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23.5 数据的分类
第二十三章 数据分析与统计估计
理解组内离差平方和与组间离差平方和的定义，明确两者的关联，并能准确计算.
学会运用 “组内离差平方和最小” 原则对数据进行合理分组，解决实际分类问题.
问：校医需分析七年级某班20名学生的身高分布：
155，155，156，157，158，159，160，161，162，162，
163，165，165，166，167，167，168，169，172，178.
若想分为3组制作频数分布表，等距分组法（如150-160，160-170，170-180）可能存在什么问题
有的组人数过多（如160-170集中12人），有的组过少（170-180仅2人），无法清晰反映分布特征.
是否存在更科学的分组方法，使得每组内部数据尽可能相似？如何衡量“组内差异度”？
二氧化碳是一种温室气体，超量排放已对全球气候形成影响，我国已庄严承诺:力争在 2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和，2019年全球人均二氧化碳排放量为6.6 t，我国人均排放量为7.1 t，世界不同地区人均二氧化碳排放量(单位：t)的数据如右表.
序号 地区 人均二氧化碳排放量/t
1 非洲 1.6
2 南亚和东南亚 2.6
3 拉丁美洲 4.8
4 中东 7.4
5 东亚 8.6
6 欧洲 9.7
7 中亚和俄罗斯 9.9
8 北美 20.8
活动1 理解“组内差异最小”的需求
基于数据自身特点的分组方法——数据的分组（基于离差平方和）
如果把这8个地区的人均二氧化碳排放量分成两个层次，你认为应该如何划分
观察下图，8个数据有几个间隔？每个间隔能将数据分成几组？
8个数据有 7 个间隔，每个间隔对应1种“两组分法”（如第1个间隔分“{1.6}和{2.6，4.8，…，20.8}”，第2个间隔分“{1.6，2.6}和{4.8，…，20.8}”），共 7 种分法.
1.6 2.6 4.8 7.4 8.6 9.7 9.9 20.8
组内数据差异最小
活动2 学习“组内离差平方和”的概念与计算
那怎样能做到组内数据差异最小呢
下面，先了解在一般情形下，数据的离差平方和的分解公式.
设一组数据为x1，x2， ···，xm ， xm+1 ， xm+2， ···，xn ，将这组数据分成两组，前m（m＜n）个数据为第一组，即x1，x2， ···，xm ，后（n-m）个数据为第二组，即 xm+1 ， xm+2， ···，xn ，两组数据的平均数分别为
则n个数据的平均数为
其中设
则有
组内离差平方和(简称组内差)，反映两个组内数据的离散程度
组间离差平方和(简称组间差)，反映两组数据之间的差异程度
一个合理的分组原则是使组内差 达到最小，组间差 达到最大，但根据 ，由于总体的离差平方和 不变，则只需考虑使组内差 达到最小即可.
组内离差平方和越小，说明两组内部的数据越集中，分组越合理.
观察8个数据可以看出，前7个数据的差异相对不大，而 20.8是一个异常数据.
如果将前7个数据分为一组，20.8单独作为一组，那么两组数据的组内离差平方和较小，两组间差异较大，按照“组内离差平方和最小”的原则分组是传统且合理的.
1.6 2.6 4.8 7.4 8.6 9.7 9.9 20.8
以“第7个间隔”为例，分步计算组内离差平方和：
1.6 2.6 4.8 7.4 8.6 9.7 9.9 20.8
第二步：计算第二组平均数b=20.8；
第四步：计算组内离差平方和
第三步：8个数据的平均数为
第一步：计算第一组平均数a=(1.6+2.6+4.8+7.4+8.6+9.7+9.9)÷7= ；
活动3 验证“组内离差平方和最小”的分法
利用计算机软件计算七种情况的组内离差平方和，结果如下表:
分组情况 组内差
第一组7个，第二组1个 69.6
第一组6个，第二组2个 114.5
第一组5个，第二组3个 117.5
第一组4个，第二组4个 117.6
第一组3个，第二组5个 122.6
第一组2个，第二组6个 152.8
第一组1个，第二组7个 201.8
因此最优分法为{1.6，2.6，4.8，7.4，8.6，9.7，9.9}和{20.8}
最小
由于 20.8远离其他数据，直观判断每次将第一组的一个数据移到第二组时，组内离差平方和会增大，由此基本断定组内离差平方和最小的分组方案就是：第一组7个，第二组1个.
