资源简介

序号 题号 试题形式 题型 分值 题型 知识模块 知识点 认知水平 核心素养 预计难度
1 1 客观题 选择题 5 单选题 复数 复数虚部的求解 掌握 逻辑推理 易
2 2 客观题 选择题 5 单选题 集合 集合真子集个数的求解 掌握 数学运算 易
3 3 客观题 选择题 5 单选题 计数原理 二项式定理的应用 掌握 数学运算 逻辑推理 易
4 4 客观题 选择题 5 单选题 统计概率 概率计算 掌握 数学运算 易
5 5 客观题 选择题 5 单选题 数列 等差数列的实际应用 理解 数学运算 中
6 6 客观题 选择题 5 单选题 圆锥曲线与方程 直线与圆和基本不等式综合 理解 数学运算 中
7 7 客观题 选择题 5 单选题 函数概念与基本初等函数Ⅰ 抽象函数与函数性质综合 理解 数学运算 逻辑推理 中
8 8 客观题 选择题 5 单选题 计数原理 排列组合综合 理解 数学运算 逻辑推理 难
9 9 客观题 选择题 6 多选题 圆锥曲线与方程 双曲线综合 掌握 数学运算 数据分析 易
10 10 客观题 选择题 6 多选题 统计概率 条件概率与全概率综合 掌握 数学运算 逻辑推理 中
11 11 客观题 选择题 6 多选题 一元函数的导数及其应用 函数导数综合 理解 数学运算 逻辑推理 难
12 12 客观题 选择题 5 填空题 统计概率 正态分布求概率 掌握 数学运算 易
13 13 客观题 填空题 5 填空题 数列 等差等比数列综合 掌握 数学运算 数据分析 中
14 14 客观题 填空题 5 填空题 空间向量与立体几何 立体几何与球综合 理解 数学运算 逻辑推理 数据分析 难
15 15 客观题 填空题 13 解答题 统计分析 独立性检验 掌握 数学运算 数据分析 易
16 16 客观题 填空题 15 解答题 导数及其应用 函数导数综合 掌握 数学运算 数据分析 中
17 17 主观题 解答题 15 解答题 统计概率 回归方程综合 理解 数学运算 逻辑推理 直观想象 中
18 18 主观题 解答题 17 解答题 数列 数列求解证明 了解 数学运算 逻辑推理 难
19 19 主观题 解答题 17 解答题 圆锥曲线与方程 椭圆的计算 了解 数学运算 逻辑推理 数据分析 难■
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高二学情调研
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
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数学答题卡
15.(13分)
16.(15分)
学校
班级
姓名
正确填涂
填涂
准考证号
考场号
■
■
错误填涂
座位号
例 区
西而0①而而而页而而
母)
2Z Z I2I2
■
姓名XXX
BB]B]BB]BB]B]BB]
■
贴条形码区
55]
666666的
考场号Xx
座位号XX
8888888888
四鬥四四四9I
■
棕意口台黄竖程+登放鞋盐幸餐
选择题（每题5分，共40分）
1 AB C
6AB田四
·
2AB CD
7 A B]IC
3四BH@而
8四BC
4I围 四
5团B图@四
选择题（每题6分，共18分）
9AB CD
10图围 四
11IB图C@四
非选择题（每题5分，共15分）
12
14
请勿在此区域作答
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数学第1页（共6页）
数学第2页（共6页）
数学第3页（共6页）
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17.(15分)
18.(17分)
19.(17分)
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数学第4页（共6页）
数学第5页（共6页）
数学第6页（共6页）高二学情调研
数学参考答案及解析
三、填空题
12.0.15【解析】由对称性得.故答案为0.15.
13.【解析】由题得，设的公比为，则，由，得，即，又为整数，所以，所以.故答案为.
14.【解析】设，，方向上的单位向量分别为，，，由题意知．且，，.设该三棱锥外接球的球心为，半径为，，由外接球的性质得，，，所以，，．即，，，三式相加得，则，解得，，，所以
，所以该三棱锥外接球的表面积.故答案为.
