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1.阅读与理解
定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果点满足，，那么称点是点，的“和谐点”．
例如，，当点满足，，则称点是点，的“和谐点”．
直接写出点，的“和谐点”的坐标______；
已知点是点，的“和谐点”，当点向左平移个单位，求点的像点的坐标；
点，点，点是点，的“和谐点”．
求与之间的函数关系式；
若直线交轴于点，当时，求点的坐标．
2.四边形为正方形，点为对角线上一动点，连接．
如图，当点是线段的中点时，以，为邻边作矩形，求证：矩形是正方形；
如图或图，当点不是线段的中点时，过点作，交线段或的延长线于点，以，为邻边作矩形四边形还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明理由；
在的条件下，连接试探究，，的数量关系，并说明理由．
1.【答案】； ； ；．
【解析】根据定义得：，，
点，的“和谐点”的坐标为，
故答案为：；
点是点，的“和谐点”，
点的坐标为，
点向左平移个单位的坐标为，
点的像点的坐标为；
由题意得，，，
，
，
与之间的函数关系式为：；
直线交轴于点，，
点的横坐标与的横坐标相同，即，把代入，得，
，
，
点的坐标为．
由“和谐点”的定义，列出方程，可求出的坐标；
由“和谐点”的定义求出点的坐标，然后根据点的平移“左减右加，上加下减”的规律可求出点的坐标；
由“和谐点”的定义列出方程，进而得出，再代入方程，即可得出与之间的函数关系式；
由垂直可得出点的横坐标与的横坐标相同，即，进而得出的值，即可求出点的坐标．
2.【答案】证明：四边形为正方形，点为对角线中点，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形；
解：四边形是正方形；
证明：当点在边上时，
如图，四边形为正方形，过点作于，于，

，，
，，
，
四边形为正方形，
，，

在和中，
，
≌，
，
矩形是正方形；
当点在的延长线上时，
如图，四边形是正方形，过点分别作于点，于点，

，，
，
，
四边形为正方形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
矩形为正方形；
解：；理由如下：
由可知，矩形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
≌，

，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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