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第一单元 二次根式
期末专题复习（教师版）
一、考点回顾
考点01 二次根式的概念与性质
1. 定义：形如（a≥0)的式子叫作二次根式，a叫作被开方数。
2. 有意义的条件：被开方数≥0；若分母含，则被开方数>0。
3. 重要性质：=|a|，需根据a的取值分类讨论。=a(a≥0)。
4. 最简二次根式：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
5. 双重非负性：a≥0且≥0。
考点02 二次根式的乘除运算
1. 乘法法则：·=(a≥0,b≥0)。积的算术平方根：=·(a≥0,b≥0)。
2. 除法法则：=(a≥0,b>0)。商的算术平方根：=(a≥0,b>0)。
3. 运算结果必须化为最简二次根式。
4. 分母有理化：将分母中的根号化去。
考点03 二次根式的加减运算
1. 同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式。
2. 加减步骤：先化简→再判断同类→合并（系数相加减，被开方数不变）。
3. 易错：+≠，未化简就合并。
考点04 二次根式的混合运算与化简求值
1. 运算顺序：先乘方开方→再乘除→最后加减，有括号先算括号。
2. 乘法公式：(±) =a+b±2，(+)(-)=a-b。
3. 化简求值：先化简再代入求值，注意字母的取值范围。
4. 运算律（交换律、结合律、分配律）在二次根式中仍适用。
二、考点例题讲解
例1 （考点01·二次根式的概念）二次根式有意义的条件
1．二次根式中字母的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：二次根式有意义，
，
解得．
故选：D．
例2 （考点02·二次根式的乘除）二次根式的乘法运算
2．计算（　　）
A． B．4 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的乘法，解答的关键是对二次根式的乘法的法则的掌握．
利用二次根式的乘法的法则进行运算即可．
【详解】解：．
故选：C．
例3 （考点03·二次根式的加减）合并同类二次根式
3．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的加减，二次根式的加减乘除运算．根据二次根式的加减乘除运算法则，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：C．
例4 （考点04·二次根式的混合运算）二次根式的混合运算
4．当时，代数式的值是（ ）
A． B．1 C． D．5
【答案】A
【分析】直接将代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴
故选：A．
三、课后训练
一、选择题
1．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简：（ ）
A．2a B．0 C． D．2b
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根．由数轴得，，再利用算术平方根的性质化简式子即可．
【详解】解：由数轴得，，，
∴，
∴
；
故选：C．
2．在，，，中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，根据定义，逐条判断即可．
【详解】解：A、，不属于最简二次根式，不符合题意；
B、，不属于最简二次根式，不合题意；
C、属于最简二次根式，符合题意；
D、不属于最简二次根式，不合题意；
故选C．
3．若，则□中的数是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；
直接根据二次根式的除法运算法则计算即可．
【详解】解：∵
∴．
故选：B．
4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
根据最简二次根式的定义判断作答即可．
【详解】解：A中，是最简二次根式，故符合要求；
B 中，不是最简二次根式，故不符合要求；
C中，不是最简二次根式，故不符合要求；
D中，不是最简二次根式，故不符合要求；
故选：A．
5．若最简二次根式与可以合并，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．最简二次根式与可以合并，则，即可求解．
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，则与是同类二次根式，
∴．
解得．
故选：C．
6．下列二次根式能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查同类二次根式的定义：二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式；解题的关键是正确化简各选项的二次根式．
先化简选项中各个二次根式，然后找出被开方数为的二次根式即可．
【详解】解：A、，不能与合并，不符合题意；
B、，不能与合并，不符合题意；
C、，不能与合并，不符合题意；
D、，能与合并，符合题意；
故选：D．
二、填空题
7．当______时，有意义．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的一元一次不等式，求解不等式即可得到的取值范围．
【详解】解：若二次根式有意义，则被开方数为非负数，
因此列不等式得，
移项得．
8．计算的结果是________．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法运算法则解题即可．
【详解】解：，
故答案为：．
9．___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式加减运算，二次根式性质，熟练掌握二次根式加减运算法则是解题的关键．
先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
10．化简的结果是 ____________________．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质、分母有理化，先把分子和分母同时乘上，得出，再结合二次根式的性质进行化简，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
三、解答题
11．计算：．
【答案】
【分析】先根据二次根式的性质进行化简，再利用二次根式的乘除运算法则进行计算，最后合并同类二次根式即可．
【详解】解：
．
12．已知在中，，，．
(1)分别化简，的值．
(2)试在的方格纸上画出，使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】本题考查了二次根式的化简运算，网格中表示线段长．
（1）根据二次根式的化简方法进行化简；
（2）根据勾股定理计算边长的方法，在网格中表示、的长．
【详解】（1）解：，；
（2）解：如图所示：，，，
．
13．问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法．
例：已知，求的值
解：由，得
(1)尝试应用：若x，y为实数，且，化简：；
(2)拓展创新：已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，完全平方公式，绝对值的意义，熟练掌握二次根式有意义的条件，完全平方公式是解题的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件可求出的值，从而得到的值，即可求解；
（2）根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，再根据完全平方公式的变形，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
，
，
；
（2）解：由题意得：，
解得：，
，
，
，
．
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第一单元 二次根式
期末专题复习（学生版）
一、考点回顾
考点01 二次根式的概念与性质
1. 定义：形如（a≥0)的式子叫作二次根式，a叫作被开方数。
2. 有意义的条件：被开方数≥0；若分母含，则被开方数>0。
3. 重要性质：=|a|，需根据a的取值分类讨论。=a(a≥0)。
4. 最简二次根式：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
5. 双重非负性：a≥0且≥0。
