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2024-2025学年上海市嘉定区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共6题，每题2分，满分12分）.
1．一次函数的图象与轴的交点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．下列方程，一定有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．下列判断中，不正确的是（　　）
A． B．
C．如果，那么 D．
5．已知四边形中，，，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　）
A． B． C． D．
6．下列命题中，假命题是（　　）
A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．已知，那么 　　 ．
8．与直线平行且在轴上的截距为2的直线一定不经过第 　　 象限．
9．方程的解是 　　．
10．如果关于的方程无解，那么的取值范围是 　　．
11．已知函数，如果函数值，那么相应的自变量的取值范围是　 　．
12．解方程时，可以设，那么原方程可转化为整式方程：　　 ．
13．在中，点是边的中点，，，那么用、表示，　　．
14．四张完全相同的卡片上，分别画有线段、等边三角形、平行四边形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上画的图形不是轴对称图形的概率是　　．
15．在菱形中，，则 　　 度．
16．某品牌新能源汽车的某款车型售价为30万元，连续两次降价后售价为24.3万元，假如每次平均降价的百分率都为，那么可列方程为 　　．
17．如果一个多边形的每一个内角都等于，那么这个多边形的边数是 　　 ．
18．如图，在△中，，，，、分别是、的中点，那么线段的长为 　　 ．
三、解答题（本大题共7题，满分64分）
19．解方程：．
20．解方程组：
21．如图，点是边长为6的正方形的边上的一点，联结，将△沿折叠得到△．联结并延长交于．
（1）当时，求的长；
（2）设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域．
22．如图，是一个由8个单位正方形组成的图形，是其中一个小正方形的顶点．
（1）过点画一条直线，将这个图形分割成面积为的两部分，画出这条直线，并求出该直线被这个图形所截得的线段长；
（2）如果经过点的一条直线将这个图形分割成面积相等的两部分，画出这条直线．
23．叙述并证明梯形的中位线定理（写出已知、求证，画出图形，写出证明过程）．
24．在直角坐标平面系中（如图），点在轴上，一次函数的图象经过点，与轴和轴分别相交于点、．
（1）求线段的长；
（2）求点到直线的距离；
（3）如果点在轴上，且使得△是等腰三角形，请直接写出点的坐标．
25．如图，在等边三角形中，边长为，，垂足为．点从点出发，沿方向匀速运动，速度是；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，设运动时间为．
试解答下列问题：
（1）如果，求对应的的值；
（2）当点在线段上时，设四边形的面积为 ，求与的关系式；
（3）如果使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求出相应的的值．
参考答案
一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．一次函数的图象与轴的交点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
解：由题意，令，则，
一次函数的图象与轴的交点为．
故选：．
2．下列方程，一定有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
解：解一元二次方程，解无理方程，解分式方程，求平方根的方法逐项分析判断如下：
、，
，
，
当时，原方程无实数根，故不符合题意；
、，
，
，
原方程一定有实数根，故符合题意；
、，
，
，
当时，原方程无实数根，故不符合题意；
、方程中，分子不为0，故原方程无解，故不符合题意；
故选：．
3．已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
解：一次函数的图象经过第一、二、三象限，
，
故选：．
4．下列判断中，不正确的是（　　）
A． B．
C．如果，那么 D．
解：，，，
、、正确，
，
或，
故错误，
故选：．
5．已知四边形中，，，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　）
A． B． C． D．
解：，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
添加，
四边形是正方形，
故选：．
6．下列命题中，假命题是（　　）
A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
解：、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题；
、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，是真命题；
、两条对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题；
、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，错误，是假命题；
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．已知，那么 　　 ．
