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第二单元 一元二次方程
期末专题复习（教师版）
一、考点回顾
考点01 一元二次方程的概念
1. 定义：只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数为2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
2. 一般形式：ax +bx+c=0（a≠0）。其中ax 为二次项，bx为一次项，c为常数项。a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
3. 一元二次方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值。一个一元二次方程最多有两个实数根。
4. 判断一个数是否为方程的根：将该数代入方程，若左右两边相等，则该数是方程的根。
5. 注意：识别一元二次方程时必须整理为一般形式后判断，不能仅凭表面形式。
考点02 一元二次方程的解法
1. 直接开平方法：形如(x+n) =p(p≥0)的方程，直接开平方得x+n=±，即x=-n±。
2. 配方法：移项→二次项系数化为1→加一次项系数一半的平方→写成(x+n) =p→开平方。配方法是推导求根公式的基础。
3. 公式法：x=(b -4ac≥0)。步骤：化一般式→确定a,b,c→算Δ→代公式。
4. 因式分解法：(x+a)(x+b)=0→x=-a或x=-b。十字相乘法：x +px+q=0找m+n=p且mn=q。
5. 选择策略：先看能否直接开平方或因式分解，不行再用配方或公式法。方程右边必为0才能用因式分解法。
考点03 根的判别式
1. 判别式Δ=b -4ac，读作"delta"。
2. Δ>0 有两个不相等的实数根。
3. Δ=0 有两个相等的实数根（即一个根）。
4. Δ<0 没有实数根。注意：先判断Δ再下结论。
考点04 韦达定理（根与系数的关系）
1. 若x ,x 是ax +bx+c=0(a≠0)的两个根，则x +x =，x ·x =。
2. 前提：a≠0且Δ≥0。必须先验证Δ≥0才能使用韦达定理。
3. 应用：已知一根求另一根；不解方程求x +x =(x +x ) 2x x 等对称式的值。
4. 易错：忽略Δ≥0直接使用韦达定理，结果无意义。
考点05 一元二次方程的应用
1. 增长率问题：设基数为a，平均增长率为x，则n期后为a（1+x） 。两次增长模型：a（1+x） =b。
2. 面积问题：利用几何图形的边长关系列方程。注意边长必须为正数，舍去负数解。
3. 利润问题：总利润=单件利润×销售数量。涨价导致销量下降时，设涨价x元建立方程。
4. 数字问题：设未知数为x，根据数字间的数量关系列方程。注意数字位数的限制。
5. 解题六步：审题→设未知数→列方程→解方程→检验根的合理性→写出答案。实际问题中必须舍去不符合实际意义的根。
二、考点例题讲解
例1（考点01·概念与一般形式）一元二次方程的识别
1．将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，则一次项系数为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程化成一般形式进行解答即可．
【详解】解：将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，一次项系数为，
故选：D．
例2（考点02·一元二次方程的解法）因式分解法解方程
2．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程左边化为积的形式，右边化为0，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
（1）找出，及的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解；
（2）将方程变形移项后，利用平方差公式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】（1）
解：，，，
，
，
即，；
（2）原方程变形为．
移项得．
把方程的左边进行因式分解，得，
即，
从而或，
所以
例3（考点03·根的判别式）利用Δ判断根的情况
3．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．＞2 B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，解题需要满足两个条件，一是一元二次方程的二次项系数不为0，二是方程有实数根时根的判别式非负，据此列出不等式求解即可．
【详解】解：∵ 方程 是关于的一元二次方程，且有实数根，
∴ 二次项系数满足 ，即 ，
根的判别式满足 ，
解得
综上，的取值范围是且．
故选：C．
例4（考点04·韦达定理）根与系数的关系
4．甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5，乙把常数项看错了，解得两根为和，则原方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可列式作答．
【详解】解：∵甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5，
∴，即
∵乙把常数项看错了，解得两根为和，
∴，即
A、因为，所以，，故该选项是错误的；
B、因为，所以，，故该选项是错误的；
C、因为，所以，，故该选项是错误的；
D、，所以，，故该选项是正确的；
故选：D
例5（考点05·应用）增长率与利润问题
8．今年1至11月，我国船舶工业保持良好发展态势，造船完工量、新接订单量、手持订单量三大指标全面增长．9月份造船完成量约为335万载重吨，11月份造船完成量约为354万载重吨若平均每月增长率为x，则可以列出方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用平均增长率公式，a为9月份造船完成量，b为11月份造船完成量，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】根据题意得：．
故选：C．
三、课后训练
一、选择题
1．一元二次方程的常数项是（ ）
