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黔东南州2025-2026学年八年级下册数学期末适应性考试2
考试范围：第19章--第24章；考试时间：120分钟；试卷分值：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（共36分）
1．（本题3分）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）下列各曲线中哪些表示y不是x的函数（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．在直角三角形中，若勾为6，股为8，则弦为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
4．（本题3分）甲、乙、丙、丁四位选手各进行了10次射击，射击成绩的平均数和方差如下表：则这四人中成绩发挥最稳定的是（ ）
选手 甲 乙 丙 丁
平均数（环） 9.3 9.3 9.3 9.3
方差（环 ） 0.035 0.015 0.025 0.027
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（本题3分）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度．如图，交通指示牌的停车让行标志是正八边形，它的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，在菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长是（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，一次函数（k，b为常数，）与图象的交点坐标是，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，在菱形中，，交于点，，，于点，则的长为（ ）
A．3 B．5 C．10 D．15
11．（本题3分）学校体育检测中，记录了男、女各名学生1分钟跳绳的个数，绘制了箱线图（如图），下列说法错误的是（ ）
A．男生跳绳个数最多为个
B．女生跳绳成绩更稳定
C．男生跳绳个数的平均数小于女生跳绳个数的平均数
D．男生跳绳个数的中位数小于女生跳绳个数的中位数
12．（本题3分）如图，“漏壶”是一种古代计时器，壶内壁有刻度，在它内部盛一定量的水，水从壶底的小孔匀速漏出，人们根据壶中水面的位置计算时间．用t表示漏水时间，h表示壶内底面到水面的高度，下列图象能表示h与t的变化关系的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共16分）
13．（本题4分）计算：__________．
14．（本题4分）在菱形中，对角线，，则菱形的面积为______．
15．（本题4分）如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为__________．
16．（本题4分）如图，在正方形中，为边中点，为边上任意一点，且，连接、相交于点，连接 ，若，则的度数为__________．
三、解答题（共98分）
17．（本题12分）计算：
(1)；
(2)．
18．（本题10分）图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）
(1)求线段的长度；
(2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由．
19．（本题10分）2024年12月2日是第13个12·2“全国交通安全日”，主题是“文明交通携手共创”，学校里也纷纷开展了校园安全宣讲活动，提醒同学们在上下学途中特别要注意骑车安全，不满16周岁不得骑行电动车，小明每天骑自行车上学，一天，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)图中自变量是________；
(2)小明家到学校的路程是________米．小明在书店停留了________分钟；
(3)我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．请通过计算比较，在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？
20．（本题10分）我国人工智能机器人产业正处于高速发展的关键时期，2026年春晚名为《武BOT》的节目中，机器人们精彩的动作惊艳了观众．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校举办了“机器人”知识竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，相关数据统计整理如下：
【收集数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，，
八年级10名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，，
【整理数据】两组数据各分数段如下表所示：
成绩
七年级 1 5 2 2
八年级 0 4 5 1
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
平均数 中位数 众数 方差
七年级 80 ① ② 66.6
八年级 80 80 80 33
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
(1)①______；②______；
(2)根据以上数据，你估计哪个年级的竞赛成绩更整齐？为什么？
(3)按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1200人，八年级学生共800人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数；
21．（本题10分）如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是矩形．
22．（本题10分）直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求，的值；
(2)根据图象，直接写出不等式的解集；
(3)在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标．
23．（本题12分）在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度；
(2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明．
24．（本题12分）在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下：
请根据他们的对话解答下列问题：
(1)求描金琉璃瓶和内画瓶的单价；
(2)若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？
25．（本题12分）综合与实践探究：动点形成的四边形形状探究
任务背景：在数学综合实践课上，老师带领同学们开展了以“直角三角形中的动点问题”为主题的探究活动．如图，在Rt中，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接．同学们围绕动点运动过程中形成的线段关系、特殊四边形形状、特殊三角形形状等问题展开探究，请你结合所学知识完成以下任务．
任务一：基础探究——证明线段相等
(1)在下列横线上填空．求证：．
证明：，，
，
