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2024-2025学年上海外国语大学附属外国语学校八年级（下）期末数学试卷
一、填空题（共18题，1-9每题2分，10-18每题3分，满分45分）.
1．若一个多边形的内角和为，则这个多边形的对角线条数是　 　．
2．抛物线的对称轴为 　　 ．
3．直线与抛物线的交点坐标是　 　，　 　．
4．将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为，且新抛物线经过点，则的值为 　　 ．
5．某福彩玩法规定所购的彩票的4位数与开奖结果的4位数相同，则中一等奖．那么购一张彩票中一等奖的概率是 　　 ．
6．关于的方程的解是 　　 ．
7．如图，在梯形中，，点在上，，则　　．
8．如图，梯形中，，、分别是、的中点，，，则 　　 ．
9．如图，矩形中，，垂足为点，且，，则 　　 ．
10．已知关于的方程无解，则的值为 　　 ．
11．已知关于的方程有且只有一个实数解时，则的值为 　　 ．
12．已知一抛物线的形状与的形状相同，对称轴为，它与轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是 　　 ．
13．已知二次函数的图象与轴交点都位于左侧，则的取值范围是 　　 ．
14．如图，矩形中，与交于点，在上，，是的中点，，．则线段 　　 ．
15．如图，△中，，，垂足为点，，，现将△和△分别沿着、翻折，得到△和△，延长、交于点，则四边形的面积是 　　 ．
16．如图所示，以的斜边为一边在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接，如果，，那么　　．
17．在矩形中，，，与的平分线相交于点，如果点在这个矩形的内部（不在边上），那么的取值范围为　 　．
18．已知如图，直角梯形中，，，，，点在上移动，则当取最小值时，中边上的高为　 　．
二、选择题(4x3'＝12')
19．如果点、在线段上，，那么下列结论中正确的是（　　）
A．与是相等向量 B．与是相等向量
C．与是相反向量 D．与是平行向量
20．如图，在四边形中，与相交于点，，，那么下列条件中不能判定四边形是菱形的是（　　）
A． B． C． D．
21．二次函数的图象如图所示，则，，，这四个式子中，值为正数的有　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
22．已知为非负整数，关于的方程至少有一个整数根，则可能取值的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
三、解答题（4'+6'＝10'）
23．已知二次函数在时，有最小值，它的图象与轴交点的横坐标分别为和，且，求该二次函数的解析式．
24．已知二次函数顶点坐标为，这条抛物线与轴的两个交点、，设点在这条抛物线上，且，求点的坐标．
四、证明题（5+7＝12）
25．如图，在△中，为的中点，四边形是平行四边形，求证：与互相垂直平分．
26．如图，四边形为正方形，，且，直线交延长线于．求证：．
五、综合题（10'+11'＝21'）
27．直线与坐标轴分别交于、两点，动点、同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线运动．
（1）直接写出、两点的坐标；
（2）设点的运动时间为（秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；
（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．
28．在梯形中，，，，，，点、分别在边、上，，点与在直线的两侧，，，射线、与边分别相交于点、，设，．
（1）求边的长；
（2）如图，当点在梯形内部时，求关于的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果的长为2，求梯形的面积．
参考答案
一、填空题(9x2'+9x3'＝45')
1．若一个多边形的内角和为，则这个多边形的对角线条数是　54　．
解：设多边形的边数是，则
，
解得，
多边形的对角线的条数是：．
故答案为：54．
2．抛物线的对称轴为 　直线　 ．
解：抛物线是由抛物线沿轴平移得到，
抛物线的对称轴为直线．
故答案为：直线．
3．直线与抛物线的交点坐标是　　，　 　．
解：联立两函数的解析式有：，解方程组，得，；
则直线与抛物线的交点坐标是，．
4．将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为，且新抛物线经过点，则的值为 　　 ．
解：抛物线向左平移后所得抛物线的顶点横坐标为，
设平移后的解析式为，
把点代入，得，
解得．
故答案为：．
5．某福彩玩法规定所购的彩票的4位数与开奖结果的4位数相同，则中一等奖．那么购一张彩票中一等奖的概率是 　　 ．
解：每个数位都可以是0到9这10个数中的任意一个，共有4位数，因而满足条件的数共有个，且每个出现的机会相同．中奖的只有一个，所有中一等奖的概率是，
故答案为：．
6．关于的方程的解是 　　 ．
解：令，
原方程化为，
整理得：，
解得：或（舍去），
则，
整理得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
7．如图，在梯形中，，点在上，，则　　．
解：如图，在梯形中，，点在上，，
，
．
故答案为：．
8．如图，梯形中，，、分别是、的中点，，，则 　4　 ．
解：连接并延长交于点，
，、分别是、的中点，
，，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
是的中点，是的中点，
，
故答案为：4．
9．如图，矩形中，，垂足为点，且，，则 　　 ．
解：四边形是矩形，对角线、交于点，
，，，且，
，
于点，且，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
故答案为：．
10．已知关于的方程无解，则的值为 　　 ．
解：关于的方程无解，
则，
解得：，
故答案为：．
11．已知关于的方程有且只有一个实数解时，则的值为 　0　 ．
解：由题意，，
．
．
关于的方程有且只有一个实数解时，
有且只有一个实数解．
．
．
故答案为：0．
12．已知一抛物线的形状与的形状相同，对称轴为，它与轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是 　或　 ．
解：对称轴是直线，且与轴的两交点之间的距离为2，
由对称性可知，与轴的交点分别为，，
设抛物线解析式为，
抛物线的形状与抛物线相同，
，
抛物线解析式为，
即抛物线解析式为或．
13．已知二次函数的图象与轴交点都位于左侧，则的取值范围是 　　 ．
解：△，
