的各项之和为0，即变形得：，令，总有，从而得到点．
【尝试运用】
（1）函数的图象经过的定点坐标是 　　 ；
（2）如果点，，是原点，且直线将△分成面积相等的两部分，求的值；
（3）在（2）的条件下，如果点在轴上，点在直线上，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
26．已知梯形，，，，点为射线上一动点，联结，过点作，交射线于点，且．
（1）当点在线段上时，
①如图1，如果，求的长；
②如图2，点为边上一点，且，求的值；
（2）如果，△是等腰三角形，求的长．
参考答案
一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．一次函数的图象一定经过（　　）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限
解：当时，
，，
一次函数的图象经过第二、三、四象限；
当时，
，，
一次函数的图象经过第二、四象限；
当时，
，，
一次函数的图象经过第一、二、四象限．
综上所述，一次函数的图象一定经过第二、四象限．
故选：．
2．下列方程有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
解：，
无实数根，故不符合题意；
由得，而是的增根，
无实数根，故不符合题意；
由得，故符合题意；
，
，
无实数根，故不符合题意；
故选：．
3．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．明天下雨
B．篮球队员在罚球线投篮一次：未投中
C．掷一枚硬币，正面朝上
D．任意画一个四边形，其内角将是
解：、是随机事件，故不符合题意；
、是随机事件，故不符合题意；
、是随机事件，故不符合题意；
、是必然事件，故符合题意；
故选：．
4．下列说法中，正确的是（　　）
A．如果和是相反向量，那么
B．如果和是平行向量，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
解：如果和是相反向量，那么，故选项错误；
如果和是平行向量，那么和方向相同或相反，模不一定相等，故选错误；
由无法得到，因为方向不一定相同，故选项错误；
如果，那么，正确，故选项正确；
故选：．
5．已知矩形的对角线、交于点，下列条件中能判定四边形是正方形的是（　　）
A． B． C． D．
解：四边形是矩形，对角线、交于点，
，
由不能判定四边形是正方形，
故不符合题意；
矩形的对角线、交于点，
，，且，
，
由不能判定四边形是正方形，
故不符合题意；
矩形的对角线、交于点，且，即，
四边形是正方形，
故符合题意；
四边形是矩形，
，
由不能判定四边形是正方形，
故不符合题意，
故选：．
6．已知小丽家、便利店、体育馆在同一直线上，某天小丽从家步行到便利店买了一瓶水，再到体育馆锻炼，最后骑共享单车回家．小丽离家距离与时间之间的关系如图所示．下列结论错误的是（　　）
A．小丽家到便利店距离500米
B．小丽在便利店停留了5分钟
C．小丽步行的速度是
D．小丽骑自行车的速度是步行速度的1.5倍
解：由图象知，
、小丽家到便利店距离是0.5千米米，故选项不符合题意；
、小丽在便利店停留了（分钟），故选项不符合题意；
、小丽步行的速度是，故选项不符合题意；
、小丽骑自行车的速度是，
，
小丽骑自行车的速度是步行速度的2倍，故选项符合题意；
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．方程的解为 ．
解：去分母得：，
解得：或，
经检验是增根，分式方程的解为，
故答案为：
8．二项方程的实数解是　　．
解：，
，
，
，
；
故答案为：．
9．一次函数的截距是　1　．
解：由，令，则，
即一次函数与轴交点为，
一次函数的截距为1．
故答案为：1．
10．用换元法解分式方程时，如果设，并将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是 　　 ．
解：已知分式方程，
设，
则原方程化为，
整理得：，
故答案为：．
11．已知一个正多边形的一个外角是，那么这个多边形的边数为 　5　．
解：，
这个多边形的边数为5，
故答案为：5．
12．如果一次函数的图象与轴交于点，那么时，的取值范围是 　　 ．
解：如图，
观察函数图象，可知：当时，，
时，的取值范围是．
故答案为：．
13．一项工程，甲队独做提前2天完成，乙队独做要延期5天，现在两队合作3天后，余下的由乙队独做，正好如期完工，设工程期限为天，可列方程 　　 ．
解：由题意可得，
，
故答案为：．
14．从平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形中任选一个图形，顺次连接其各边中点，得到的四边形是菱形的概率是 　　 ．
解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形中，顺次连接各边中点得到的四边形是菱形的四边形是矩形和等腰梯形，
顺次连接其各边中点，得到的四边形是菱形的概率是，
故答案为：．
15．如图，菱形，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，那么的长为 　9.6　 ．
解：四边形为菱形，，
，，，，，
，，
在△中，
，
，
，
，
，
故答案为：9.6．
16．如图，正方形和正方形中，、、三点共线，点在上，，，那么的长是 　　 ．
解：延长交于点，如图所示：
，，、、三点共线，
，
四边形和四边形都是正方形，
，，，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
在△中，由勾股定理得：．
故答案为：．
17．如果一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这个函数图象的“不动点”．已知点是函数图象上的“不动点”，点，点，如果四边形是等腰梯形，那么点的坐标是 　或　 ．
解：点是函数图象上的“不动点”，
，
解得，
，
，，
，轴，
当时，
如图，过作于，交轴于，
四边形是等腰梯形，
，
轴，
