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2024-2025学年上海市徐汇区八年级（下）期末数学试卷
一.选择题（共6小题，每小题2分，共12分）.
1．一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列事件中，是确定事件的是（　　）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上
B．直线与直线有公共点
C．经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯
D．射击运动员射击一次，命中9环
3．下列方程中，有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列命题中，是假命题的是（　　）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
5．下列命题中，不正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线相等的矩形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
6．台风影响着人们的生产和生活．从函数角度研究地面风速随着离台风中心距离（即台风半径）变化而变化的规律，以台风半径为横轴，风速为纵轴的坐标系中画出了如图所示的函数图象，并在图中标注了该台风的12级、10级和7级风圈半径．例如当离台风中心的距离约为时，地面风速衰减至，此时为12级风圈半径．那么以下关于这场台风的说法中，正确的是（　　）
A．越靠近台风中心位置，风速越大
B．距台风中心处，风速达到最大值
C．10级风圈半径约为
D．在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减
二.填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．方程的根是　　 ．
8．方程的解是　　 ．
9．用换元法解关于的方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为　　 ．
10．已知直线经过点，那么不等式的解集是　　 ．
11．如果从某多边形的一个顶点出发，可以作4条对角线，那么这个多边形的内角和是 　　．
12．在矩形中，对角线、交于点，已知，那么的长是　　 ．
13．如图，在中，是边的中点，，，用向量、表示向量为 　　．
14．如图，在△中，、分别是边、的中点，、分别是、的中点，如果，那么　　 ．
15．晚上在清洗三只除颜色外完全相同的有盖茶杯时，忽然停电，爸爸摸黑将三个杯盖随机盖在三个茶杯上，运用枚举法可以求出三只茶杯和杯盖搭配完全正确的概率为　　 ．
16．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．良工高士素好奇，算出索长有几？步尺）
这段话的意思是：秋千静止时，踏板离地面1尺高；将秋千的踏板向前推动2步10尺时，踏板就和推秋千的人一样高，同为5尺．小明根据上述信息画出了如图所示的示意图，则可求秋千的绳索长为　　 尺．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点，轴于点．以为边作菱形，若点在轴上，则点的坐标为　　 ．
18．如图，已知矩形中，，，是射线上一点，将矩形沿着直线翻折，点的对应点恰好和点、在一条直线上，则的长为　　 ．
三.（本大题共7题，第19-20题每题7分；第21题8分；第22题9分；第23题10分；第24题11分；第25题12分；满分64分）
19．解方程：
20．解方程组：．
21．如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：
（1）像这样规格的饭碗整齐地叠放在桌面上时，求一摞饭碗的高度与饭碗数（个之间的函数解析式；
（2）把图中这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
（3）如果一摞饭碗的高度超过时容易发生侧翻，请问一摞最多能放多少个碗？
22．已知：如图，四边形中，，，．
（1）求证：四边形是等腰梯形；
（2）当时，求的度数．
23．在平面直角坐标系中，如图所示，已知点在反比例函数的图象上．过作轴，垂足为点．在的右侧，以为斜边作等腰直角三角形，再过点作交反比例函数的图象于点．
（1）当点的横坐标为时，求点的坐标和直线的表达式；
（2）当四边形是正方形时，求点的坐标．
24．已知，如图，正方形的边长为6，点为射线上一个动点，连接，以点为圆心，为半径画弧与直线交于点，连接，且规定．
（1）如图1，当点在边上时，求证：；
（2）如图2，当点在边的延长线上时，求解下列问题：
①设的长为，的长为，试求关于的函数解析式及的取值范围；
②当时，求的长．
25．综合与探究
新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
请运用研究特殊四边形的经验，对“邻等对补四边形”进行探究．
（1）概念理解：用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有　　 （填序号）．
（2）性质探究：
小明从特殊到一般，围绕邻等对补四边形的对角线展开研究，首先根据图1②中的特殊情况得到一个结论：
若邻等对补四边形中，两组邻边均相等，则必有一条对角线平分一组对角；
于是他画出了如图2的更一般的邻等对补四边形，并从对角线的维度得到了以下猜想：
若邻等对补四边形中，仅有一组邻边相等，则必有一条对角线平分一个内角；
请根据图2，改写命题，写出已知条件和求证，并进行证明．
（3）综合应用：
如图3，在△中，，．分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形．
若，请画出所有符合条件的图形，并直接写出或用含的代数式表示．