无论取任何值，二次函数的图象与轴都有两个交点，
二次函数的图象开口向下，且与轴交点都位于左侧，
时，，
，
，
故答案为：．
14．如图，矩形中，与交于点，在上，，是的中点，，．则线段 　2.5　 ．
解：四边形是矩形，
，，
是的中点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
设，
，，
，
，
，
，
故答案为：2.5．
15．如图，△中，，，垂足为点，，，现将△和△分别沿着、翻折，得到△和△，延长、交于点，则四边形的面积是 　36　 ．
解：△中，，于点，，，
，，
由翻折得，，，，，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
四边形是正方形，
设正方形的边长为，则，，
，
，
解得，（不符合题意，舍去），
，
故答案为：36．
16．如图所示，以的斜边为一边在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接，如果，，那么　16　．
【解答】
解：在上截取，连接，
四边形是正方形，，
，，
、、、四点共圆，
，
在和中
，
，
，，
，
，
即是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
即，
故答案为：16．
17．在矩形中，，，与的平分线相交于点，如果点在这个矩形的内部（不在边上），那么的取值范围为　　．
解：
如图，过作于，
四边形是矩形，
，
和的角平分线交于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在矩形的内部，，
，
故答案为：；
18．已知如图，直角梯形中，，，，，点在上移动，则当取最小值时，中边上的高为　　．
解：过点作于，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
延长到，使得，连接交于，此时最小，
△，
，
，
，
，
在中，由面积公式可得
中边上的高．
故答案为：．
二、选择题(4x3'＝12')
19．如果点、在线段上，，那么下列结论中正确的是（　　）
A．与是相等向量 B．与是相等向量
C．与是相反向量 D．与是平行向量
解：点、在线段上，，
．
、与方向相反，，故本选项错误；
、与方向相反，，故本选项错误；
、相反向量是方向相反，模相等的两向量，而，与不是相反向量，故本选项错误；
、与共线，与是平行向量，故本选项正确．
故选：．
20．如图，在四边形中，与相交于点，，，那么下列条件中不能判定四边形是菱形的是（　　）
A． B． C． D．
解：、，，
是的垂直平分线，
，，
，，
，
，
与的关系不确定，
无法证明四边形的形状，故此选项错误；
、，，
是的垂直平分线，
，，
，，
，
，
，
△△，
，
四边形是菱形，故此选项正确；
、，
，
，，
△△，
，
四边形是菱形，故此选项正确；
、，，
，
△△，
，
四边形是菱形，故此选项正确．
故选：．
21．二次函数的图象如图所示，则，，，这四个式子中，值为正数的有　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：（1），理由是，
抛物线开口向上，，
抛物线交轴负半轴，，
又对称轴交轴的正半轴，，而，得，
因此；
（2），理由是，
抛物线与轴有两个交点，；
（3），理由是，，，，因此；
（4），理由是，
由图象可知，当时，；而当时，．即．
综上所述，，，，这四个式子中，值为正数的有3个．
故选：．
22．已知为非负整数，关于的方程至少有一个整数根，则可能取值的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
解：，
显然满足条件的，必使得为整数，否则不可能为整数，
设为非负整数），
则原式变为，
，
为非负整数 （又4能整除，
要使为整数，则，1，3，
此时，2，．
又知为非负整数，，2，
当时，方程也有一个整数根，
，2，0，
故选：．
三、解答题（4'+6'＝10'）
23．已知二次函数在时，有最小值，它的图象与轴交点的横坐标分别为和，且，求该二次函数的解析式．
解：设此抛物线的解析式，
由根与系数关系：，，
，
依题意得：，
解得，
抛物线的解析式为．
24．已知二次函数顶点坐标为，这条抛物线与轴的两个交点、，设点在这条抛物线上，且，求点的坐标．
解：二次函数顶点坐标为，
二次函数的解析式为，
令，则，
解得，，
，，
，
设点坐标为，
，
，
或，
解得，或，，
点的坐标为，或，或或．
四、证明题（5+7＝12）
25．如图，在△中，为的中点，四边形是平行四边形，求证：与互相垂直平分．
解：如图，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，为的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，
与互相垂直平分．
26．如图，四边形为正方形，，且，直线交延长线于．求证：．
【解答】证明：连接，作于，
正方形，
，，
，，
，
四边形是正方形．
由，
，
，
又，
，
，
．
五、综合题（10'+11'＝21'）
27．直线与坐标轴分别交于、两点，动点、同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线运动．
（1）直接写出、两点的坐标；
（2）设点的运动时间为（秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；
（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．
解：（1），，求得，，
（2），，
．
点由到的时间是（秒，
点的速度是（单位长度秒）．
当在线段上运动（或时，
，，．
当在线段上运动（或时，
，，
如图，过点作于点，
由，得．
．
（3）当时，，点在上
当时，
，
，
，，，，，
28．在梯形中，，，，，，点、分别在边、上，，点与在直线的两侧，，，射线、与边分别相交于点、，设，．
（1）求边的长；
（2）如图，当点在梯形内部时，求关于的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果的长为2，求梯形的面积．
解：（1）过作，与、分别相交于点、，
梯形中，，
，
又，
四边形是矩形，
，
，
，
．
（2），，
，
，
，
，，
，
，
过点作，与、分别相交于、，
，，
，，
，
，
关于的函数解析式为．定义域为．
（3）当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，，
，
当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，，
．

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