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第四单元 平行四边形
期末专题复习（学生版）
一、考点回顾
考点01 多边形的内角和与外角和
1. n边形的内角和：(n-2)×180°。
2. 正n边形每个内角：(n-2)×180°/n。
3. 多边形的外角和：任意多边形的外角和恒等于360°。
4. 正n边形每个外角：360°/n。
5. 四边形内角和360°，外角和360°。
考点02 平行四边形的性质
1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。记作：平行四边形ABCD。
2. 边：对边平行且相等（AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC）。
3. 角：对角相等（∠A=∠C，∠B=∠D）；邻角互补（∠A+∠B=180°）。
4. 对角线：对角线互相平分（OA=OC，OB=OD，其中O为对角线交点）。
5. 对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心。
考点03 平行四边形的判定
1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）。
2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
5. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
6. 判定方法的选择：根据已知条件选择最简便的判定方法。
考点04 三角形的中位线
1. 定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2. 中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
3. 如图所示：若D、E分别为AB、AC的中点，则DE∥BC且DE=BC/2。
4. 应用：证明线段平行、计算线段长度、解决中点相关综合题。
5. 注意：一个三角形有三条中位线，它们构成的新三角形面积是原三角形面积的1/4。
考点05 中心对称
1. 中心对称图形：把一个图形绕某点旋转180°后能与自身重合的图形。
2. 中心对称的性质：对称点连线经过对称中心且被对称中心平分。
3. 平行四边形是中心对称图形，对角线交点为对称中心。
4. 既是轴对称又是中心对称的图形：线段、矩形、菱形、正方形、圆等。
二、考点例题讲解
例1 （考点01·多边形内角和与外角和）
1．一个七边形的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
例2 （考点02·平行四边形的性质）
2．在平行四边形中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
例3 （考点03·平行四边形的判定）
3．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
例4 （考点04·三角形的中位线）
4．如图，要测定被池塘隔开的，两点的距离，可以在外选一点，连接，，并分别找出它们的中点，，连接．现测得，则等于（　　）
A． B． C． D．
例5 （考点05·中心对称）中心对称图形的构造
5．如图，在正方形方格中，阴影部分是5张小正方形纸片所形成的图案，只移动其中一张纸片到其它空白方格，使得到的新图案变成中心对称图形的移法有______种．
三、课后训练
一、选择题
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．从九边形一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将九边形分成个三角形，则（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
3．在中，的平分线分边为和两部分，则的周长为（ ）
A． B．
C． D．或
4．如图，在中，对角线，相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点．给出下列结论：①；②四边形是平行四边形；③．其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．如图，在中，已知，，平分交边于点，则等于（ ）
A．2 B．4 C．3 D．8
6．如图，点E为的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，则为（　　）
A．3 B． C．4 D．
二、填空题
7．过多边形的一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了2026个三角形，则这个多边形的边数是__________．
8．锐角为的两个平行四边形的位置如图所示，若，则______（用含的式子表示）
9．如图，平行四边形中，E、F是对角线上不同的两点，添加个条件，使得四边形为平行四边形．现有四个条件：．你添加的条件是：______（选出所有正确的答案）
10．如图，中，，对角线、交于点O，M，N分别是、的中点，过点作，分别交，于点E，F，连，．下列四个结论：①；②；③；④．
其中正确的结论是____________(填写序号)．
三、解答题
11．已知一个多边形的外角和比内角和少720°，求这个多边形的边数．
12．如图，E，F分别是平行四边形的边、边上的点，且，连接，．求证：四边形是平行四边形．
13．如图，的对角线相交于点分别是的中点，连接、，求证：．

四、参考答案
考点例题讲解
例一：
【答案】B
【分析】本题考查多边形的内角和，根据边形的内角和为求解，即可解题．
【详解】解：一个七边形的内角和等于，
故选：B．
例二：
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：平行四边形中，
∴
∴
∵，
∴，
故选：B．
例三：
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐一分析选项，找出不符合条件的选项即可．
【详解】解：A．，，两组对边分别相等，符合平行四边形的判定定理，能判定为平行四边形，故A不符合题意；
B．，，两组对边分别平行，符合平行四边形的定义，能判定为平行四边形，故B不符合题意；
C．，，仅一组对边平行且另一组对边相等，无法保证四边形是平行四边形，例如，等腰梯形满足此条件，但不是平行四边形，故C符合题意；
D．，，一组对边平行且相等，符合平行四边形的判定定理，能判定为平行四边形，故D不符合题意．
故选：C．
例四：
