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2024-2025学年上海市杨浦区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）.
1．下列函数中，随的增大而增大的函数是（　　）
A． B． C． D．
2．下列方程为无理方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列命题中，真命题是（　　）
A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则
4．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．抛掷一枚均匀硬币，落地后正面朝上
B．任意选取两个非零实数，它们的积为正
C．在平面内画一个三角形，它的内角和等于
D．明天太阳从西边出来
5．平行四边形的对角线，相交于点，下列条件中，不能判定它为菱形的是（　　）
A． B． C． D．平分
6．如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．已知点在一次函数的图象上，那么　　 ．
8．若直线与轴交于点，当时，的取值范围是　 　．
9．方程的解是 　　．
10．关于的方程的解是 　　．
11．如果是关于的方程的增根，那么实数的值为　　．
12．不透明的布袋里有2个黄球，4个红球，5个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中随机摸出一个球恰好为红球的概率是 　　．
13．甲、乙两人在一次赛跑中，路程（米与时间（秒的关系如图所示．当第一个人到达终点时，第二个人距离终点还剩 　　 米．
14．如果一个多边形的内角和为，那么它的边数是　 　．
15．平行四边形中，，则　　 度．
16．如图，在△中，，点、分别是边、的中点，点是线段上的一点且，连接、，若，则线段的长为　　 ．
17．如图，菱形的面积为36，点、分别在边、上，，如果△的面积为6，那么△的面积为　　 ．
18．如图，已知正方形和正方形顶点重合，点、、分别在边、、上，，将正方形绕着点旋转，点、分别落到点、，如果点、、在同一直线上时，那么线段的长为 　　 ．
三、解答题（本大题共7题，满分46分）
19．解方程
20．解方程组：．
21．如图，已知梯形中，，点在上，．
（1）填空：　　；
（2）填空：　　；
（3）在图中直接作出．（不写作法，写结论）
22．某年级计划组织部分同学进行义务植树200棵，由于同学们积极参与，实际参加植树的同学人数比原计划多了30人，结果每人比原计划少植树1棵，但总共植树比原计划多了40棵，求实际参加植树的同学人数．
23．已知：如图，矩形中，，将△沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接．
（1）求证：．
（2）连接，与的交点为，过作交于，连接．求证：四边形是矩形．
24．已知在平面直角坐标系中，直线经过第一象限内的点和点，以线段为对角线作矩形，轴，反比例函数的图象经过点．
（1）求点的坐标（用含的代数式表示）；
（2）如果点关于直线的对称点恰好落在轴上，求的值．
25．新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作邻补四边形．
（1）如图1，用分别含有和的直角三角形纸板拼出的4个四边形，其中邻补四边形的是 　　 ；
（2）如图2，已知四边形是邻补四边形，，，，，求边的长；
（3）如图3，已知在△中，，，，点、分别在、上，连接、，如果四边形是邻补四边形，请直接写出的长．
参考答案
一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．下列函数中，随的增大而增大的函数是（　　）
A． B． C． D．
解：对于一次函数，，为常数），
当，图象经过第一，三象限，随的增大而增大；
，，选项错，选项对．
故选：．
2．下列方程为无理方程的是（　　）
A． B． C． D．
解：．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意；
．根号内含有未知数，方程属于无理方程，故本选项符合题意；
．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意；
．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意．
故选：．
3．下列命题中，真命题是（　　）
A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则
解：．若，则，故原说法是假命题，该选项不符合题意；
．若，则，故原说法是假命题，该选项不符合题意；
．若，则，故原说法是真命题，该选项符合题意；
．若，则，故原说法是假命题，该选项不符合题意；
故选：．
4．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．抛掷一枚均匀硬币，落地后正面朝上
B．任意选取两个非零实数，它们的积为正
C．在平面内画一个三角形，它的内角和等于
D．明天太阳从西边出来
解：、抛掷一枚均匀硬币，落地后正面朝上，是随机事件，不符合题意；
、任意选取两个非零实数，它们的积为正，是随机事件，不符合题意；
、在平面内画一个三角形，它的内角和等于，是必然事件，符合题意；
、明天太阳从西边出来，是不可能事件，不符合题意；
故选：．
5．平行四边形的对角线，相交于点，下列条件中，不能判定它为菱形的是（　　）
A． B． C． D．平分
解：、为一组邻边相等平行四边形是菱形；
、为对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形；
、为一条对角线平分一角，可得出一组邻边相等，也能判定为菱形；
、可判定为矩形，不能判定为菱形，故选．