四、解答题
15.解：（1）抽到的两把刀具质量均较好的概率为.（3分）
（2）由题得，，（5分）
，（7分）
所以，（9分）
则，（10分）
所以关于的经验回归方程为，（11分）
当时，，
故可预测时间为时刀具的厚度为.（13分）
（结果是分式或者化简成小数都正确，保留一位小数扣一分）
16.解：（1）当时，，，
则，（2分）
令，得或，（3分）
则当时，，单调递减；（4分）
当时，，单调递增，（5分）
所以在区间上的最小值为.（6分）
（2）由题得，
因为在处取得极小值，所以，（7分）
解得或.（8分）
当时，，
令，得或，（9分）
则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
此时在处取得极小值，符合题意；（11分）
当时，，
令，得或，（12分）
则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
此时在处取得极大值，在处取得极小值，不符合题意.（14分）
综上，.（15分）
17.解：（1）零假设：学生的学习成绩与心理情况无关，
，（3分）
所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为学生的学习成绩与心理情况有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.（5分）
（2）由题可得抽取的7人中，心理情况较好的人数为，
心理情况较差的人数为，（8分）
则X的可能取值为0,1,2,3，
，，
，，（12分）
所以X的分布列为
0 1 2 3
则.（15分）
（结果是分式或者化简成小数都正确）
18.解：（1）因为，，
所以当时，，得；（2分）
当时，，得.（4分）
（2）因为，
所以，
两式相减得，
则.（6分）
当时，；（7分）
当时，，（8分）
设，，
则，
所以在上单调递增，（10分）
所以由，得，
故，，
则，，（12分）
设，，
则，
所以在上单调递减，（14分）
所以由，得，，
则，
则，
故，.（16分）
综上，.（17分）
19.解：（1）设，
由题得，
即，
整理得，
所以的方程为.（4分）
（2）（i）由题得，（5分）
当的斜率为时，可取，
则，符合题意，
此时的方程为；（6分）
当的斜率不为时，设，，，
联立，得，
则，
，.（8分）
，
，
所以，
即，不成立.（10分）
综上，的方程为.（11分）
（ii）假设点在定直线上，
由椭圆的对称性可知该定直线必然与轴垂直.（12分）
由题可知的斜率不为0，且直线，
直线，（14分）
联立，（15分）
得
，（16分）
所以点在定直线上.（17分）参考答案及解析
数学
高二学情调研
数学参考答案及解析
一、选择题
x2,得x2-2x-C=0,其判别式△=4+4C>0,又x
1.D【解桥】由题得=告-书
>0,所以方程f(x)=x2的实数解只有x=
2计211=名+其虚部为受.故选D
2+4干4C=1+√1+C.故选B,
2
2
2
2.D【解析】由题得A∩B={(x,y)|x=2y且y=
8.C【解析】首先安排展厅A的访问位置，要求不相邻
且共被访问2次，从6个位置中选取2个不相邻位置
c1则y=4y,得y=0或子，则当y=0时x=0:当
的方法数为C一5=10种.这2个A会将剩余的4个
y=时x=合，所以AnB={(00).(合，)》，
访问位置划分成个非空区块，除A外可供选择的
展厅有3个（即B,C,D),对于任意一个非空区块，其
其真子集个数为22一1=3.故选D.
首个位置从这3个展厅中任选有3种选法，其后的每
3.C【解析】(x十2y)5的展开式的通项为T+1=
个位置只需与前一个位置不同，均有2种选法，所以
Cgx5-t(2y)=C2x5-0y,k=0,1,…,5,由k=2,
将剩余4个位置划分为个非空区块，其余展厅的排
得xy2的系数为C2=40.故选C.
布方法数为3×2-.当k=1时，说明2个A分别在
4.C【解析】易知点(1,1)和(2,2)在直线y=x上，从
序列两端，此时非空区块划分方式有1种，路径数为
4个点中随机抽取2个，总抽取方法数为C,恰有1
1×3×2=24条；当k=3时，说明2个A既不在两
个点在直线y=x上的抽取方法数为CC,故所求概
率P=C=号.故选C
端也不相邻，相当于从中间4个位置中挑选2个不相
C
邻的位置，此时划分方式有C号-一3=3种，路径数为3
5,B【解析】由等差数列求和可得∑MFC(L)=a
×38×21=162条；当k=2时，即为剩余的划分情况，
划分方式有10-1-3=6种，此时路径数为6×32×
+2b(1+2+…+n)=an+b,(n+1)=,3+
22=216条.综上，满足条件的巡逻路线共有24十162
(a+b)m,因为∑MFC(L)=n2+3m,所以6=1，故
+216=402条.故选C.