参考答案
一.选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】
1．一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：一次函数，，，
该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故选：．
2．下列事件中，是确定事件的是（　　）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上
B．直线与直线有公共点
C．经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯
D．射击运动员射击一次，命中9环
解：．选项事件是随机事件，不符合题意；
．选项事件是不可能事件，符合题意；
．选项事件是随机事件，不符合题意；
．选项事件是随机事件，不符合题意．
故选：．
3．下列方程中，有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
解：方程的根的判别式△，故选项中方程有实数根；
方程的根的判别式△，故选项中方程无实数根；
，
选项中方程无实数根；
方程无解，故选项中方程无实数根；
故选：．
4．下列命题中，是假命题的是（　　）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
解：、、中的命题是真命题，故、、不符合题意；
、两个向量的模相等，但它们不一定是相等向量，故符合题意．
故选：．
5．下列命题中，不正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线相等的矩形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
解：、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，是真命题，不符合题意；
、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题，不符合题意；
、对角线相等的菱形是正方形，故原命题错误，符合题意；
、对角线相等的菱形是正方形，正确，是真命题，不符合题意．
故选：．
6．台风影响着人们的生产和生活．从函数角度研究地面风速随着离台风中心距离（即台风半径）变化而变化的规律，以台风半径为横轴，风速为纵轴的坐标系中画出了如图所示的函数图象，并在图中标注了该台风的12级、10级和7级风圈半径．例如当离台风中心的距离约为时，地面风速衰减至，此时为12级风圈半径．那么以下关于这场台风的说法中，正确的是（　　）
A．越靠近台风中心位置，风速越大
B．距台风中心处，风速达到最大值
C．10级风圈半径约为
D．在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减
解：．根据图象可知，在图象的前段部分，风速随台风半径的增大而增大，则越靠近台风中心位置，风速越小，故选项不符合题意；
．根据图象可知，台风半径小于时，风速已达到最大值，故选项不符合题意；
．根据图象可知，10级风圈的台风半径为，风速为，故选项不符合题意；
．根据图象可知，风速先是随台风半径的增大而增大，风速达到最大之后，又随台风半径的增大而减小，故选项符合题意．
故选：．
二.填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．方程的根是　　 ．
解：，
，
，
故答案为：．
8．方程的解是　　 ．
解：两边同时平方可得：
可解得：或；
经检验不符，
故答案为：．
9．用换元法解关于的方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为　　 ．
解：已知关于的方程，
设，
则原方程化为，
整理得：，
故答案为：．
10．已知直线经过点，那么不等式的解集是　　 ．
解：已知直线与轴交点坐标是，
，得；
代入不等式得，
，又，
化简得，，
不等式的解集是．
故答案为：．
11．如果从某多边形的一个顶点出发，可以作4条对角线，那么这个多边形的内角和是 　900　．
解：多边形的边数是，
则内角和是．
故答案为：900．
12．在矩形中，对角线、交于点，已知，那么的长是　2　 ．
解：如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
△是等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：2．
13．如图，在中，是边的中点，，，用向量、表示向量为 　　．
解：向量，，
．
是边的中点，
．
．
故答案为：．
14．如图，在△中，、分别是边、的中点，、分别是、的中点，如果，那么　6　 ．
解：、分别是边、的中点，
是△的中位线，
，
、分别是、的中点，
是梯形的中位线，
，
故答案为：6．
15．晚上在清洗三只除颜色外完全相同的有盖茶杯时，忽然停电，爸爸摸黑将三个杯盖随机盖在三个茶杯上，运用枚举法可以求出三只茶杯和杯盖搭配完全正确的概率为 ．
解：将三个茶杯分别记为，，，对应的杯盖分别记为，，，
将三个杯盖随机盖在茶杯上的所有可能的排列如下：
①，，（完全正确），
②，，，
③，，，
④，，，
⑤，，，
⑥，，，
在6种排列中，三只茶杯和杯盖搭配完全正确的情况有1种，
三只茶杯和杯盖搭配完全正确的概率为．
故答案为：．
16．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．良工高士素好奇，算出索长有几？步尺）
这段话的意思是：秋千静止时，踏板离地面1尺高；将秋千的踏板向前推动2步10尺时，踏板就和推秋千的人一样高，同为5尺．小明根据上述信息画出了如图所示的示意图，则可求秋千的绳索长为　14.5　 尺．
解：设绳索长尺，
由题意得，．
故答案为：．
解得．
尺．