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定和性质定理，解题的关键是熟练掌握中位线的判定和性质．
利用三角形中位线的判定定理和性质定理得出，进而可求出结果．
【详解】解：∵和的中点分别是点，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
例五：
【答案】2
【分析】本题考查了中心对称图形的概念：确定中心对称图形的关键是寻找对称中心；根据中心对称图形的定义，在平面内，如果把一个图形绕某点旋转能够与自身完全重合，再确定移动其中一个正方形即可．
【详解】解：如图，
∴新图案变成中心对称图形的移法有种；
故答案为：
课后训练
1．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
据此即可求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．
【答案】C
【分析】本题考查了多边形对角线问题，根据n边形的对角线的条数为，三角形的个数为，进而即可求解．
【详解】解：对角线的数量(条)；
分成的三角形的数量为(个)；
∴．
故选：C．
3．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，把分成和两部分，没有明确哪部分是，哪部分是，故分两种情况，熟练掌握分类讨论是解题的关键．
【详解】解：如图，，
，
∵四边形为平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
的周长为；
如图，，
，
同理可得，
的周长为，
故选：D．
4．
【答案】A
【分析】由平行四边形的性质可得，，，，即可得，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②，由平行四边形的性质可判断③，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形
∴，，，，
∵
∴，且点E是中点
∴，
∴①正确
∵E、F分别是、中点
∴，
∵G是中点，
∴，且，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴②正确，
∵四边形是平行四边形，
∴，，且
∴
∴③正确．
故选：A．
5．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，由平行四边形的性质可得，，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得，即可求的长．
【详解】四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：C．
6．
【答案】C
【分析】本题考查平行线四边形的性质，三角形中位线定理，关键是证明是的中位线．连接交于O，由平行四边形的性质推出，，证明是的中位线，得到，求出，得到，求出，从而．
【详解】解：连接交于O，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
二、填空题
7．
【答案】2028
【分析】本题考查了多边形的对角线，一个边形从一个顶点引出的所有对角线把该边形分成个三角形，根据此关系式求边数．
【详解】解：设多边形有条边，则，
解得：．
故这个多边形的边数是2028．
故答案为：2028．
8．
【答案】/
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，解题关键是利用平行线的性质，得出角的相等．
根据平行四边形的性质，利用平行得出角的关系，根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：如图，延长，
由平行四边形的性质可得，
∴，
由平行四边形的性质可得，
∴，
∵，
∴
故答案为：．
9．
【答案】①②④
【分析】此题主要考查平行四边形的定义及其判定，熟练掌握平行四边形的性质及判定，则比较简单．根据平行四边形的判定解答即可．
【详解】解：如图，
①四边形是平行四边形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
故①符合题意；
②四边形是平行四边形，
，,
,
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故②符合题意；
由及现有条件无法推导出四边形是平行四边形，
故不符合题意；
④四边形是平行四边形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
故④符合题意；
故答案为：①②④
10．
【答案】①③④
【分析】通过证明四边形和四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可以得到结论①正确，通过证明，根据等腰三角形的“三线合一”得到结论④正确，根据中位线定理及三角形的面积公式将和用的面积表示，从而得到结论③正确．
【详解】解：如图，四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，即，
，
，
四边形是平行四边形，，
，
同理四边形也是平行四边形，
，
，结论①正确；
由前知，
M是的中点，
，
，
根据等腰三角形“三线合一”可知，结论④正确；
过点B作，与的延长线交于点P，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，F是的中点，
同理点E也是的中点，
连接，，根据中位线定理和平行四边形的性质可知：，
，
，结论③正确；
如果，那么，题中没有给出相应的条件，
结论②不正确．
故答案为：①③④．
三、解答题
11．
【答案】8
【分析】本题主要考查了多边形的外角和和内角和以及一元一次方程的应用，设这个多边形的边数是n，根据题意，列出关于n的一元一次方程， 解方程即可求解．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，
则，
解得．
故它的边数为8．
12．
【答案】见解析
【分析】本题考查了解平行四边形的判定与性质，熟练掌握是解题的关键．
根据四边形是平行四边形，，，即，结合，得到，从而得证．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，即，
，
，
，
四边形是平行四边形．
13．
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质对角线互相平分得出，利用中点的意义得出，从而利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定是平行四边形，从而得出结论．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
