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2024-2025学年上海市虹口区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共6题，每题2分，满分12分）.
1．下列说法中，正确的是（　　）
A．是二项方程 B．是无理方程
C．是二元二次方程 D．是分式方程
2．已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，那么（　　）
A． B． C． D．
3．掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（　　）
A．点数的和为1 B．点数的和为6
C．点数的和大于12 D．点数的和小于13
4．下列说法中，正确的是（　　）
A． B．
C．如果，那么 D．如果，那么
5．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结、、，添加一个条件，不能判定四边形为矩形的是（　　）
A． B． C． D．
6．我们把有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．如图，在的网格中，四边形是“等邻边四边形”，顶点、、在网格格点上，如果点也在网格格点上，那么点的位置有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．直线的截距是　　 ．
8．方程的解是 　　 ．
9．已知一次函数，如果（a），那么的值是　　 ．
10．直线是由向下平移 　　 个单位得到的．
11．已知直线经过点、，那么　　 （填“”、“ ”或“” ．
12．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于、的二元一次方程组的解为 　　 ．
13．已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是 　　．
14．如图，在△中，，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为 　　 ．
15．如图，正方形的边长为2，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为 　　 ．
16．如图，在梯形中，，，是的中点，联结、交于点，如果，，那么用向量、表示向量为　　 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，的边落在轴的正半轴上，且点，直线以每秒2个单位长度的速度沿轴向下平移，经过　　 秒，该直线可将分成面积相等的两部分．
18．如图，在中，，，．、分别为边、上的点（不与顶点重合），且，联结，将四边形沿着翻折得到四边形．如果点在内部，那么的取值范围为　　 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分64分）
19．解方程：．
20．解方程组：．
21．布袋里有1个红球和若干个白球，它们除了颜色外其他都相同．
（1）如果摸出一个球，摸到白球的概率是，那么白球有　　 个；
（2）已知白球有3个，如果摸出一个球再放回袋中，搅匀后再摸出一个球，求事件“摸到一红一白两球”的概率．（请用“树形图”写出分析过程）
22．根据以下素材，完成任务：
制定订餐方案
素材一 某店家有、两种午餐套餐，套餐价格如下表所示： 套餐类别套套套餐单价元元
素材二 某学校八年级组织活动需要订购午餐，已知1班人数比2班多5人，如果1班全部选套，2班全部选套，那么这两个班级都花费1400元．
素材三 “六一”儿童节，店家搞促销，套餐满30份及以上打9折．
问题解决
任务一 求的值和1班的人数．
任务二 “六一”促销期间，设1班有人选择套餐，全班订餐总费用为元，当该班选择套餐人数不少于30人时，求与的函数关系式．
任务三 求“六一”促销期间1班订餐的最低总费用．
23．如图，在梯形中，，，点在边上，联结，，过点作交的延长线为点，联结、．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）延长交于点，如果点为的中点，求证：．
24．如图1，直线经过点和点，将向上平移个单位得到，且经过点．
（1）求直线的表达式和的值；
（2）联结，将△沿直线平移到△边与轴相交于点（如图，小明说：“我发现边上存在点，在平移的过程中可以使得四边形为菱形”．你觉得小明的发现是否正确？如果正确，求点的坐标；如果不正确，请说明理由．
25．【模型构建】
如图①，已知，如果，那么△△．我们把这种图形叫做“一线三直角”．
【初步探究】
我们发现，如果、 和不是直角，但都相等，且，结论也依然成立．
请在下面两题中，选择一题进行解答．
（1）如图②，已知，且，求证：．
（2）如图③，已知，且，求证：．
【探究应用】
如图1，在正方形中，已知，点、、分别在边、、上，且，．设，，求关于的函数解析式，并写出定义域．
【拓展探究】
如图2，在正方形中，已知，点、、分别在边、、上，且．、分别是线段、的中点，联结，如果△是等边三角形，求的长．
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．下列说法中，正确的是（　　）
A．是二项方程 B．是无理方程
C．是二元二次方程 D．是分式方程
