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23.3 课时1 四分位数与箱线图
第二十三章 数据分析与统计估计
1.理解四分位数的概念及计算方法．
2.认识箱线图的构成要素，了解四分位数与箱线图的关系，能根据数据绘制箱线图，并通过箱线图分析数据的分布特征．
从某校九年级女生中任意选出12人，分别记录她们一分钟仰卧起坐的成绩，将成绩(单位:次/分)按从小到大的顺序排列，结果如下：15，18，21，25，26，29，31，33，35，39 42 43.并将这组数据分成个数相等的四部分.
你能利用求中位数的方法完成上面的分组吗？
这组数据的中位数是30，它把这组数据分成两组数据:15，18，21，25，26，29 和 31，33，35，39，42，43.
15 18 21 25 26 29 31 33 35 39 42 43
30
23
37
这两组数据的中位数分别是23和37.
这样，23，30，37三个数就将上面的12个数据分成了个数相等的四部分，如图所示.
15 18 21 25 26 29 31 33 35 39 42 43
30
23
37
一般地，用m50表示一组数据的中位数，那么，中位数把这组数据分为两组，用m25和m75分别表示第一组数据和第二组数据的中位数.
这样，m25，m50，m75这三个数就把这组数据分为个数相等的四组，这三个数叫作这组数据的四分位数.其中，m25，m50，m75分别称为这组数据的第一、第二、第三四分位数(或25%分位数、50%分位数、75%分位数).
在上面的问题中，四分位数分别为m25= ，m50= ，m75= .
23
30
37
从某校九年级随机抽取了18名男生的立定跳远成绩(单位:cm)，数据从小到大排列如下:
180 182 184 186 186 187 200 205 210
224 230 234 238 242 246 250 252 252
数据个数是否为4的倍数？如何确定这组数据的四分位数呢
可按下面的方法求这组数据的四分位数:
因为 18×50%=9，所以中位数为第9、第10个数的平均数，即m50=(210十224)÷2=217.
18×25%=4.5，则取第5个数为第一四分位数，m25=186.
18×75%=13.5，则取第14个数为第三四分位数，即m75=242.
在大数据分析中，数据量一般都很大，可借助25%，50%，75%将这组数据分成大约各占25%的四组.
值为整数时，取这个数与下一个数的平均数
值为非整数时，向上取整
求 n 个数据的四分位数的方法：
（1）先将数据按照从小到大的顺序进行排列.
（2）计算这组数据的中位数，即m50.
（3）计算第一四分位数m25、第三四分位数m75：
令i=n×25%（或75%），
①若i是整数，则第一（或三）四分位数是第i和（i+1）个数的平均数；
②若i不是整数，记j为大于i的最小整数，则第一（或三）四分位数是第j个数.
举例说明：
一组数据的个数为 n，计算这组数据的第一四分位数.
1.先计算 n ×25％ (即 0.25n ).
2.若结果是整数 ( 如 n = 12 时，12×25％ = 3 )，则 m25 是第 3 个数和第 4 个数的平均数 .
若结果不是整数 ( 如 n = 15 时，15×25％= 3.75 ) ，4是大于3.75的最小整数，则 m25 是第 4 个数 .
有一组数据：3，9，12，7，15，11，求这组数据的下四分位数、中位数和上四分位数.
m25= 7，m50 = 10，m75= 12.
解：数据从小到大排列如下:3，7，9，11，12，15，
注意：当给出的数据未排序时，第一步是排序.
某贸易公司有A和B两个营销团队，他们去年每个月的营销收益(单位:万元)按从小到大的顺序整理如下:
团队 每个月的营销收益/万元 A 3.12 3.15 4.18 4.21 4.64 4.85 4.96 5.10 5.11 5.77 5.85 7.03
B 4.08 4.37 4.51 4.67 4.84 4.87 4.91 4.99 5.10 5.15 5.21 5.52
运用学过的统计量，从不同角度评价这两个营销团队的营销水平.
(1)平均数和中位数：
通过计算可以得到：(数据精确到 0.01)
团队A营销收益的平均数 ≈4.83，中位数约是4.91；
团队B营销收益的平均数 ≈4.85，中位数是4.89.
平均数接近
中位数也接近
这两个营销团队的营销水平一样吗？还可以从其他角度进行评价吗？
团队 m25 m50 m75
A 4.20 4.91 5.44
B 4.59 4.89 5.13
(2)进一步尝试比较四分位数，分别计算出A和B两个团队营销收益的四分位数.
某贸易公司有A和B两个营销团队，他们去年每个月的营销收益(单位:万元)按从小到大的顺序整理如下:
团队 每个月的营销收益/万元 A 3.12 3.15 4.18 4.21 4.64 4.85 4.96 5.10 5.11 5.77 5.85 7.03
B 4.08 4.37 4.51 4.67 4.84 4.87 4.91 4.99 5.10 5.15 5.21 5.52
团队 m25 m50 m75
A 4.20 4.91 5.44
B 4.59 4.89 5.13
根据四分位数的意义，团队 A的营销收益数据x在下面范围内各占25%：3.12≤x<4.20，4.20≤x<4.91，4.91≤x5.44，5.44(3)类似地，解释团队 B的相应营销水平.
团队 B的营销收益数据x在下面范围内各占25%：
4.08≤x<4.59，4.59≤x<4.89，4.89≤x5.13，5.13为了直观地表示两组数据，便于对比它们的整体分布情况，还可以借助四分位数及数据的最小值和最大值，绘制出形如由一个箱子和两条线段组成的图形，从而得到箱线图，如图所示.
4.20
4.91
5.44
3.12
7.03
4.59
4.89
5.13
4.08
5.52
团队A
团队B
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
营销收益/万元
m75
(第三四分位数)
m50
(第二四分位数)
m25
(第一四分位数)
最小值
最大值
箱体
通过观察箱线图，我们发现团队A和团队B营销收益的中位数非常接近，但是，团队A箱子比较长，说明团队A这12个月的营销收益明显比团队B的波动大.
箱线图不仅可以直观地反映出一组数据的分布特征，而且还可以对多组数据进行整体比较，为我们提供更多的数据信息.
4.20
4.91
5.44
3.12
7.03
4.59
4.89
5.13
4.08
5.52
团队A
团队B
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
营销收益/万元
四分位数
四分位数与箱线图
箱线图
25%分位数，50%分位数，75%分位数
三个四分位数m25，m50，m75及最大值、最小值
计算步骤
应用：分析数据分布
1.某有一组被墨水污染的数据：4，17，7，14，★，★，★，16，10，4，4，11，其箱线图如图所示.下列说法错误的是（ ）
A.这组数据的第一四分位数是4
B.这组数据的中位数是10
C.这组数据的第三四分位数是15
D.被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18
B
2.数据1，3，4，5，2，6，7，8，9的第一四分位数为_______.
2.5
3. 如图是某班学生1 min跳绳次数的箱线图，从中我们可以得到该班学生1 min跳绳次数最多相差 次.
47　
4. 甲、乙两组的测试成绩如下:
甲:91,96,70,89,60,70,100,80,92,98；
乙:92,93,70,88,82,75,96,80,92,95.
(1)求甲组数据的四分位数:
(2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，绘制甲组的箱线图;
(3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法.
解：(1)将甲组从小到大排列为60,70,70,80,89,91,92,96,98,100,
m25=70，m50=90，m75=96.
(3)根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组相同，但甲组成绩明显比乙组的波动大.

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