现在你能说说对数据进行分组的步骤吗
数据分组的步骤：
(1)将数据按从小到大排序；
(2)确定所有可能的间隔(n个数据有n-1个间隔，对应n-1种两组分法)；
(3)计算每种分法的两组平均数、总数据的平均数及组内离差平方和；
(4)选择组内离差平方和最小的分法作为最优分组.
例 国家统计局发布的数据显示，2022年全国31个省、自治区、直辖市(不含港澳台地区，简称3不省区市)的人均GDP数据(单位:万元)如下表:
按照组内离差平方和最小的原则，把这 31个省区市的人均GDP分为两个层次.
序号 人均GDP
1 19.03
2 17.99
3 14.44
4 12.68
5 11.92
6 11.85
7 10.19
8 9.65
序号 人均GDP
9 9.21
10 9.07
11 8.60
12 8.29
13 7.37
14 7.36
15 7.36
16 7.09
序号 人均GDP
17 6.98
18 6.88
19 6.86
20 6.78
21 6.66
22 6.21
23 6.17
24 6.07
序号 人均GDP
25 5.84
26 5.70
27 5.53
28 5.23
29 5.22
30 5.11
31 4.50
分析：将 31个省区市的人均GDP按从小到大的顺序排列后分成两组，共有 30种可能分法，如果分别计算组内差，最后选择组内差最小的分组方案，那么计算量会很大.
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0
频数
人均GDP/万元
如图，这是31个省区市人均GDP的频数分布直方图.
观察图形，发现前25 个数据分布于4.5~10.5万元的范围内，而后6个数据分布于10.5~19.5万元的范围内.
因此，先以10.5万元为分界点将数据分为两组，计算组内差，然后每次将第一组的最后一个数据加入第二组(或将第二组的第一个数据加入第一组)，重新计算组内差，最后进行比较.
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0
频数
人均GDP/万元
分组情况 组内差
第一组25个，第二组6个 104.1
第一组24个，第二组7个 110.3
第一组23个，第二组8个 118.7
第一组26个，第二组5个 117.7
第一组27个，第二组4个 126.2
… …
解：将数据由小到大排列，利用统计软件计算组内离差平方和，结果如下表:
经比较，将排序后的前 25 个数据分为一组，后6个数据分为一组，可以使组内离差平方和达到最小，即人均 GDP小于10.5万元的省区市为一个层次，人均 GDP 大于 10.5万元的省区市为另一个层次.
越来越大
越来越大
中位数只是把样本个数对半分开，没有考虑每组内部数值是否接近.如果数据存在极端值、断层，中位数分割会把差距极大的数值强行放入同一组.
组内离差平方和以 “同组数据相近、组间差距大” 为目标，用数值离散程度量化分组效果，分组后同一层次内人均 GDP 水平更接近，不同层次发展差距更清晰，符合 “划分经济发展层次” 的实际分析需求.
交流讨论 在例题中，用中位数7.09万元为分界点将数据分为两组，和利用组内离差平方和最小的原则将数据分为两组，哪种方法更合理 为什么
数据的分类
离差平方和
组内离差平方和
组间离差平方和
计算公式
应用
1.按照“组内离差平方和达到最小”的方法，小明将一组数据分成了两组{80，82}和{87，86，90，85}，这两组数据组内离差平方和为 .
16
2.如图记录了某地连续5天的日最低气温，若把这5天的最低气温按组内离差平方和最小的原则分成两组，则这两组是__________________和_________________________．
{星期一，星期二}
{星期三，星期四，星期五}
3.学校运动会上，5 名学生的跳远成绩(单位：米)分别是 4.2、4.5、4.8、5.2、5.5，体育老师要按照组内离差平方和最小的原则将学生成绩分为两组，用于后续训练安排，求分组方案.
解：把这5个数据分为两组，共有4种情况：
分为{4.2}和{4.5，4.8，5.2，5.5}时，组内离差平方和=0.58；
分为{4.2，4.5}和{4.8，5.2，5.5}时，组内离差平方和≈0.292；
分为{4.2，4.5，4.8}和{5.2，5.5}时，组内离差平方和=0.225；
分为{4.2，4.5，4.8，5.2}和{5.5}时，组内离差平方和=0.5475；
通过比较每组的组内离差平方和，可知应当分为{4.2，4.5，4.8}和{5.2，5.5}两组.
拓展：如果将 31个省区市的人均GDP分为3个层次，应该如何划分

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