，，
又，
四边形是矩形，
，
△△，
，
，
当时，过作于，延长交于，
，，
，
四边形是等腰梯形，
，
，
，
综上，的坐标为或，
故答案为：或．
18．如图，矩形中，，，点在边上，折叠矩形使落在射线上，折痕为，点、分别落在点、处，若，那么的长为 　10　 ．
解：，，
，
将纸片折叠，使落在射线上，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：10．
三、简答题（本大题共4题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，满分28分）
19．解方程：．
解：，
两边平方，得
整理，得：，解得：，
经检验：是增根，是原方程的解，（1分）
原方程的解是（1分）
20．解方程组：
解：将方程的左边因式分解，得或，
原方程组可以化为或，
解这两个方程组得或，
所以原方程组的解是．
21．如图，在中，点在边的延长线上，，设，．
（1）写出图中所有与互为相反向量的向量：　，　 ；
（2）试用向量，表示： 　　 ； 　　 ；
（3）在图中求作：．（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结论）．
解：（1）与互为相反向量的向量：，．
故答案为：，．
（2），．
故答案为：，；
（3）如图，即为所求．
22．小明家附近有、两种品牌的共享电动车，其收费方式分别满足函数和收费（元与骑行时间（分钟）的关系如图所示．已知小明家到工厂的距离为，两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为．
（1）当时，求品牌收费方式与骑行时间的函数解析式．
（2）小明从家骑行去工厂，选择哪种品牌的共享电动车更省钱？
（3）当骑行时间为多少时，两种品牌的收费相差2元？
解：（1）当时，品牌每分钟收费为（元，
则，
当时，与的函数解析式为．
（2）小明从家到工厂所用时间为，
根据图象，当时，，
选择品牌的共享电动车更省钱．
（3）品牌每分钟收费为（元，
则与的函数解析式为．
当时，当两种品牌的收费相差2元时，得，
解得，
当时，当两种品牌的收费相差2元时，得，
解得（舍去）或，
当骑行时间为10或30时，两种品牌的收费相差2元．
四、解答题（本大题共4题，第23、24题每题8分，第25、26题每题10分，满分36分）
23．学校购买一批奖品．已知种奖品的单价比种奖品单价便宜9元，用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个．
（1）求、两种奖品的单价各是多少元？
（2）该校计划购买、两种奖品共80个，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用．
解：（1）设种奖品的单价为元，则种奖品的单价为元．
根据题意，得，
解得，（舍去），
经检验，是所列分式方程的根，
（元．
答：种奖品的单价为8元，种奖品的单价为17元．
（2）设购买种奖品个，则购买种奖品个．
根据题意，得，
解得，
设购买费用为元，则，
，
随的增大而减小，
，
当时值最小，，
（个．
答：购买种奖品60个、种奖品20个最省钱，最低购买费用为820元．
24．如图，已知在中，点、分别是边、的中点，过点、的直线交的延长线于点，联结．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）联结，如果，求证：四边形是矩形．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，
，
是的中点，
，
，
△△，
，
是的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）△△，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
25．【阅读理解】不论取何值，正比例函数的图象始终经过点，我们说函数的图象经过定点．类似的，函数的图象经过定点．探求定点的具体思路是：设法找到的某些取值，使函数表达式中含的各项之和为0，即变形得：，令，总有，从而得到点．
【尝试运用】
（1）函数的图象经过的定点坐标是 　　 ；
（2）如果点，，是原点，且直线将△分成面积相等的两部分，求的值；
（3）在（2）的条件下，如果点在轴上，点在直线上，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
解：（1），
当，即时，，
函数的图象经过的定点坐标是；
故答案为：；
（2）如图：
由（1）知，函数的图象经过定点，
当直线将△分成面积相等的两部分时，它也经过边的中点，
，，
，
把代入得：，
解得，
的值为；
（3）由（2）知，，直线，
设，，
又，，
①当，为对角线时，，的中点重合，
，
解得，
；
②当，为对角线时，，的中点重合，
，
解得，
；
③当，为对角线时，，的中点重合，
，
解得，
；
综上所述，的坐标为或或．
26．已知梯形，，，，点为射线上一动点，联结，过点作，交射线于点，且．
（1）当点在线段上时，
①如图1，如果，求的长；
②如图2，点为边上一点，且，求的值；
（2）如果，△是等腰三角形，求的长．
解：（1）①过作于，
则，
，
，
又，
△△，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
；
②过作于，过作于，
，
，
四边形，都是矩形，
，，，
设，，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）当在线段上时，如图，过作于，
由（1）可知：，，
，
△是等腰三角形，，
；
当在线段的延长线上时，
①当时，如图，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，，
；
②当时，如图，过作于，
则，
，
，
又，
△△，
，
，，
，
，
，
；
③当时，则，
，
，
又，
与在同一直线上，不符合题意，舍去，
综上，的长为或4．

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