2.=1
二、选择题
选B.
9.ACD【解析】对于A,由题得A(a,0),设P(a+t,
6,A【解析】由题得圆心为(a,b),因为直线x十y=
-2与圆(x-a)2+(y-b)2=4ab(a,b>0)有公共点，
h),1,h>0,显然么=3,2+h2=10,解得(=1，h=3,
所以2Va6≥la+b+2l≥2Va6+2=2v√a6+V2,
则P(a十1,3)，故A正确：对于B,将P(a十1,3)代人
√2
√2
即（√2-1）√ab≥1，当且仅当a=b=w2+1时等号
E的方程得a少-号=1，即1-是
a=6,所以9a
成立，所以ab≥3十2√2，则该圆的面积S=4πab≥
=(2a十1)6，故B错误；对于C,AF|=a十c=3,则
4(3十2√2)x,所以该圆面积的最小值为4(3十
9a2=(2a+“)c+a)c-a)=(a+c)c-a),所
22)π.故选A.
以(c-2a)(c十8a)=0,可得c=2a,故b=√-a=
7.B【解析】由f(x)的单调性知fx)一2x为常数，设
f(x)=2x十C,因为f(x)>2x,所以C>0,由f(x)=
B,所以E的渐近线方程为y=士名x=士5x,故
。1高二学情调研
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
数学
本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
9已知双曲线E:若-苦=1(。>0b>0)的左焦点为F,右顶点为A,其右支上有一点P位于第
注意事项：
象限，AF|=3,|PA=√10，tan∠PAF=-3,则
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上
A.点P的坐标可表示为(a十1,3)
的指定位置
B.9a2=(3a+1)b
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在
C.E的渐近线方程为y=士√3x
试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
D.点P到E的右焦点的距离与PF之差为一2
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和
10.已知集合S={1,2,3},从其所有子集中依次等可能地选取两个不同子集A,B,记事件M为“A
答题卡上的非答题区域均无效。
是B的真子集”，事件N为“子集B中恰有2个元素”，则
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
A.P(N)-
B.P(MIN)=号
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的
C.P(MD
D.PCNIM-号
1.复数：的虚部为
11.已知函数f(x)=(x2+a)e(a∈R),则下列说法正确的是
A.若a>0,则函数f(x)一f(一x)无极值点
A-昌
B-号
C.
D.
B.若a>0,则函数f(x)十f(一x)恰有1个极值点
2.已知集合A={(x,y)x=2y},B={(x,y)|y=x2〉，则A∩B的真子集个数为
C.若a≥2，则曲线y=f(x)存在1条斜率最小的切线
A.0
B.1
C.2
D.3
D.若a<1,则曲线y=f(x)恰有2条斜率为0的切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
3.(x十2y)5的展开式中x3y2的系数为
12.若随机变量X服从正态分布N(4,o2),且P(X<2)=0.35,则P(4A.80
B.60
C.40
D.20
13.在公比为整数的等比数列{am}中，a1,2a3,a4十16成等差数列，且a2=6,则a3=
4.从点(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)中随机抽取2个点，恰有1个点在直线y=x上的概率为
14.在三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=60°，PA=3,PB=2,PC=1,若该三棱锥的
A号
c号
4个顶点均在一个球面上，则该球的表面积为
5.在垄断条件下，常需要考虑边际要素成本，记边际要素成本为MFC,成本为L,当要素供给函数
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，
为线性函数W(L)=a十bL(b>0,且a,b均为常数)时，可得MFC(L)=a十26L,这里记b为供
15.(本小题满分13分)
为测定常用刀具的磨损速度，每隔一个小时对刀具的厚度进行测量，记时间为，刀具的厚度
给公差.当∑MFC(L)=n2十3m时，供给公差为
为y,得到如下数据
A号
c
时间t/h
1
3
4
5
6
B.1
D.2
厚度y/mm
26.7
26.5
26.3
26.1
25.725.3
6.已知直线x十y=-2与圆(x-a)十(y-b)2=4ab(a,b>0)有公共点，则该圆面积的最小值为
y关于t的经验回归方程为y=t十a.