是含的直角三角形．
_____，
_____，
又，
．
任务二：拓展探究——特殊四边形的判定
(2)探究四边形的形状变化：
求证：四边形是平行四边形；
当为何值时，四边形是菱形？
任务三：深化探究——特殊三角形的判定
(3)探究的形状变化：
若为直角三角形，请直接写出的值．
试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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黔东南州2025-2026学年八年级下册数学期末适应性考试2答案解析
考试范围：第19章--第24章；考试时间：120分钟；试卷分值：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（共36分）
1．（本题3分）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式
【详解】解：最简二次根式需要同时满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，
A．，被开方数含能开得尽方的因数 ，不是最简二次根式；
B．，被开方数含分母， 不是最简二次根式；
C．的被开方数 不含分母，且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，是最简二次根式；
D．，分母含根号，不是最简二次根式．
2．（本题3分）下列各曲线中哪些表示y不是x的函数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数图象识别、函数的概念
【分析】根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．
【详解】解：根据题图可知，B、C、D三选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；
A、对于x的值，存在y有两个值与之相对应，则y不是x的函数．
3．（本题3分）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．在直角三角形中，若勾为6，股为8，则弦为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
【答案】A
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】已知直角三角形两条直角边（勾和股）的长度，直接利用勾股定理计算斜边（弦）的长度即可．
【详解】解：∵在直角三角形中，勾和股分别是两条直角边，长度为和，弦为斜边，根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，
∴弦．
4．（本题3分）甲、乙、丙、丁四位选手各进行了10次射击，射击成绩的平均数和方差如下表：则这四人中成绩发挥最稳定的是（ ）
选手 甲 乙 丙 丁
平均数（环） 9.3 9.3 9.3 9.3
方差（环 ） 0.035 0.015 0.025 0.027
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】根据方差判断稳定性
【分析】方差用来衡量一组数据的波动大小，方差越小，数据波动越小，成绩发挥越稳定，据此比较方差大小即可得出结论．
【详解】解：四位选手射击成绩的平均数相同，方差越小，成绩越稳定，
∵，乙的方差最小，
∴乙的成绩发挥最稳定．
5．（本题3分）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的除法、二次根式的乘法、二次根式的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质的法则是解决问题的关键． 根据二次根式的加法法则对A选项、C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对D选项进行判断．
【详解】解：A． 和不是同类二次根式，不能相加，所以A选项不符合题意；
B． ，所以B选项不符合题意；
C． 和2不是同类二次根式，不能相加，所以C选项不符合题意；
D． ，所以D选项符合题意．
故选：D．
6．（本题3分）文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度．如图，交通指示牌的停车让行标志是正八边形，它的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角和问题
【详解】解：八边形的内角和为．
7．（本题3分）如图，在菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用菱形的性质求线段长、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】根据三角形中位线的性质求出，再根据菱形的性质解答即可求解．
【详解】解：∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是菱形，
∴菱形的周长是．
8．（本题3分）如图，一次函数（k，b为常数，）与图象的交点坐标是，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握函数图象交点坐标即为对应方程组的解是解题的关键．先利用交点在直线上求出交点的横坐标，确定交点坐标，再根据函数图象交点坐标与方程组解的对应关系，得出方程组的解．
【详解】解：∵一次函数与的交点坐标是，
∴将代入得，
∴，
∴两函数的交点坐标为，
∵方程组的解就是两函数图象的交点坐标，
∴方程组的解为。
故选：A．
9．（本题3分）如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数
【分析】先根据勾股定理求出图中直角三角形的斜边长度，再结合数轴上的位置确定点表示的数．
【详解】解：根据勾股定理，斜边长度为．
∴，
又∵该线段的一端在数轴上表示的点，另一端为点，
∴ 点表示的数．
10．（本题3分）如图，在菱形中，，交于点，，，于点，则的长为（ ）
A．3 B．5 C．10 D．15
【答案】A
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】根据菱形的性质求出对角线 的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ，，，
∵ ，
∴ ，
在中，，，，
∴，
∵ ，
∴，
在中，为的中点，
∴．
11．（本题3分）学校体育检测中，记录了男、女各名学生1分钟跳绳的个数，绘制了箱线图（如图），下列说法错误的是（ ）
A．男生跳绳个数最多为个
B．女生跳绳成绩更稳定
C．男生跳绳个数的平均数小于女生跳绳个数的平均数
D．男生跳绳个数的中位数小于女生跳绳个数的中位数
【答案】C
【知识点】求四分位数、求一组数据的平均数、求中位数、根据方差判断稳定性
【分析】观察箱线图，提取最大值、中位数及数据离散程度信息，结合统计量的意义进行判断即可．
【详解】解：A、左侧箱线图最大值为，故男生跳绳个数最多为208个，原说法正确；
B、右侧箱线图（女生）的极差和四分位距均小于左侧（男生），女生成绩波动小，更稳定，故女生跳绳成绩更稳定，原说法正确；
C、通过箱线图无法确定平均数，故不能得到男生跳绳个数的平均数小于女生跳绳个数的平均数，原说法错误．
D、左侧箱线图中位数线低于右侧，故男生跳绳个数的中位数小于女生跳绳个数的中位数，原说法正确．
12．（本题3分）如图，“漏壶”是一种古代计时器，壶内壁有刻度，在它内部盛一定量的水，水从壶底的小孔匀速漏出，人们根据壶中水面的位置计算时间．用t表示漏水时间，h表示壶内底面到水面的高度，下列图象能表示h与t的变化关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数图象识别