．
分别是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
．
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第四单元 平行四边形
期末专题复习（教师版）
一、考点回顾
考点01 多边形的内角和与外角和
1. n边形的内角和：(n-2)×180°。
2. 正n边形每个内角：(n-2)×180°/n。
3. 多边形的外角和：任意多边形的外角和恒等于360°。
4. 正n边形每个外角：360°/n。
5. 四边形内角和360°，外角和360°。
考点02 平行四边形的性质
1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。记作：平行四边形ABCD。
2. 边：对边平行且相等（AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC）。
3. 角：对角相等（∠A=∠C，∠B=∠D）；邻角互补（∠A+∠B=180°）。
4. 对角线：对角线互相平分（OA=OC，OB=OD，其中O为对角线交点）。
5. 对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心。
考点03 平行四边形的判定
1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）。
2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
5. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
6. 判定方法的选择：根据已知条件选择最简便的判定方法。
考点04 三角形的中位线
1. 定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2. 中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
3. 如图所示：若D、E分别为AB、AC的中点，则DE∥BC且DE=BC/2。
4. 应用：证明线段平行、计算线段长度、解决中点相关综合题。
5. 注意：一个三角形有三条中位线，它们构成的新三角形面积是原三角形面积的1/4。
考点05 中心对称
1. 中心对称图形：把一个图形绕某点旋转180°后能与自身重合的图形。
2. 中心对称的性质：对称点连线经过对称中心且被对称中心平分。
3. 平行四边形是中心对称图形，对角线交点为对称中心。
4. 既是轴对称又是中心对称的图形：线段、矩形、菱形、正方形、圆等。
二、考点例题讲解
例1 （考点01·多边形内角和与外角和）
1．一个七边形的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查多边形的内角和，根据边形的内角和为求解，即可解题．
【详解】解：一个七边形的内角和等于，
故选：B．
例2 （考点02·平行四边形的性质）
2．在平行四边形中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：平行四边形中，
∴
∴
∵，
∴，
故选：B．
例3 （考点03·平行四边形的判定）
3．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐一分析选项，找出不符合条件的选项即可．
【详解】解：A．，，两组对边分别相等，符合平行四边形的判定定理，能判定为平行四边形，故A不符合题意；
B．，，两组对边分别平行，符合平行四边形的定义，能判定为平行四边形，故B不符合题意；
C．，，仅一组对边平行且另一组对边相等，无法保证四边形是平行四边形，例如，等腰梯形满足此条件，但不是平行四边形，故C符合题意；
D．，，一组对边平行且相等，符合平行四边形的判定定理，能判定为平行四边形，故D不符合题意．
故选：C．
例4 （考点04·三角形的中位线）
4．如图，要测定被池塘隔开的，两点的距离，可以在外选一点，连接，，并分别找出它们的中点，，连接．现测得，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定和性质定理，解题的关键是熟练掌握中位线的判定和性质．
利用三角形中位线的判定定理和性质定理得出，进而可求出结果．
【详解】解：∵和的中点分别是点，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
例5 （考点05·中心对称）中心对称图形的构造
5．如图，在正方形方格中，阴影部分是5张小正方形纸片所形成的图案，只移动其中一张纸片到其它空白方格，使得到的新图案变成中心对称图形的移法有______种．
【答案】2
【分析】本题考查了中心对称图形的概念：确定中心对称图形的关键是寻找对称中心；根据中心对称图形的定义，在平面内，如果把一个图形绕某点旋转能够与自身完全重合，再确定移动其中一个正方形即可．
【详解】解：如图，
∴新图案变成中心对称图形的移法有种；
故答案为：
三、课后训练
一、选择题
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
据此即可求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．从九边形一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将九边形分成个三角形，则（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【分析】本题考查了多边形对角线问题，根据n边形的对角线的条数为，三角形的个数为，进而即可求解．
【详解】解：对角线的数量(条)；
分成的三角形的数量为(个)；
∴．
故选：C．
3．在中，的平分线分边为和两部分，则的周长为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，把分成和两部分，没有明确哪部分是，哪部分是，故分两种情况，熟练掌握分类讨论是解题的关键．
【详解】解：如图，，
，
∵四边形为平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
的周长为；
如图，，
，
同理可得，
的周长为，
故选：D．
