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1.3　二次函数的性质
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.关于二次函数y=－(x－1)2＋2，下列说法正确的是( )
A.图象的开口向上
B.图象与y轴的交点坐标为(0，2)
C.图象的顶点坐标是(－1，2)
D.当x＞1时，y随x的增大而减小
2.二次函数y=x2＋2x－3的最小值为( )
A.2 B.3 C.－3 D.－4
3.在函数y=2x2＋4x－5的图象上有A1(－2，y1)，A2(－1，y2)，A3(1，y3)三点，则下列判断正确的是( )
A.y1＜y2＜y3 B.y3＜y2＜y1
C.y2＜y1＜y3 D.y3＜y1＜y2
4.抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x －2 －1 0 1
y 0 4 6 6
下列结论错误的是( )
A.抛物线的开口向下
B.抛物线的对称轴为直线x=
C.抛物线与x轴的一个交点坐标为(2，0)
D.函数y=ax2＋bx＋c的最大值为
5.已知二次函数y=x2－4x＋2，当－1≤x≤3时，下列说法正确的是( )
A.有最大值－1，有最小值－2
B.有最大值2，有最小值－1
C.有最大值7，有最小值－1
D.有最大值7，有最小值－2
6.(4分)已知函数y=2(x＋1)2＋1，当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y最 。
7.(6分)已知二次函数y=－(x－1)2＋4。
(1)(3分)函数图象与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 。
(2)(2分)当x≤1时，y随x的增大而 ；当x≥1时，y随x的增大而 。
(3)(1分)当 时，函数y的值小于0(填x的取值范围)。
8.(6分)用配方法求下列二次函数的最大值或最小值。
(1)(3分)y=x2－3x＋2。
(2)(3分)y=－x2－2x＋1。
9.(8分)已知函数y=－x2＋2x＋1。
(1)(3分)写出函数图象的开口方向、顶点坐标及对称轴。
(2)(3分)作出函数图象并观察，写出当x满足什么条件时，y随x的增大而增大；当x满足什么条件时，y随x的增大而减小。
(3)(2分)函数的最大值或最小值是多少？
10.点A(3，y1)，B(m，y2)都在二次函数y=(x－1)2＋n的图象上。若y1＜y2，则m的取值范围是( )
A.m＞3 B.m＞1
C.－1＜m＜3 D.m＜－1或m＞3
11.已知二次函数y=ax2－2ax＋c(a，c是常数，a≠0)的图象经过点(t，y1)，(t＋1，y2)，下列说法正确的是 ( )
A.若a＞0，t＞2，则y1＜y2
B.若a＞0，t＜2，则y1＞y2
C.若a＜0，t＞2，则y1＜y2
D.若a＜0，t＜2，则y1＞y2
12.(3分)已知 M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线y=ax2＋bx＋c(a＞0)上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t。
(1)(1.5分)若对于x1=1，x2=2，有y1=y2，则t的值为 。
(2)(1.5分)若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，则t的取值范围是 。
13.(8分)已知函数y=ax2＋(2a＋1)x＋1(a为常数)。
(1)(4分)若a=0，当3≤x≤4时，求y的最大值。
(2)(4分)若a＞0，当3≤x≤4时，y有最大值8，求a的值。
14.(10分)[模型观念]已知二次函数y1=x2＋bx－3的图象经过点P(－2，5)。
(1)(2分)求b的值。
(2)(4分)当－2≤x≤m时，y1=x2＋bx－3的最大值与最小值的差为9，求m的取值范围。
(3)(4分)现有函数y2=2x－n(n是常数)，无论x为何值，y1≥y2都成立。若二次函数y1=x2＋bx－3的图象上有两个点(n－10，p)和(n－4，q)，且p＞q，求n的取值范围。1.3　二次函数的性质
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.关于二次函数y=－(x－1)2＋2，下列说法正确的是(　D　)
A.图象的开口向上
B.图象与y轴的交点坐标为(0，2)
C.图象的顶点坐标是(－1，2)