解：方程等号左边两项都含未知数，故不是二项方程，选项不符合题意；
是一元二次方程，不是无理方程，故选项不符合题意；
是二元二次方程，故选项符合题意；
是一元二次方程，不是分式方程，故选项不符合题意；
故选：．
2．已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，那么（　　）
A． B． C． D．
解：一次函数的图象经过第一、三、四象限，
，
解得：．
故选：．
3．掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（　　）
A．点数的和为1 B．点数的和为6
C．点数的和大于12 D．点数的和小于13
解：、两枚骰子的点数的和为1，是不可能事件，故不符合题意；
、两枚骰子的点数之和为6，是随机事件，故符合题意；
、点数的和大于12，是不可能事件，故不符合题意；
、点数的和小于13，是必然事件，故不符合题意；
故选：．
4．下列说法中，正确的是（　　）
A． B．
C．如果，那么 D．如果，那么
解：、，故错误；
、，故错误；
、如果，那么不一定等于，故错误；
、如果，那么，故正确．
故选：．
5．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结、、，添加一个条件，不能判定四边形为矩形的是（　　）
A． B． C． D．
解：四边形是平行四边形
，，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形
、，
，
平行四边形是矩形，故选项不符合题意；
、时，，
，
平行四边形是矩形，故选项不符合题意；
、，
平行四边形是矩形，故选项不符合题意；
、，
平行四边形是菱形，故选项符合题意．
故选：．
6．我们把有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．如图，在的网格中，四边形是“等邻边四边形”，顶点、、在网格格点上，如果点也在网格格点上，那么点的位置有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：如图所示，
当时，
当时，
所以符合要求的点的位置有3个．
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．直线的截距是　或　 ．
解：当时，，
所以直线的纵截距为；
当时，，
所以直线的横截距为，
综上所述，直线的截距是或．
故答案为：或．
8．方程的解是 　　 ．
解：，
两边平方得，，
解得，；
经检验，是方程的根；
故答案为．
9．已知一次函数，如果（a），那么的值是　1　 ．
解：把代入，
得（a），
解得．
故答案为：1．
10．直线是由向下平移 　8　 个单位得到的．
解：根据“上加下减”的原则可知，把直线向下平移8个单位得到直线．
故答案为：8．
11．已知直线经过点、，那么　　 （填“”、“ ”或“” ．
解：由题知，
因为一次函数解析式为，
所以随的增大而减小．
因为，
所以．
故答案为：．
12．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于、的二元一次方程组的解为 ．
解：直线与交点的横坐标为1，
纵坐标为，
两直线交点坐标，
关于，的方程组的解为，
故答案为：．
13．已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是 　10　．
解：设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为，
依题意得，
解得，
这个多边形的边数是10．
故答案为：10
14．如图，在△中，，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为 　6　 ．
解：，分别是边，的中点，
是△的中位线，
，，
，
，
，
，
故答案为：6．
15．如图，正方形的边长为2，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为 ．
解：正方形的边长为2，对角线，交于点，
，，，
在△中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
的长为．
故答案为：．
16．如图，在梯形中，，，是的中点，联结、交于点，如果，，那么用向量、表示向量为　　 ．
解：，，是的中点，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
17．如图，在平面直角坐标系中，的边落在轴的正半轴上，且点，直线以每秒2个单位长度的速度沿轴向下平移，经过　3　 秒，该直线可将分成面积相等的两部分．
解：连接，设的中点为，如图：
，为中点，
，
当平移后的直线经过时，该直线可将分成面积相等的两部分，设平移后的直线解析式为，
，
解得，
平移后的直线解析式为，它与轴交点坐标为，
而直线与轴交点坐标为，
平移时间为（秒，
故答案为：3．
18．如图，在中，，，．、分别为边、上的点（不与顶点重合），且，联结，将四边形沿着翻折得到四边形．如果点在内部，那么的取值范围为　　 ．
解：如图，连接，当落在上时，
由对折可得：，，，而，
，
在中，，，，
，，，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