A．3 B． C． D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程，a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项．
根据一元二次方程的一般式即可求解．
【详解】解：一元二次方程的常数项是．
故选C．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项．
【详解】解：A选项：是一元一次方程，不符合定义；
B选项：只含未知数x，且最高次数为2，是整式方程，符合定义；
C选项：是分式方程，不是整式方程，不符合定义；
D选项：是二元一次方程，不符合定义；
故选：B．
3．一元二次方程的根是（ ）
A． B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，解答本题要掌握因式分解法解方程的步骤，先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解．利用解一元二次方程－因式分解法，进行计算即可解答．
【详解】解：，
∴或，
∴，，
故选：D．
4．某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降至．设平均每次降息的百分率为，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据一年期存款的原年利率及经过两次降息后的年利率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故选：A．
5．若关于x的一元二次方程两根为，，且，同号，则c可能的值为（ ）
A．5 B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，由一元二次方程的判别式可得，由根与系数的关系可得，由此即可解答．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为、，且，同号，
∴，
解得：，
又∵，同号，
∴，即，
综上所述：，
∴可能的值为，
故选：B．
6．已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后将分式化简，代入即可求解．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴，
∴
，
故选：C．
二、填空题
7．若关于的一元二次方程有两个实数根，其中一根，则另一根__________．
【答案】2025
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可求解另一根．
【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数．
根据根与系数的关系可得：
，
已知，代入得：
解得：．
8．若是一元二次方程的两个实数根，则____________
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得，，
则．
故答案为：．
9．如果一个直角三角形三边的长为连续整数，求它的斜边长．若设这个直角三角形的斜边长为，则可列方程______．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理和一元二次方程的应用，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
由于直角三角形三边为连续整数且斜边最长，设斜边长为，则两直角边分别为和，根据勾股定理列出方程．
【详解】解：设斜边长为，则两条直角边长分别为和．
由勾股定理，得．
故答案为：．
10．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____________________．
【答案】且
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和根的判别式的意义得到，求解公共部分即可；
【详解】解：根据题意得，
解得且．
故答案为且．
三、解答题
11．解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．
（1）通过展开和移项化为一般形式后因式分解求解；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴，
或，
．
（2）解：，
∴，
∴，
或，
．
12．某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出 32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价 2元，每天的销售量会减少8件．
(1)若每件按 11元出售，则单件利润为 元，每天的销售量为 件；
(2)当售价定为多少元时，每天的利润为 140 元？
【答案】(1)，
(2)元或元
【分析】（1）根据利润等于售价减进价，每件提价 2元，每天的销售量会减少8件，列出算式，即可求解；
（2）设售价定为元时，每天的利润为140元，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：依题意，单件利润为（元），
每天的销售量为（件）
故答案为：，．
（2）解：设售价定为x元时，每天的利润为140元，
根据题意，得：，
解得：，
答：售价定为12元或10元时，每天的利润为140元．
13．已知关于x的一元二次方程．
(1)求m的值；
(2)解这个方程．
【答案】(1)；
(2)，．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的定义和求解方法是解题的关键．
（1）依据一元二次方程未知数最高次数为2的定义，令方程中的次数等于2，从而列方程求解；
（2）把求得的值代入原方程，再用因式分解法解一元二次方程．
【详解】（1）解：由题意可得，
解得；
（2）解：由（1）可知，方程为，
∴，
∴或，
解得，．
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第二单元 一元二次方程
期末专题复习（学生版）
一、考点回顾
考点01 一元二次方程的概念
1. 定义：只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数为2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
