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2024-2025学年上海市长宁区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）.
1．已知一次函数，当 时，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．已知点、、是一次函数的图象上的三点，则在、、中最小的是（　　）
A． B． C． D．无法确定
3．下列方程中，有实数解的方程是（　　）
A． B． C． D．
4．下列事件中必然发生的是（　　）
A．同时掷三枚相同的骰子，朝上一面的三个数字之和为19
B．一副洗好的扑克牌，从中任抽一张牌的点数是奇数
C．上海天天都是晴天
D．由三个数字1、2、3组成的任意一个三位数都是3的倍数
5．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．菱形 D．等腰梯形
6．下列关于三角形的中位线、梯形的中位线的表述，正确的是（　　）
A．联结三角形两腰中点的线段叫做三角形的中位线
B．联结梯形两底边中点的线段叫做梯形的中位线
C．三角形的一条中位线一定与该三角形第三边上的中线互相平分
D．梯形的中位线一定将该梯形分成面积相等的两部分
二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
7．如函数是一次函数，则的取值范围是　　 ．
8．将直线沿轴向上平移4个单位后，所得直线的截距为　　 ．
9．用换元法解方程时，如果设，那么将原方程变形后表示为关于的一元二次方程的形式是　　 ．
10．一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的内角和为 　　 度．
11．化简：　　 ．
12．在等腰梯形中，、、、依次分别为各边中点，已知对角线长40，则四边形的周长为　　 ．
13．已知菱形的边长为5，对角线的长为8，则菱形的面积为　　 ．
14．如正方形的边长为厘米，其面积为平方厘米，则正方形的对角线的长为 　　 厘米．
15．如方程有一个解是，则这个方程的另一个实数解为 　　 ．
16．已知、、分别为△的三条边长，为斜边长，，我们把关于△的形如的一次函数称为“勾股一次函数”．如点在“勾股一次函数”的图象上，且△的面积为4，则的值为　　 ．
17．如图，在平行四边形中，于，平分交于，如，，，则的长为　　 ．
18．如图，已知、是线段上两点，且，是线段上一动点，在同侧分别作等边三角形和等边三角形若为线段的中点，当点由点移动到点时，则点移动的路径长度与线段的长之间的函数关系式为 　　 ．
三、解答题（本大题共7个题，共46分.第19、20、21、22题，每题5分；第23、24题，每题8分；第25题10分）
19．解方程：．
20．解方程组：．
21．如图，在平行四边形中，对角线和相交于点，为中点，联结、．已知，设，．
（1）用和表示、，并求；
（2）在图中作出．
22．小杰、小明两人各持有四张分别写有数字1、2、3、4的相同卡片，他俩玩数字游戏，规则如下：两人同时随机各出一张卡片，若两张卡片上的数字之和是奇数，则小杰赢；若两张卡片上的数字之和是偶数，则小明赢．这时每人任出一张卡片，小杰、小明两人谁获胜的机会大？为什么？
23．某市某小区共有市民5400人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测．若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短1.5小时完成任务．在这个基础上，上级部门准备安排“蓝天”医疗队去增援另一小区检测，现在要求“蓝天”医疗队再提早1.5小时完成任务，那么“蓝天”医疗队现在每分钟还要多检测几人才能去增援另一小区？
24．如图，矩形的对角线和相交于点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）延长、交于点，联结，请先按要求完善图形，再判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由；
（3）填空：联结，如，，则的长为　　 ．（直接给出结果）
25．如图，在直角坐标平面内，点是坐标原点，直线与轴、轴分别交于点、，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，两条垂线交于点．
（1）填空：线段、、的长分别是 　　 ， 　　 ， 　　 ；
（2）折叠△，使点与点重合，折痕交于点，交于点．
①求点的坐标；
②若经过点的双曲线与线段交于点，那么在坐标平面内是否存在点，使得四边形是以为底的等腰梯形？如存在，请直接写出符合条件的点坐标；如不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知一次函数，当 时，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
解：一次函数中，
，
．
故选：．
2．已知点、、是一次函数的图象上的三点，则在、、中最小的是（　　）