如图，当落在上时，连接，，交于，连接，
同理可得：，，，
，
，，
，
△△，
，，
由对折可得：，
，
，△△，
，
，
，
，
△为等边三角形，
，
，
同理可得：，
，
△为等边三角形，
，
，
在上，
点在内部，那么的取值范围为：；
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分64分）
19．解方程：．
解：，
方程两边同时乘，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
，
或，
检验：把代入，
是原分式方程的增根．
把代入，
分式方程的解为．
20．解方程组：．
解：由得：
，
可得方程组：或，
解得：或．
21．布袋里有1个红球和若干个白球，它们除了颜色外其他都相同．
（1）如果摸出一个球，摸到白球的概率是，那么白球有　4　 个；
（2）已知白球有3个，如果摸出一个球再放回袋中，搅匀后再摸出一个球，求事件“摸到一红一白两球”的概率．（请用“树形图”写出分析过程）
解：（1）设白球有个，
摸出一个球，摸到白球的概率是，
，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
白球有4个．
故答案为：4．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中摸到一红一白两球的结果有6种，
事件“摸到一红一白两球”的概率为．
22．根据以下素材，完成任务：
制定订餐方案
素材一 某店家有、两种午餐套餐，套餐价格如下表所示： 套餐类别套套套餐单价元元
素材二 某学校八年级组织活动需要订购午餐，已知1班人数比2班多5人，如果1班全部选套，2班全部选套，那么这两个班级都花费1400元．
素材三 “六一”儿童节，店家搞促销，套餐满30份及以上打9折．
问题解决
任务一 求的值和1班的人数．
任务二 “六一”促销期间，设1班有人选择套餐，全班订餐总费用为元，当该班选择套餐人数不少于30人时，求与的函数关系式．
任务三 求“六一”促销期间1班订餐的最低总费用．
解：任务一：设1班的人数为人，则2班的人数为人，
班全部选套，2班全部选套，这两个班级都花费1400元，
，
由②得：③，
把①代入③整理得：④，
把④代入①得：，
解得或（舍去），
，
的值为35，1班的人数是40人；
任务二：根据题意得，
与的函数关系式为；
任务三：在中，随的增大而减小，
当时，取最小值，
“六一”促销期间1班订餐的最低总费用为1260元．
23．如图，在梯形中，，，点在边上，联结，，过点作交的延长线为点，联结、．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）延长交于点，如果点为的中点，求证：．
【解答】证明：（1），，
梯形为等腰梯形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）如图，延长至，使，连接、，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
、、在同一条直线上，
，
，，
，
，
，
．
24．如图1，直线经过点和点，将向上平移个单位得到，且经过点．
（1）求直线的表达式和的值；
（2）联结，将△沿直线平移到△边与轴相交于点（如图，小明说：“我发现边上存在点，在平移的过程中可以使得四边形为菱形”．你觉得小明的发现是否正确？如果正确，求点的坐标；如果不正确，请说明理由．
解：（1）设直线的表达式，
将点、代入，，
解得，
直线的表达式为；
平移后直线的表达式为，
经过点，
，
；
（2）小明的发现是正确的，理由如下：
设△向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度，
，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
，
过点与平行的直线解析式为，
当时，解得，
，
四边形为菱形，
，
，
解得，
．
25．【模型构建】
如图①，已知，如果，那么△△．我们把这种图形叫做“一线三直角”．
【初步探究】
我们发现，如果、 和不是直角，但都相等，且，结论也依然成立．
请在下面两题中，选择一题进行解答．
（1）如图②，已知，且，求证：．
（2）如图③，已知，且，求证：．
【探究应用】
如图1，在正方形中，已知，点、、分别在边、、上，且，．设，，求关于的函数解析式，并写出定义域．
【拓展探究】
如图2，在正方形中，已知，点、、分别在边、、上，且．、分别是线段、的中点，联结，如果△是等边三角形，求的长．
【解答】【初步探究】选择（1），证明：
，
且，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
即．
选择（2），证明：
同（1）可证△△，
，，
，
即．
【探究应用】解：如图1所示，作等腰直角三角形和等腰直角三角形，
则，，
，
又，
由（1）可证△△，
则，．
，，
，，
，，
，即，
整理可得，
又，解得，
即，定义域为．
【拓展探究】解：如图2所示，延长至点，使，
延长至点，使，
则，
由（1）可证得△△，
，．
设，，
则，，
，，
，解得，
从而可得，，
取中点，连接，
在梯形中，为中点，为中点，
，，
由，为中点可得，
故．

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