2. 一般形式：ax +bx+c=0（a≠0）。其中ax 为二次项，bx为一次项，c为常数项。a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
3. 一元二次方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值。一个一元二次方程最多有两个实数根。
4. 判断一个数是否为方程的根：将该数代入方程，若左右两边相等，则该数是方程的根。
5. 注意：识别一元二次方程时必须整理为一般形式后判断，不能仅凭表面形式。
考点02 一元二次方程的解法
1. 直接开平方法：形如(x+n) =p(p≥0)的方程，直接开平方得x+n=±，即x=-n±。
2. 配方法：移项→二次项系数化为1→加一次项系数一半的平方→写成(x+n) =p→开平方。配方法是推导求根公式的基础。
3. 公式法：x=(b -4ac≥0)。步骤：化一般式→确定a,b,c→算Δ→代公式。
4. 因式分解法：(x+a)(x+b)=0→x=-a或x=-b。十字相乘法：x +px+q=0找m+n=p且mn=q。
5. 选择策略：先看能否直接开平方或因式分解，不行再用配方或公式法。方程右边必为0才能用因式分解法。
考点03 根的判别式
1. 判别式Δ=b -4ac，读作"delta"。
2. Δ>0 有两个不相等的实数根。
3. Δ=0 有两个相等的实数根（即一个根）。
4. Δ<0 没有实数根。注意：先判断Δ再下结论。
考点04 韦达定理（根与系数的关系）
1. 若x ,x 是ax +bx+c=0(a≠0)的两个根，则x +x =，x ·x =。
2. 前提：a≠0且Δ≥0。必须先验证Δ≥0才能使用韦达定理。
3. 应用：已知一根求另一根；不解方程求x +x =(x +x ) 2x x 等对称式的值。
4. 易错：忽略Δ≥0直接使用韦达定理，结果无意义。
考点05 一元二次方程的应用
1. 增长率问题：设基数为a，平均增长率为x，则n期后为a（1+x） 。两次增长模型：a（1+x） =b。
2. 面积问题：利用几何图形的边长关系列方程。注意边长必须为正数，舍去负数解。
3. 利润问题：总利润=单件利润×销售数量。涨价导致销量下降时，设涨价x元建立方程。
4. 数字问题：设未知数为x，根据数字间的数量关系列方程。注意数字位数的限制。
5. 解题六步：审题→设未知数→列方程→解方程→检验根的合理性→写出答案。实际问题中必须舍去不符合实际意义的根。
二、考点例题讲解
例1（考点01·概念与一般形式）一元二次方程的识别
1．将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，则一次项系数为（ ）
A．4 B． C．5 D．
例2（考点02·一元二次方程的解法）因式分解法解方程
2．解方程：
(1)；
(2)．
例3（考点03·根的判别式）利用Δ判断根的情况
3．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．＞2 B． C．且 D．且
例4（考点04·韦达定理）根与系数的关系
4．甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5，乙把常数项看错了，解得两根为和，则原方程是（ ）
A． B． C． D．
例5（考点05·应用）增长率与利润问题
5．今年1至11月，我国船舶工业保持良好发展态势，造船完工量、新接订单量、手持订单量三大指标全面增长．9月份造船完成量约为335万载重吨，11月份造船完成量约为354万载重吨若平均每月增长率为x，则可以列出方程为（ ）
A． B． C． D．
三、课后训练
一、选择题
1．一元二次方程的常数项是（ ）
A．3 B． C． D．1
2．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．一元二次方程的根是（ ）
A． B．，
C．， D．，
4．某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降至．设平均每次降息的百分率为，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
5．若关于x的一元二次方程两根为，，且，同号，则c可能的值为（ ）
A．5 B． C．0 D．1
6．已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．若关于的一元二次方程有两个实数根，其中一根，则另一根__________．
8．若是一元二次方程的两个实数根，则____________
9．如果一个直角三角形三边的长为连续整数，求它的斜边长．若设这个直角三角形的斜边长为，则可列方程______．
10．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____________________．
三、解答题
11．解下列方程：
(1)；
(2)．
12．某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出 32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价 2元，每天的销售量会减少8件．
(1)若每件按 11元出售，则单件利润为 元，每天的销售量为 件；
(2)当售价定为多少元时，每天的利润为 140 元？
13．已知关于x的一元二次方程．
(1)求m的值；
(2)解这个方程．
四、参考答案
考点例题讲解
例一：
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程化成一般形式进行解答即可．
【详解】解：将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，一次项系数为，
故选：D．
例二：
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程左边化为积的形式，右边化为0，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
（1）找出，及的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解；
（2）将方程变形移项后，利用平方差公式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】（1）
解：，，，
，
，