4．如图，在中，对角线，相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点．给出下列结论：①；②四边形是平行四边形；③．其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】由平行四边形的性质可得，，，，即可得，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②，由平行四边形的性质可判断③，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形
∴，，，，
∵
∴，且点E是中点
∴，
∴①正确
∵E、F分别是、中点
∴，
∵G是中点，
∴，且，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴②正确，
∵四边形是平行四边形，
∴，，且
∴
∴③正确．
故选：A．
5．如图，在中，已知，，平分交边于点，则等于（ ）
A．2 B．4 C．3 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，由平行四边形的性质可得，，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得，即可求的长．
【详解】四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：C．
6．如图，点E为的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，则为（　　）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线四边形的性质，三角形中位线定理，关键是证明是的中位线．连接交于O，由平行四边形的性质推出，，证明是的中位线，得到，求出，得到，求出，从而．
【详解】解：连接交于O，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
二、填空题
7．过多边形的一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了2026个三角形，则这个多边形的边数是__________．
【答案】2028
【分析】本题考查了多边形的对角线，一个边形从一个顶点引出的所有对角线把该边形分成个三角形，根据此关系式求边数．
【详解】解：设多边形有条边，则，
解得：．
故这个多边形的边数是2028．
故答案为：2028．
8．锐角为的两个平行四边形的位置如图所示，若，则______（用含的式子表示）
【答案】/
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，解题关键是利用平行线的性质，得出角的相等．
根据平行四边形的性质，利用平行得出角的关系，根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：如图，延长，
由平行四边形的性质可得，
∴，
由平行四边形的性质可得，
∴，
∵，
∴
故答案为：．
9．如图，平行四边形中，E、F是对角线上不同的两点，添加个条件，使得四边形为平行四边形．现有四个条件：．你添加的条件是：______（选出所有正确的答案）
【答案】①②④
【分析】此题主要考查平行四边形的定义及其判定，熟练掌握平行四边形的性质及判定，则比较简单．根据平行四边形的判定解答即可．
【详解】解：如图，
①四边形是平行四边形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
故①符合题意；
②四边形是平行四边形，
，,
,
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故②符合题意；
由及现有条件无法推导出四边形是平行四边形，
故不符合题意；
④四边形是平行四边形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
故④符合题意；
故答案为：①②④
10．如图，中，，对角线、交于点O，M，N分别是、的中点，过点作，分别交，于点E，F，连，．下列四个结论：①；②；③；④．
其中正确的结论是____________(填写序号)．
【答案】①③④
【分析】通过证明四边形和四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可以得到结论①正确，通过证明，根据等腰三角形的“三线合一”得到结论④正确，根据中位线定理及三角形的面积公式将和用的面积表示，从而得到结论③正确．
【详解】解：如图，四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，即，
，
，
四边形是平行四边形，，
，
同理四边形也是平行四边形，
，
，结论①正确；
由前知，
M是的中点，
，
，
根据等腰三角形“三线合一”可知，结论④正确；
过点B作，与的延长线交于点P，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，F是的中点，
同理点E也是的中点，
连接，，根据中位线定理和平行四边形的性质可知：，
，
，结论③正确；
如果，那么，题中没有给出相应的条件，
结论②不正确．
故答案为：①③④．
三、解答题
11．已知一个多边形的外角和比内角和少720°，求这个多边形的边数．
【答案】8
【分析】本题主要考查了多边形的外角和和内角和以及一元一次方程的应用，设这个多边形的边数是n，根据题意，列出关于n的一元一次方程， 解方程即可求解．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，
则，
解得．
故它的边数为8．
12．如图，E，F分别是平行四边形的边、边上的点，且，连接，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了解平行四边形的判定与性质，熟练掌握是解题的关键．
根据四边形是平行四边形，，，即，结合，得到，从而得证．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，即，
，
，
，
四边形是平行四边形．
13．如图，的对角线相交于点分别是的中点，连接、，求证：．

【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质对角线互相平分得出，利用中点的意义得出，从而利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定是平行四边形，从而得出结论．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
．
分别是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
．
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