【分析】根据题意，可知随的增大而减小，且变化均匀，据此可判断对应的函数图象．
【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，
∴随的增大而匀速地减小，选项B图象适合表示与的对应关系．
二、填空题（共16分）
13．（本题4分）计算：__________．
【答案】12
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】根据二次根式的性质计算即可．
【详解】解：．
14．（本题4分）在菱形中，对角线，，则菱形的面积为______．
【答案】
【知识点】利用菱形的性质求面积
【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半计算即可求解．
【详解】解：∵菱形的对角线，，
∴．
15．（本题4分）如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为__________．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】由题意可得：，，由勾股定理求出，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：作交于点，
由题意，得，，
在中，由勾股定理，得，
∴，
又∵，，
∴按手势解锁一次的路径长为：．
16．（本题4分）如图，在正方形中，为边中点，为边上任意一点，且，连接、相交于点，连接 ，若，则的度数为__________．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和HL综合（HL）、等边对等角
【分析】延长和，相交于点H，根据构造得到，进而得到，再利用证明得到，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等腰三角形，根据外角性质得出的度数．
【详解】解：延长和，相交于点H，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵为边中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形内角和、外角性质、直角三角形斜边上的中线性质，等边对等角，解题关键是构造全等三角形和转化．
三、解答题（共98分）
17．（本题12分）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】利用二次根式的性质化简、运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算、二次根式的加减运算
【分析】（1）先化简各二次根式，再计算乘法，然后进行加减运算即可；
（2）先用完全平方公式和平方差公式计算，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．（本题10分）图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）
(1)求线段的长度；
(2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由．
【答案】(1)线段的长度为
(2)该车符合安全标准，理由见详解
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】通过勾股定理求出的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴在中，．
（2）解：该车符合安全标准，
理由：∵，，，
∴，
∵，
∴，
即该车符合安全标准．
19．（本题10分）2024年12月2日是第13个12·2“全国交通安全日”，主题是“文明交通携手共创”，学校里也纷纷开展了校园安全宣讲活动，提醒同学们在上下学途中特别要注意骑车安全，不满16周岁不得骑行电动车，小明每天骑自行车上学，一天，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)图中自变量是________；
(2)小明家到学校的路程是________米．小明在书店停留了________分钟；
(3)我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．请通过计算比较，在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？
【答案】(1)离家的时间
(2)1500，4
(3)在整个上学的途中分钟时速度最快，在安全限度内
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息：
（1）根据函数图象可知横坐标是时间，从而得出自变量是离家的时间；
（2）因为y轴表示离家距离，起点是家，终点是学校，故小明家到学校的路程是1500米；与x轴平行的线段表示路程没有变化，观察图象分析其对应时间即可；
（3）观察图象分析每一时段所行路程，然后计算出各时段的速度进行比较即可．
【详解】（1）解：根据图象可得，横坐标为离家的时间，故图中自变量是离家的时间，
故答案为：离家的时间；
（2）解：轴表示路程，起点是家，终点是学校，
小明家到学校的路程是米，
由图象可知：小明在书店停留了（分钟），
故答案为：；4；
（3）解：由图象可知：分钟时，平均速度米/分，
分钟时，平均速度米/分，
分钟时，平均速度米/分，
∴在整个上学的途中分钟时速度最快，在安全限度内．
20．（本题10分）我国人工智能机器人产业正处于高速发展的关键时期，2026年春晚名为《武BOT》的节目中，机器人们精彩的动作惊艳了观众．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校举办了“机器人”知识竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，相关数据统计整理如下：
【收集数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，，
八年级10名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，，
【整理数据】两组数据各分数段如下表所示：
成绩
七年级 1 5 2 2
八年级 0 4 5 1
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
平均数 中位数 众数 方差
七年级 80 ① ② 66.6
八年级 80 80 80 33
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
(1)①______；②______；
(2)根据以上数据，你估计哪个年级的竞赛成绩更整齐？为什么？
(3)按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1200人，八年级学生共800人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数；
【答案】(1)①，②
(2)八年级的竞赛成绩更整齐，见解析
(3)估计两个年级竞赛成绩达到优秀的总人数是人
【知识点】求众数、求中位数、根据方差判断稳定性、由样本所占百分比估计总体的数量
【分析】（1）根据中位数和众数的方法求解即可；
（2）利用方差比较即可；
（3）分别计算出每个年级的优秀人数，然后求和即可
【详解】（1）解：将七年级10名学生的成绩从小到大排列为：
10个数据的中位数为第5个和第6个数据的平均数