即，；
（2）原方程变形为．
移项得．
把方程的左边进行因式分解，得，
即，
从而或，
所以
例三：
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，解题需要满足两个条件，一是一元二次方程的二次项系数不为0，二是方程有实数根时根的判别式非负，据此列出不等式求解即可．
【详解】解：∵ 方程 是关于的一元二次方程，且有实数根，
∴ 二次项系数满足 ，即 ，
根的判别式满足 ，
解得
综上，的取值范围是且．
故选：C．
例四：
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可列式作答．
【详解】解：∵甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5，
∴，即
∵乙把常数项看错了，解得两根为和，
∴，即
A、因为，所以，，故该选项是错误的；
B、因为，所以，，故该选项是错误的；
C、因为，所以，，故该选项是错误的；
D、，所以，，故该选项是正确的；
故选：D
例五：
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用平均增长率公式，a为9月份造船完成量，b为11月份造船完成量，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】根据题意得：．
故选：C．
课后训练
一、选择题
1．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程，a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项．
根据一元二次方程的一般式即可求解．
【详解】解：一元二次方程的常数项是．
故选C．
2．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项．
【详解】解：A选项：是一元一次方程，不符合定义；
B选项：只含未知数x，且最高次数为2，是整式方程，符合定义；
C选项：是分式方程，不是整式方程，不符合定义；
D选项：是二元一次方程，不符合定义；
故选：B．
3．
【答案】D
【分析】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，解答本题要掌握因式分解法解方程的步骤，先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解．利用解一元二次方程－因式分解法，进行计算即可解答．
【详解】解：，
∴或，
∴，，
故选：D．
4．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据一年期存款的原年利率及经过两次降息后的年利率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故选：A．
5．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，由一元二次方程的判别式可得，由根与系数的关系可得，由此即可解答．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为、，且，同号，
∴，
解得：，
又∵，同号，
∴，即，
综上所述：，
∴可能的值为，
故选：B．
6．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后将分式化简，代入即可求解．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴，
∴
，
故选：C．
二、填空题
7．
【答案】2025
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可求解另一根．
【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数．
根据根与系数的关系可得：
，
已知，代入得：
解得：．
8．
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得，，
则．
故答案为：．
9．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理和一元二次方程的应用，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
由于直角三角形三边为连续整数且斜边最长，设斜边长为，则两直角边分别为和，根据勾股定理列出方程．
【详解】解：设斜边长为，则两条直角边长分别为和．
由勾股定理，得．
故答案为：．
10．
【答案】且
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和根的判别式的意义得到，求解公共部分即可；
【详解】解：根据题意得，
解得且．
故答案为且．
三、解答题
11．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．
（1）通过展开和移项化为一般形式后因式分解求解；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴，
或，
．
（2）解：，
∴，
∴，
或，
．
12．
【答案】(1)，
(2)元或元
【分析】（1）根据利润等于售价减进价，每件提价 2元，每天的销售量会减少8件，列出算式，即可求解；
（2）设售价定为元时，每天的利润为140元，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：依题意，单件利润为（元），
每天的销售量为（件）
故答案为：，．
（2）解：设售价定为x元时，每天的利润为140元，
根据题意，得：，
解得：，
答：售价定为12元或10元时，每天的利润为140元．
13．
【答案】(1)；
(2)，．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的定义和求解方法是解题的关键．
（1）依据一元二次方程未知数最高次数为2的定义，令方程中的次数等于2，从而列方程求解；
（2）把求得的值代入原方程，再用因式分解法解一元二次方程．
【详解】（1）解：由题意可得，
解得；
（2）解：由（1）可知，方程为，
∴，
∴或，
解得，．
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