资源简介

16.3.2 完全平方公式 学案
【素养目标】
1. 理解完全平方公式 . （重点）
2. 经历探索完全平方公式的过程，了解完全平方公式的几何背景。
3. 能利用完全平方公式进行简单的计算和推理。 进一步培养观察、类比、发现问题的能力和数学应用意识， 感悟数形结合思想。（难点）
【情境导入】
明明订购了一个 6 寸的大披萨，不久店员打电话告知 6 寸的披萨卖完了，问能否换购一个 4 寸和一个 2 寸的小披萨（披萨近似看作圆）。 你认为明明应该同意吗？
【合作探究】
探究点一： 完全平方公式
问题1: 根据乘方的意义，我们知道： ，据此计算下列各式， 你能发现什么规律？
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
问题2: 那么 应该写成什么样的形式呢？ 的运算结果有什么规律？
完全平方公式：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和， 加上（或减去）它们的积的 2 倍。
思考： 你能根据图（1）和图（2）中图形的面积说明完全平方公式吗？
问题3：观察这两个公式， 回答下列问题。
积的次数和项数 相同的项 不同的项
和的完全 平方公式
差的完全 平方公式
公式中的字母 可以表示数， 单项式还可以表示多项式吗？
探究点二：运用完全平方公式进行计算
例1 运用完全平方公式计算：
(1) .
【练一练】1.利用完全平方公式计算：
(1) ; (2) ; (3) .
例2 运用完全平方公式计算：
(1) ; (2) 992.
【练一练】2.利用乘法公式计算：
(1) ; (2) .
例3 已知 . 求：
(1) 的值； （2） 的值。
思考：
① 与 相等吗？
② 与 相等吗？
③ 与 相等吗？为什么？
当堂反馈
1. 根据完全平方公式填空：
(1) ___________;
(2) ;
(3) ___________.
2. 计算：
(1) ; (2) ; (3);
(4) ; (5) .
3. 已知 ，求下列各式的值：
(1) ;
(2) .
参考答案
情境导入
大披萨的面积： .
小披萨的面积之和： . 所以不应该同意。
探究点一： 完全平方公式
问题1: (1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
问题2: 根据乘方的意义和多项式乘多项式的法则可得：
.
思考： 图（1） 方法一 大正方形的边长为，面积就是.
方法二 ①②③④ 四个部分，它们的面积分别为 整个面积为
.
图（2） 方法一 图 ② 中正方形 ① 的边长为，面积为.
方法二 把正方形 ① 的面积看成大正方形的面积 减去右边和上边两个长为 ，宽为的长方形面积之和，即，此时重复减了④的面积，即，应将其补上，也就是 .
问题3:
积的次数 和项数 相同 的项 不同 的项
和的完全 平方公式 二次三项式
差的完全 平方公式 二次三项式 -2ab
例1 解：(1)
(2) 解：
【练一练】1.解： .(2) .
(3) .
例2 解： (1) .
(2) .
【练一练】2.解：（1） 原式
.
(2) 原式
例3 解： , .
(2) ,
思考： 解： ① ,
所以 与 相等。
② ，所以 与 相等。
③ 与 不一定相等。只有当 或 时， .
当堂反馈
1. (1) ; (2) ; (3)
2. (1) 解： 原式 .
(2) 解： 原式 .
(3) 解： 原式 .
(4) 解： 原式 .
(5) 解： 原式 .
3. 解： ,
解： , .

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