A． B． C． D．无法确定
解：由题知，
因为一次函数解析式为，
所以随的增大而减小．
因为，
所以．
故选：．
3．下列方程中，有实数解的方程是（　　）
A． B． C． D．
解：由得，
解得，，
经检验，是原方程的增根，是原方程的解，故符合题意；
，
，
无实数解，故不符合题意；
由得，
两边平方得：，方程无解，
无解，故不符合题意；
由由意义可知，，
此时，而，
无实数解，故不符合题意；
故选：．
4．下列事件中必然发生的是（　　）
A．同时掷三枚相同的骰子，朝上一面的三个数字之和为19
B．一副洗好的扑克牌，从中任抽一张牌的点数是奇数
C．上海天天都是晴天
D．由三个数字1、2、3组成的任意一个三位数都是3的倍数
解：．选项事件是不可能事件，不符合题意；
．选项事件是随机事件，不符合题意；
．选项事件是不可能事件，不符合题意；
．选项事件是必然事件，符合题意．
故选：．
5．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．菱形 D．等腰梯形
解：、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后与自身重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误；
、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．是中心对称图形．故错误；
、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后与自身重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误．
故选：．
6．下列关于三角形的中位线、梯形的中位线的表述，正确的是（　　）
A．联结三角形两腰中点的线段叫做三角形的中位线
B．联结梯形两底边中点的线段叫做梯形的中位线
C．三角形的一条中位线一定与该三角形第三边上的中线互相平分
D．梯形的中位线一定将该梯形分成面积相等的两部分
解：、联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，故本选项表述错误，不符合题意；
、联结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，故本选项表述错误，不符合题意；
、三角形的一条中位线一定与该三角形第三边上的中线互相平分，表述正确，符合题意；
、梯形的中位线不能将该梯形分成面积相等的两部分，故本选项表述错误，不符合题意；
故选：．
二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
7．如函数是一次函数，则的取值范围是　　 ．
解：函数是一次函数，
，
，
故答案为：．
8．将直线沿轴向上平移4个单位后，所得直线的截距为　或　 ．
解：由题知，
将直线沿轴向上平移4个单位后，所得直线的函数解析式为．
当时，，
所以直线的纵截距为；
当时，，
所以直线的横截距为，
综上所述，直线的截距为或．
故答案为：或．
9．用换元法解方程时，如果设，那么将原方程变形后表示为关于的一元二次方程的形式是　　 ．
解：已知方程，
设，
原方程化为，
整理得：，
故答案为：．
10．一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的内角和为 　720　 度．
解：多边形的每一个外角都等于，
它的边数为：，
它的内角和：，
故答案为：720．
11．化简：　　 ．
解：
．
故答案为：．
12．在等腰梯形中，、、、依次分别为各边中点，已知对角线长40，则四边形的周长为　80　 ．
解：如图，连接，
四边形为等腰梯形，
，
、、、依次分别为各边中点，
、、、分别为△、△、△、△的中位线，
，，，，
四边形的周长为：，
故答案为：80．
13．已知菱形的边长为5，对角线的长为8，则菱形的面积为　24　 ．
解：如图，
四边形是菱形，
，，，
，
，
菱形的面积为．
故答案为：24．
14．如正方形的边长为厘米，其面积为平方厘米，则正方形的对角线的长为 　2　 厘米．
解：正方形的边长为厘米，
正方形的面积为平方厘米，
又正方形的面积为平方厘米，
，
，
，
对角线（厘米）．
故答案为：2．
15．如方程有一个解是，则这个方程的另一个实数解为 　　 ．
解：把代入方程得：，
这个方程为：，
，
，
或，
解得：或，
故答案为：．
16．已知、、分别为△的三条边长，为斜边长，，我们把关于△的形如的一次函数称为“勾股一次函数”．如点在“勾股一次函数”的图象上，且△的面积为4，则的值为　4　 ．
解：由题意，点， 在“勾股一次函数” 的图象上，
，即．
．
，，是直角△ 的三边，为斜边，
，，
．
，
．
（负值舍去）．
故答案为：4．
17．如图，在平行四边形中，于，平分交于，如，，，则的长为 ．
解：延长到，使得，连接，
四边形是平行四边形，
，，，
于点，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