故答案为：14.5．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点，轴于点．以为边作菱形，若点在轴上，则点的坐标为　，或，　 ．
解：如图，
点，轴于点，，，
四边形是菱形，
，
分两种情况：
①当点在轴负半轴时，，
，
，；
②当点在轴正半轴时，，
，
，；
综上所述，点的坐标为，或，，
故答案为：，或，．
18．如图，已知矩形中，，，是射线上一点，将矩形沿着直线翻折，点的对应点恰好和点、在一条直线上，则的长为　1或9　 ．
解：在矩形中，，，
，，，
当在线段上，
将矩形沿着直线翻折，点的对应点恰好和点、在一条直线上，
，，，
，
在△中，，
，
，
解得；
当在线段的延长线上，
将矩形沿着直线翻折，点的对应点恰好和点、在一条直线上，
，，，
，
，
，
，
解得；
综上，的长为1或9，
故答案为：1或9．
三.（本大题共7题，第19-20题每题7分；第21题8分；第22题9分；第23题10分；第24题11分；第25题12分；满分64分）
19．解方程：
解：去分母得：，即，
分解因式得：，
解得：或，
经检验是增根，分式方程的解为．
20．解方程组：．
解：由①得：，
或，
由②得，
或，
原方程组相当于以下4个方程组：，，，，
解得，，，．
21．如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：
（1）像这样规格的饭碗整齐地叠放在桌面上时，求一摞饭碗的高度与饭碗数（个之间的函数解析式；
（2）把图中这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
（3）如果一摞饭碗的高度超过时容易发生侧翻，请问一摞最多能放多少个碗？
解：（1）每增加一个饭碗，这摞饭碗的高度增加，
则，
与之间的函数解析式为．
（2）当时，．
答：摞饭碗的高度是．
（3）根据题意，得，
解得．
答：一摞最多能放13个碗．
22．已知：如图，四边形中，，，．
（1）求证：四边形是等腰梯形；
（2）当时，求的度数．
【解答】（1）证明：延长、交于点，
，
，
，
，即，
，
，
，
即，
，
，
，
，
与不平行，
四边形是梯形，
，
梯形是等腰梯形；
（2）解：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
23．在平面直角坐标系中，如图所示，已知点在反比例函数的图象上．过作轴，垂足为点．在的右侧，以为斜边作等腰直角三角形，再过点作交反比例函数的图象于点．
（1）当点的横坐标为时，求点的坐标和直线的表达式；
（2）当四边形是正方形时，求点的坐标．
解：（1）如图所示，过点作于点，
当点的横坐标为时，，
，
，，
由条件可知，
点的横坐标为，
点的坐标为；
设所占直线表达式为，由条件可得：
，
解得，
，
设直线的表达式为，
将代入得，，
解得，
直线的表达式为；
（2）如图所示，当四边形是正方形时，
设，
以为斜边作等腰直角三角形，
，
四边形是正方形，
△是等腰直角三角形，
轴，
点和点关于对称，
，
点在反比例函数的图象上，
，
解得或（舍去），
．
24．已知，如图，正方形的边长为6，点为射线上一个动点，连接，以点为圆心，为半径画弧与直线交于点，连接，且规定．
（1）如图1，当点在边上时，求证：；
（2）如图2，当点在边的延长线上时，求解下列问题：
①设的长为，的长为，试求关于的函数解析式及的取值范围；
②当时，求的长．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，，
；
（2）解：①过作于，
则△是等腰直角三角形，
，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，，
，
在△ 和△中，
，
△△，
，
；
②当时，
，即，
，
，
，
，，
，
，
．
25．综合与探究
新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
请运用研究特殊四边形的经验，对“邻等对补四边形”进行探究．
（1）概念理解：用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有　②④　 （填序号）．
（2）性质探究：
小明从特殊到一般，围绕邻等对补四边形的对角线展开研究，首先根据图1②中的特殊情况得到一个结论：
若邻等对补四边形中，两组邻边均相等，则必有一条对角线平分一组对角；
于是他画出了如图2的更一般的邻等对补四边形，并从对角线的维度得到了以下猜想：
若邻等对补四边形中，仅有一组邻边相等，则必有一条对角线平分一个内角；
请根据图2，改写命题，写出已知条件和求证，并进行证明．
（3）综合应用：
如图3，在△中，，．分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形．
若，请画出所有符合条件的图形，并直接写出或用含的代数式表示．
解：（1）图①，图③中不存在对角互补，
图①，图③不是邻等对补四边形．
图④等腰直角三角形存在邻边相等，两个直角对角互补，
图④是邻等对补四边形．
图②存在两组邻边相等且对角互补，
图②是邻等对补四边形．
故答案为：②，④；
（2）若邻等对补四边形中，仅有一组邻边相等，则必有一条对角线平分一个内角．
已知：四边形为邻等对补四边形，，，
求证：平分．
证明：在上取一点，连接，使，连接，如图，
，
，
，
，
，
．
，，
，
，
，
．
在△和△中，
，
△△，
．
平分．
若邻等对补四边形中，仅有一组邻边相等，则必有一条对角线平分一个内角；
（3），，
．
四边形是邻等对补四边形，，
．如图，
①当时，
，，
；
②当时，
，，
，
；
③当时，连接，如图，
，
，
．
，，
△△，
，
，
△△，
．
．
④当时，连接，如图，
，
，
，，
△△，
，
，
△△，
，
．
综上，若，的度数为或或．

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