D.当x＞1时，y随x的增大而减小
2.二次函数y=x2＋2x－3的最小值为(　D　)
A.2 B.3 C.－3 D.－4
3.在函数y=2x2＋4x－5的图象上有A1(－2，y1)，A2(－1，y2)，A3(1，y3)三点，则下列判断正确的是(　C　)
A.y1＜y2＜y3 B.y3＜y2＜y1
C.y2＜y1＜y3 D.y3＜y1＜y2
【解析】 ∵y=2x2＋4x－5，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=－=－1，
∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大。
∵|－1－(－1)|＜|－2－(－1)|＜|1－(－1)|，
∴y2＜y1＜y3。
4.抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x －2 －1 0 1
y 0 4 6 6
下列结论错误的是(　C　)
A.抛物线的开口向下
B.抛物线的对称轴为直线x=
C.抛物线与x轴的一个交点坐标为(2，0)
D.函数y=ax2＋bx＋c的最大值为
【解析】 由表格可得
解得
∴y=－x2＋x＋6=－，
∴该抛物线的开口向下，A正确。
该抛物线的对称轴是直线x=，函数最大值是，B，D正确。
∵当x=－2时，y=0，
∴当x=×2－(－2)=3时，y=0，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(－2，0)，(3，0)，C错误。
5.已知二次函数y=x2－4x＋2，当－1≤x≤3时，下列说法正确的是(　D　)
A.有最大值－1，有最小值－2
B.有最大值2，有最小值－1
C.有最大值7，有最小值－1
D.有最大值7，有最小值－2
【解析】 二次函数y=x2－4x＋2=(x－2)2－2且－1≤x≤3，
∴当x=2时，y取得最小值－2；
当x=－1时，y取得最大值7。
6.(4分)已知函数y=2(x＋1)2＋1，当x　≤－1　时，y随x的增大而减小；当x　≥－1　时，y随x的增大而增大；当x　=－1　时，y最　小　。
7.(6分)已知二次函数y=－(x－1)2＋4。
(1)(3分)函数图象与x轴的交点坐标为　(－1，0)和(3，0)　，与y轴的交点坐标为　(0，3)　。
(2)(2分)当x≤1时，y随x的增大而　增大　；当x≥1时，y随x的增大而　减小　。
(3)(1分)当　x＜－1或x＞3　时，函数y的值小于0(填x的取值范围)。
【解析】 (3)画函数图象如答图所示。
第7题答图
观察图象可得，当x＜－1或x＞3时，函数y的值小于0。
8.(6分)用配方法求下列二次函数的最大值或最小值。
(1)(3分)y=x2－3x＋2。
(2)(3分)y=－x2－2x＋1。
解：(1)y=x2－3x＋2
=＋2
=。
∵二次项系数为1＞0，
∴当x=时，y取最小值－。
(2)y=－x2－2x＋1
=－(x2＋6x＋9)＋3＋1
=－(x＋3)2＋4。
∵二次项系数为－＜0，
∴当x=－3时，y取最大值4。
9.(8分)已知函数y=－x2＋2x＋1。
(1)(3分)写出函数图象的开口方向、顶点坐标及对称轴。
(2)(3分)作出函数图象并观察，写出当x满足什么条件时，y随x的增大而增大；当x满足什么条件时，y随x的增大而减小。
(3)(2分)函数的最大值或最小值是多少？
解：(1)∵y=－x2＋2x＋1=－(x2－4x＋4)＋2＋1=－(x－2)2＋3，
∴抛物线的开口向下，顶点为(2，3)，对称轴为直线x=2。
(2)画出函数图象如答图。
第9题答图
由图象可得，当x≤2时，y随x的增大而增大；当x≥2时，y随x的增大而减小。
(3)由图象开口向下知，函数有最大值，最大值是3。
10.点A(3，y1)，B(m，y2)都在二次函数y=(x－1)2＋n的图象上。若y1＜y2，则m的取值范围是(　D　)
A.m＞3 B.m＞1
C.－1＜m＜3 D.m＜－1或m＞3
【解析】 ∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当x≥1时，y随着x的增大而增大，当x≤1时，y随着x的增大而减小。
∵点A(3，y1)，B(m，y2)都在二次函数y=(x－1)2＋n的图象上，
∴当m＞3时，y1＜y2。
又∵点A关于函数图象对称轴的对称点坐标为(－1，y1)，
∴当m＜－1时，y1＜y2。
综上所述，m的取值范围是m＜－1或m＞3。
11.已知二次函数y=ax2－2ax＋c(a，c是常数，a≠0)的图象经过点(t，y1)，(t＋1，y2)，下列说法正确的是 (　A　)