∴中位数为
出现次数最多，
∴众数为 ；
（2）∵七年级方差为，八年级方差为，
∴八年级成绩波动更小，因此八年级的竞赛成绩更整齐；
（3）由样本数据得，七年级抽取的10人中优秀人数为人，
八年级抽取的10人中优秀人数为人
七年级估计优秀人数： （人） 八年级估计优秀人数： （人）
总优秀人数：（人）
答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数为人
21．（本题10分）如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】利用平行四边形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是矩形
【分析】（1）由得，，由E为的中点得，故；
（2）由（1）得，，又，故四边形是平行四边形，由，点F在的延长线上得，故四边形是矩形．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
E为的中点，
，
在和中，
，
；
（2）证明：由（1）得，，
又，
四边形是平行四边形，
，点F在的延长线上，
，
四边形是矩形．
22．（本题10分）直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求，的值；
(2)根据图象，直接写出不等式的解集；
(3)在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、根据成轴对称图形的特征进行求解、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、两点之间线段最短
【分析】（1）将点代入，即可求出的值，将点代入，即可求出的值；
（2）由直线的图象在直线图象上时，的取值范围即为不等式的解集，结合图象及交点坐标即可解答；
（3）先求出点的坐标，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，可得，进而得到，此时，有最小值，最小值为的长，求出直线的解析式，即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：将点代入，则，解得；
将点代入，则，解得；
（2）解：根据图象，得当时，直线的图象在直线图象上方，
则不等式的解集为；
（3）解：由（1）知，
将代入，则，
∴，
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则，
∴，
∴，
此时，有最小值，最小值为的长，
设直线的解析式为，则，解得，
∴直线的解析式为，
令，解得，
∴．
23．（本题12分）在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度；
(2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明．
【答案】(1)
(2)不能成功，理由见解析．
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】（1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解；（2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
过点作于点，则，，，
在中，，
；
（2）不能成功，理由如下：假设能上升，如图所示，
延长至点，连接，则，
，
在中，，
，余线仅剩，
，
不能上升，即不能成功．
24．（本题12分）在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下：
请根据他们的对话解答下列问题：
(1)求描金琉璃瓶和内画瓶的单价；
(2)若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？
【答案】(1)描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元．
(2)购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶时总费用最少，为740元．
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】（1）设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元．根据题干已知等量关系列方程组即可求解；
（2）设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个，得出总费用，再利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元．根据题意列方程组：
，
解得：，
答：描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元．
（2）设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个．
，
解得（为整数）．
设总费用为，则．
因，则随增大而增大，故当时，最小．
（元）
此时内画瓶数量为，最少费用为元．
答：购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶时总费用最少，为740元．
25．（本题12分）综合与实践探究：动点形成的四边形形状探究
任务背景：在数学综合实践课上，老师带领同学们开展了以“直角三角形中的动点问题”为主题的探究活动．如图，在Rt中，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接．同学们围绕动点运动过程中形成的线段关系、特殊四边形形状、特殊三角形形状等问题展开探究，请你结合所学知识完成以下任务．
任务一：基础探究——证明线段相等
(1)在下列横线上填空．求证：．
证明：，，
，
是含的直角三角形．
_____，
_____，
又，
．
任务二：拓展探究——特殊四边形的判定
(2)探究四边形的形状变化：
求证：四边形是平行四边形；
当为何值时，四边形是菱形？
任务三：深化探究——特殊三角形的判定
(3)探究的形状变化：
若为直角三角形，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)①见解析；②当时，四边形是菱形
(3)或
【知识点】含30度角的直角三角形、直角三角形的两个锐角互余、利用菱形的性质证明、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】（1）根据所给过程补充完整即可；
（2）①根据一组对边相等且平行的四边形是平行四边形可证结论成立；
②根据列式求解即可；
（3）分当时和当时两种情况求解即可．
【详解】（1）证明：，，
，
，
∴，
是含的直角三角形．
，
，
又，
．
（2）①证明：∵，
∴四边形是平行四边形；
②，，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴当时，四边形是菱形，
∴，
∴；
（3）解：当时，如图①，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
当时，如图②，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
∴，即，
解得，
综上所述，当或时，为直角三角形．
试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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