解：由条件可知，
故答案为：．
8．与直线平行且在轴上的截距为2的直线一定不经过第 　四　 象限．
解：，，
直线的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故答案为：四．
9．方程的解是 　　．
解：根据题意可得：或，
或，
或．
由题意可得：，
解得：．
故答案为：．
10．如果关于的方程无解，那么的取值范围是 　　．
解：关于的方程无解，
，
解得：．
故答案为：．
11．已知函数，如果函数值，那么相应的自变量的取值范围是　　．
解：，随的增大而增大，
当时，，
故答案为：．
12．解方程时，可以设，那么原方程可转化为整式方程：　　 ．
解：由题意可得：，
方程两边同乘以，得，
则，
故答案为：．
13．在中，点是边的中点，，，那么用、表示，　　．
解：在中，点是边的中点，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
14．四张完全相同的卡片上，分别画有线段、等边三角形、平行四边形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上画的图形不是轴对称图形的概率是　　．
解：卡片中，不是轴对称图形只有平行四边形，
根据概率公式，（轴对称图形）．
故答案为：．
15．在菱形中，，则 　56　 度．
解：如图，
，
，
由条件可知，
故答案为：56．
16．某品牌新能源汽车的某款车型售价为30万元，连续两次降价后售价为24.3万元，假如每次平均降价的百分率都为，那么可列方程为 　　．
解：根据题意得：．
故答案为：．
17．如果一个多边形的每一个内角都等于，那么这个多边形的边数是 　6　 ．
解：多边形的每一个内角都等于，
多边形的每一个外角都等于，
边数．
故答案为：6．
18．如图，在△中，，，，、分别是、的中点，那么线段的长为 　　 ．
解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接，
，，
是的中点，
，
又，
△△，
，，
在△中，由勾股定理得：，
又是的中点，
是△中位线，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，满分64分）
19．解方程：．
解：去分母得：，
整理得：，即，
分解因式得：，
解得：或，
检验：当时，，
当时，，
是增根，分式方程的解为．
20．解方程组：
解：，
由②得：，，
原方程组可化为或，
故原方程组的解为，．
21．如图，点是边长为6的正方形的边上的一点，联结，将△沿折叠得到△．联结并延长交于．
（1）当时，求的长；
（2）设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域．
解：（1）如图，连接，
正方形的边长为6，
，，
由折叠的性质得：，，，
，，，
在△和△中，
，
△△，
，设，
则，
，
在△中，，即，
解得，即．
（2）正方形的边长为6，
，，
，，，，由（1）可知，，，
，
在△中，，即，
整理得：，
点是边长为6的正方形的边上的一点，
，
综上，关于的函数解析式为，函数的定义域为．
22．如图，是一个由8个单位正方形组成的图形，是其中一个小正方形的顶点．
（1）过点画一条直线，将这个图形分割成面积为的两部分，画出这条直线，并求出该直线被这个图形所截得的线段长；
（2）如果经过点的一条直线将这个图形分割成面积相等的两部分，画出这条直线．
解：（1）如图，直线即为所求，该直线被这个图形所截得的线段的长；
（2）如图，直线即为所求．
23．叙述并证明梯形的中位线定理（写出已知、求证，画出图形，写出证明过程）．
【解答】已知：四边形为梯形，，是梯形中位线．
求证：，，．
证明：如图，连接并延长，交的延长线于，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，，
是△的中位线，
，，
，
，
，，．
24．在直角坐标平面系中（如图），点在轴上，一次函数的图象经过点，与轴和轴分别相交于点、．
（1）求线段的长；
（2）求点到直线的距离；
（3）如果点在轴上，且使得△是等腰三角形，请直接写出点的坐标．
解：（1）一次函数的图象经过点，
，解得，
，
令，则；令，则，解得，
，，
；
（2）作于，连接，
，，，
，，
，
，即，
，
点到直线的距离为；
（3）设点，
由点、、的坐标得，，，，
当时，
则，
解得：，
即点；
当时，
则，
解得：，
即点，，
当时，
则，
解得：，
即点，或，，
综上，点的坐标为或，或，或，．
25．如图，在等边三角形中，边长为，，垂足为．点从点出发，沿方向匀速运动，速度是；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，设运动时间为．
试解答下列问题：
（1）如果，求对应的的值；
（2）当点在线段上时，设四边形的面积为 ，求与的关系式；
（3）如果使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求出相应的的值．
解：（1）△是等边三角形，
，
，
，
，
，
由题意得： ， ，则，
，
解得：；
（2）过点作于，过点作于，如图1所示，
，
△是等边三角形，
，
，
，，
， ，
在△中，由勾股定理得：，
同理得：，
，
，
，
，
△是等边三角形，
，
，
，
，
在△中，由勾股定理得：，
，
，
当点在线段上时，与的关系式为：；
（3）分两种情况：
①当四边形是平行四边形时，如图2所示，
，
当时，四边形是平行四边形，
，
，
，
；
②当四边形是平行四边形时，如图3所示，
则，
△是等边三角形，
，
，
，
，
；
综上所述，当为或3时，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．

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