A.若a＞0，t＞2，则y1＜y2
B.若a＞0，t＜2，则y1＞y2
C.若a＜0，t＞2，则y1＜y2
D.若a＜0，t＜2，则y1＞y2
【解析】 y=ax2－2ax＋c=a(x－1)2－a＋c，
该二次函数图象的对称轴为直线x=1。
当a＞0时，二次函数图象开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大。若t＞2，则点(t，y1)和(t＋1，y2)都在对称轴直线x=1右侧，且t＜t＋1，∴y1＜y2，A正确。
若t＜2，则y1与y2的大小无法确定，B错误。
当a＜0时，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小。
若t＞2，则点(t，y1)和(t＋1，y2)都在对称轴直线x=1右侧，且t＜t＋1，∴y1＞y2，C错误。
若t＜2，则y1与y2的大小无法确定，D错误。
12.(3分)已知 M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线y=ax2＋bx＋c(a＞0)上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t。
(1)(1.5分)若对于x1=1，x2=2，有y1=y2，则t的值为 　。
(2)(1.5分)若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，则t的取值范围是　t≤　。
【解析】 (1)∵对于x1=1，x2=2，有y1=y2，
∴对称轴为直线x=，
∴t=。
(2)∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴，x1＜x2。
∵y1＜y2，a＞0，
∴点M(x1，y1)离对称轴更近，则
＞t，
∴t≤。
13.(8分)已知函数y=ax2＋(2a＋1)x＋1(a为常数)。
(1)(4分)若a=0，当3≤x≤4时，求y的最大值。
(2)(4分)若a＞0，当3≤x≤4时，y有最大值8，求a的值。
解：(1)∵a=0，
∴y=ax2＋(2a＋1)x＋1=x＋1。
又∵k=1＞0，
∴y随x的增大而增大。
又∵3≤x≤4，
∴当x=4时，y有最大值，最大值为4＋1=5。
(2)∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=－，
∴－＜0，
∴当3≤x≤4时，y随x的增大而增大，
∴当x=4时，y有最大值，最大值为16a＋4(2a＋1)＋1=8，
解得a=。
14.(10分)[模型观念]已知二次函数y1=x2＋bx－3的图象经过点P(－2，5)。
(1)(2分)求b的值。
(2)(4分)当－2≤x≤m时，y1=x2＋bx－3的最大值与最小值的差为9，求m的取值范围。
(3)(4分)现有函数y2=2x－n(n是常数)，无论x为何值，y1≥y2都成立。若二次函数y1=x2＋bx－3的图象上有两个点(n－10，p)和(n－4，q)，且p＞q，求n的取值范围。
解：(1)把点P(－2，5)代入函数表达式，得5=(－2)2＋(－2)·b－3，
解得b=－2。
(2)∵y1=x2－2x－3=(x－1)2－4，
∴二次函数图象开口向上，顶点坐标为(1，－4)，
∴当x≤1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，如答图。
第14题答图
若m≤1，则当x=－2时，y1=x2－2x－3取得最大值，∴y1最大值=5，
当x=m时，y1=x2－2x－3取得最小值，
∴y1最小值=m2－2m－3，
∴m2－2m－3=5－9=－4，
解得m1=m2=1。
若m＞1，则当x=1时，y1=x2－2x－3取得最小值，∴y1最小值=－4，
∴y1=x2－2x－3的最大值为5，
令x2－2x－3=5，
解得x1=－2，x2=4，
∴满足的条件为1＜m≤4。
综上所述，m的取值范围是1≤m≤4。
(3)由题意可得x2－2x－3≥2x－n，即x2－4x＋n－3≥0恒成立，
∴Δ=(－4)2－4×(n－3)≤0，
解得n≥7。
把点(n－10，p)和(n－4，q)代入y1=x2－2x－3，得
p=(n－10)2－2(n－10)－3=n2－22n＋117，q=(n－4)2－2(n－4)－3=n2－10n＋21。
∵p＞q，
∴n2－22n＋117＞n2－10n＋21，
解得n＜8，
∴n的取值范围是7≤n＜8。

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