考点02 二次根式的乘除运算
1. 乘法法则：·=(a≥0,b≥0)。积的算术平方根：=·(a≥0,b≥0)。
2. 除法法则：=(a≥0,b>0)。商的算术平方根：=(a≥0,b>0)。
3. 运算结果必须化为最简二次根式。
4. 分母有理化：将分母中的根号化去。
考点03 二次根式的加减运算
1. 同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式。
2. 加减步骤：先化简→再判断同类→合并（系数相加减，被开方数不变）。
3. 易错：+≠，未化简就合并。
考点04 二次根式的混合运算与化简求值
1. 运算顺序：先乘方开方→再乘除→最后加减，有括号先算括号。
2. 乘法公式：(±) =a+b±2，(+)(-)=a-b。
3. 化简求值：先化简再代入求值，注意字母的取值范围。
4. 运算律（交换律、结合律、分配律）在二次根式中仍适用。
二、考点例题讲解
例1 （考点01·二次根式的概念）二次根式有意义的条件
1．二次根式中字母的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2 （考点02·二次根式的乘除）二次根式的乘法运算
2．计算（　　）
A． B．4 C．2 D．1
例3 （考点03·二次根式的加减）合并同类二次根式
3．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例4 （考点04·二次根式的混合运算）二次根式的混合运算
4．当时，代数式的值是（ ）
A． B．1 C． D．5
三、课后训练
一、选择题
1．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简：（ ）
A．2a B．0 C． D．2b
2．在，，，中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则□中的数是（ ）
A．2 B． C． D．
4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．若最简二次根式与可以合并，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
6．下列二次根式能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．当______时，有意义．
8．计算的结果是________．
9．___________．
10．化简的结果是 ____________________．
三、解答题
11．计算：．
12．已知在中，，，．
(1)分别化简，的值．
(2)试在的方格纸上画出，使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为．
13．问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法．
例：已知，求的值
解：由，得
(1)尝试应用：若x，y为实数，且，化简：；
(2)拓展创新：已知，求的值．
四、参考答案
考点例题讲解
例一：
【答案】D
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：二次根式有意义，
，
解得．
故选：D．
例二：
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的乘法，解答的关键是对二次根式的乘法的法则的掌握．
利用二次根式的乘法的法则进行运算即可．
【详解】解：．
故选：C．
例三：
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的加减，二次根式的加减乘除运算．根据二次根式的加减乘除运算法则，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：C．
例四：
【答案】A
【分析】直接将代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴
故选：A．
课后训练
1．
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根．由数轴得，，再利用算术平方根的性质化简式子即可．
【详解】解：由数轴得，，，
∴，
∴
；
故选：C．
2．
【答案】C
【分析】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，根据定义，逐条判断即可．
【详解】解：A、，不属于最简二次根式，不符合题意；
B、，不属于最简二次根式，不合题意；
C、属于最简二次根式，符合题意；
D、不属于最简二次根式，不合题意；
故选C．
3．
【答案】B
【分析】此题考查了二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；
直接根据二次根式的除法运算法则计算即可．
【详解】解：∵
∴．
故选：B．
4．
【答案】A
【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
根据最简二次根式的定义判断作答即可．
【详解】解：A中，是最简二次根式，故符合要求；
B 中，不是最简二次根式，故不符合要求；
C中，不是最简二次根式，故不符合要求；
D中，不是最简二次根式，故不符合要求；
故选：A．
5．
【答案】C
【分析】此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．最简二次根式与可以合并，则，即可求解．
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，则与是同类二次根式，
∴．
解得．
故选：C．
6．
【答案】D
【分析】本题考查同类二次根式的定义：二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式；解题的关键是正确化简各选项的二次根式．
先化简选项中各个二次根式，然后找出被开方数为的二次根式即可．
【详解】解：A、，不能与合并，不符合题意；
B、，不能与合并，不符合题意；
C、，不能与合并，不符合题意；
D、，能与合并，符合题意；
故选：D．
填空题
7．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的一元一次不等式，求解不等式即可得到的取值范围．
【详解】解：若二次根式有意义，则被开方数为非负数，
因此列不等式得，
移项得．
8．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法运算法则解题即可．
【详解】解：，
故答案为：．
9．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式加减运算，二次根式性质，熟练掌握二次根式加减运算法则是解题的关键．
先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
10．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质、分母有理化，先把分子和分母同时乘上，得出，再结合二次根式的性质进行化简，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
三、解答题
11．
【答案】
【分析】先根据二次根式的性质进行化简，再利用二次根式的乘除运算法则进行计算，最后合并同类二次根式即可．
【详解】解：
．
12．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】本题考查了二次根式的化简运算，网格中表示线段长．
（1）根据二次根式的化简方法进行化简；
（2）根据勾股定理计算边长的方法，在网格中表示、的长．
【详解】（1）解：，；
（2）解：如图所示：，，，
．
13．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，完全平方公式，绝对值的意义，熟练掌握二次根式有意义的条件，完全平方公式是解题的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件可求出的值，从而得到的值，即可求解；
（2）根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，再根据完全平方公式的变形，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
，
，
；
（2）解：由题意得：，
解得：，
，
，
，
．
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