6．如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解：在直线的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．已知点在一次函数的图象上，那么　9　 ．
解：将代入得，
故答案为：9．
8．若直线与轴交于点，当时，的取值范围是　　．
解：
直线与轴交于点，
，解得，
直线解析式为，
当时，即，
解得，
故答案为：．
9．方程的解是 　　．
解：，
方程两边平方得：，
即，
解得：，，
经检验不是原方程的解，是原方程的解，
所以原方程的解是．
10．关于的方程的解是 　　．
解：，
，
故答案为：．
11．如果是关于的方程的增根，那么实数的值为　4　．
解：去分母得：，
把代入得：，
故答案为：4．
12．不透明的布袋里有2个黄球，4个红球，5个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中随机摸出一个球恰好为红球的概率是 　　．
解：不透明的布袋里有2个黄球，4个红球，5个白球，
从布袋中随机摸出一个球恰好为红球的概率是，
故答案为：．
13．甲、乙两人在一次赛跑中，路程（米与时间（秒的关系如图所示．当第一个人到达终点时，第二个人距离终点还剩 　4　 米．
解：（米，
即当第一个人到达终点时，第二个人距离终点还剩4米，
故答案为：4．
14．如果一个多边形的内角和为，那么它的边数是　6　．
解：设它的边数是，根据题意得，
，
解得．
故答案为：6．
15．平行四边形中，，则　120　 度．
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
故答案为：120．
16．如图，在△中，，点、分别是边、的中点，点是线段上的一点且，连接、，若，则线段的长为　12　 ．
解：点、分别是边、的中点，
是△的中位线，
，
，是的中点，，
，
．
．
，
故答案为：12．
17．如图，菱形的面积为36，点、分别在边、上，，如果△的面积为6，那么△的面积为　15　 ．
解：连接，，
，
，
同理：，
△的面积为6，
△的面积：△的面积，
，
△的面积菱形的面积△的面积△的面积△的面积．
故答案为：15．
18．如图，已知正方形和正方形顶点重合，点、、分别在边、、上，，将正方形绕着点旋转，点、分别落到点、，如果点、、在同一直线上时，那么线段的长为或 ．
解：正方形和正方形顶点重合，，
，，，
，，
如图，当点在、之间时，连接，则，
由旋转的性质得四边形是正方形，，
，
，
，
如图，当点在、之间时，连接，则，
同理可求，，
综上可知，线段的长为或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7题，满分46分）
19．解方程
解：去分母，得，
整理，得，
解得，，
经检验：是原方程的增根，（1分）
原方程的根是．（1分）
20．解方程组：．
解：，
由①得：，
方程两边开方，得③，
由②和③组成两个二元一次方程组：，，
解得：，，
所以原方程组的解是，．
21．如图，已知梯形中，，点在上，．
（1）填空：　　；
（2）填空：　　；
（3）在图中直接作出．（不写作法，写结论）
解：（1）
．
故答案为：．
（2），，
四边形为平行四边形，
．
．
故答案为：．
（3）．
如图，即为所求．
22．某年级计划组织部分同学进行义务植树200棵，由于同学们积极参与，实际参加植树的同学人数比原计划多了30人，结果每人比原计划少植树1棵，但总共植树比原计划多了40棵，求实际参加植树的同学人数．
解：设实际参加植树的同学人数为人，则原计划参加植树的同学人数为人，
根据题意得：，
解得：，，
经检验，，均为所列方程的解，符合题意，不符合题意，舍去．
答：实际参加植树的同学人数为80人．
23．已知：如图，矩形中，，将△沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接．
（1）求证：．
（2）连接，与的交点为，过作交于，连接．求证：四边形是矩形．
【解答】证明：（1）由折叠的性质得：△△，
，，
四边形是平行四边形，
，．
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）将△沿直线翻折，点落在点处，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
24．已知在平面直角坐标系中，直线经过第一象限内的点和点，以线段为对角线作矩形，轴，反比例函数的图象经过点．
（1）求点的坐标（用含的代数式表示）；
（2）如果点关于直线的对称点恰好落在轴上，求的值．
解：（1）由题意，直线经过第一象限内的点，
．
直线为．
轴，
的纵坐标为2．
又反比例函数的图象经过点，
，．
四边形为矩形，
．
轴．
的横坐标为．
又在上，
，．
（2）由题意，、关于直线对称，
可设为．
关于直线的对称点恰好落在轴上，
．
，，
的中点为，．
，且．
．
25．新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作邻补四边形．
（1）如图1，用分别含有和的直角三角形纸板拼出的4个四边形，其中邻补四边形的是 　②④　 ；
（2）如图2，已知四边形是邻补四边形，，，，，求边的长；
（3）如图3，已知在△中，，，，点、分别在、上，连接、，如果四边形是邻补四边形，请直接写出的长．
解：（1）①和③中对角不互补；②④符合邻等对补四边形的定义，
故答案为：②④；
（2）延长至点，使，连接，过作于，如图2，
四边形是邻等对补四边形，
，
，
，
，
△△，
，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
；
（3）四边形是邻等对补四边形，，
；
①如图1：当时，连接，则△△，
，
，
，
△为等边三角形，
；
②如图2：当时，
，，，，
，
过点作，
，
，，
，
；
③如图3：当时，
设，
，
，，
，
，
，
，
，
，，，
，
；
综上：或或．

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