18．如图，已知、是线段上两点，且，是线段上一动点，在同侧分别作等边三角形和等边三角形若为线段的中点，当点由点移动到点时，则点移动的路径长度与线段的长之间的函数关系式为 　　 ．
解：延长和交于，连接，，，取的中点，的中点，连接，
是△的中位线，
，
，
，
△和△是等边三角形，
，
，，
四边形是平行四边形，
和互相平分，
是的中点，
点移动的路径是，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个题，共46分.第19、20、21、22题，每题5分；第23、24题，每题8分；第25题10分）
19．解方程：．
解：移项得
平方得
，
经检验为增根，舍去；
为原方程的解．
原方程的解为．
20．解方程组：．
解：由得：，
或，
原方程组相当于和两个方程组，
解得和，
原方程组的解为，．
21．如图，在平行四边形中，对角线和相交于点，为中点，联结、．已知，设，．
（1）用和表示、，并求；
（2）在图中作出．
解：（1）四边形为平行四边形，
，，
，
．
为中点，
为△的中位线，
且，
．
（2）如图，以点为圆心，的长为半径画弧，以点为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，作，
此时四边形为平行四边形，
，
，
则即为所求．
22．小杰、小明两人各持有四张分别写有数字1、2、3、4的相同卡片，他俩玩数字游戏，规则如下：两人同时随机各出一张卡片，若两张卡片上的数字之和是奇数，则小杰赢；若两张卡片上的数字之和是偶数，则小明赢．这时每人任出一张卡片，小杰、小明两人谁获胜的机会大？为什么？
解：根据题意列表得：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
由列表得：共16种情况，其中奇数有8种，偶数有8种，
和为偶数和和为奇数的概率均为，
两人获胜的机会一样大．
23．某市某小区共有市民5400人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测．若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短1.5小时完成任务．在这个基础上，上级部门准备安排“蓝天”医疗队去增援另一小区检测，现在要求“蓝天”医疗队再提早1.5小时完成任务，那么“蓝天”医疗队现在每分钟还要多检测几人才能去增援另一小区？
解：设原计划每分钟检测人，1.5小时分钟，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
设现在每分钟多检测人，1.5小时小时小时分钟，
由题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
答：“蓝天”医疗队现在每分钟还要多检测10人才能去增援另一小区．
24．如图，矩形的对角线和相交于点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）延长、交于点，联结，请先按要求完善图形，再判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由；
（3）填空：联结，如，，则的长为　　 ．（直接给出结果）
【解答】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
矩形的对角线，相交于点，
，
四边形是菱形；
（2）解：如图1，即为完善的图形，
四边形是等腰梯形，理由如下：
四边形是菱形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是等腰梯形；
（3）解：如图2，连接并延长交于点，
四边形是菱形，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
△是等边三角形，
，
，
，，
四边形是菱形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
故答案为：．
25．如图，在直角坐标平面内，点是坐标原点，直线与轴、轴分别交于点、，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，两条垂线交于点．
（1）填空：线段、、的长分别是 　6　 ， 　　 ， 　　 ；
（2）折叠△，使点与点重合，折痕交于点，交于点．
①求点的坐标；
②若经过点的双曲线与线段交于点，那么在坐标平面内是否存在点，使得四边形是以为底的等腰梯形？如存在，请直接写出符合条件的点坐标；如不存在，请说明理由．
解：（1）在中，令得，令得，
，，
，，
轴，轴，
，
四边形是矩形，
，，
，
故答案为：6，2，；
（2）①设，
由折叠的性质可知，，
，，
，
解得，
；
②在坐标平面内存在点，使得四边形是以为底的等腰梯形，理由如下：
如图：
把代入得，
，
令得，
，，
，，，
直线解析式为，
设直线解析式为，
把代入得：，
解得，
直线解析式为，
设，
，，，，
，
解得（此时四边形是平行四边形，舍去）或，
，．

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