A.4(3+2√2)π
B.4(4+23)π
C.4(5+2√2)π
D.4(6+43)π
(1)现有五把刀具，其中三把质量较好，两把质量较差，从这五把中随机抽取两把，求这两把质
7.已知定义在(0，十∞)上的函数f(x)满足f(f(x)一2x)=4,且f(x)在(0，十∞)上单调递增
量均较好的概率；
f(x)>2x,则关于x的方程f(x)=x2的实数解的个数为
(2)求y关于t的经验回归方程，并预测时间为7h时刀具的厚度.
A.0
B.1
C.2
D.3
8.某博物馆有A,B,C,D四个不同的展厅，安保机器人每天需巡逻6次（某展厅可能未巡逻），每次
参考数据：∑y,=543.3.
t=1
只访问一个展厅，若要求机器人不能连续两次访问同一个展厅，且每天A展厅恰好被访问2次，
∑(x:-x)(y:-y）
则满足条件的巡逻路线共有
参考公式：对于经验回归方程y=x十a,6=
-a=y-bx.
A.270条
B.360条
C.402条
D.480条
∑(x,-x)2
数学第1页（共4页）】
数学第2页（共4页）(共49张PPT)
本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考
证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 铅笔把答题卡上对应题
目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无
效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数 的虚部为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得, 其虚部为 .故选D.
√
2.已知集合，，则 的真子集
个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 由题得且, 则, 得或 ,
则当时, ; 当时, , 所以 , 其
真子集个数为 .故选D.
√
3.的展开式中 的系数为( )
A.80 B.60 C.40 D.20
[解析] 的展开式的通项为
, 由, 得 的系
数为 .故选C.
√
4.从点中随机抽取2个点，恰有1个点在直线
上的概率为( )
A. B. C. D.
[解析] 易知点和在直线 上，从4个点中随机抽取2个，总
抽取方法数为，恰有1个点在直线上的抽取方法数为 ，故所
求概率 .故选C.
√
5.在垄断条件下，常需要考虑边际要素成本，记边际要素成本为 ，
成本为，当要素供给函数为线性函数，且， 均
为常数时，可得，这里记 为供给公差.当
时，供给公差为( )
A. B.1 C. D.2
[解析] 由等差数列求和可得
，因为，所以 .故选B.
√
6.已知直线与圆 有公共点，
则该圆面积的最小值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得圆心为，因为直线 与圆
有公共点，所以
，即 ，当且仅
当时等号成立，所以 ，则该圆的面积
，所以该圆面积的最小值为 .故
选A.
√
7.已知定义在上的函数满足，且 在
上单调递增，，则关于的方程 的实数解的
个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 由的单调性知为常数，设 ，因为
，所以，由，得 ，其判别式
，又，所以方程 的实数解只有
.故选B.
√
8.某博物馆有，，， 四个不同的展厅，安保机器人每天需巡逻6次
（某展厅可能未巡逻），每次只访问一个展厅，若要求机器人不能连续
两次访问同一个展厅，且每天 展厅恰好被访问2次，则满足条件的巡逻
路线共有( )
A.270条 B.360条 C.402条 D.480条
√
[解析] 首先安排展厅 的访问位置，要求不相邻且共被访问2次，从6个
位置中选取2个不相邻位置的方法数为种．这2个 会将剩余
的4个访问位置划分成个非空区块，除 外可供选择的展厅有3个
（即， ），对于任意一个非空区块，其首个位置从这3个展厅中任
选有3种选法，其后的每个位置只需与前一个位置不同，均有2种选法，
所以将剩余4个位置划分为 个非空区块，其余展厅的排布方法数为
．当时，说明2个 分别在序列两端，此时非空区块划分
方式有1种，路径数为条；当时，说明2个 既不在
两端也不相邻，相当于从中间4个位置中挑选2个不相邻的位置，此时划
分方式有种，路径数为条；当 时，即
为剩余的划分情况，划分方式有 种，此时路径数为
条．综上，满足条件的巡逻路线共有
条.故选C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分
分，有选错的得0分.
9.已知双曲线的左焦点为，右顶点为 ，其
右支上有一点位于第一象限，，， ，
则( )
A.点的坐标可表示为
B.
C.的渐近线方程为
D.点到的右焦点的距离与之差为
√
√
√
[解析] 对于A，由题得，设，，，显然 ，
，解得，，则 ，故A正确；对于B，将
代入的方程得，即 ，所以
，故B错误；对于C， ，则
，所以
，可得，故，所以 的
渐近线方程为，故C正确；对于D，由 ，
，得，由双曲线的定义得点到的右焦点的距离与 之
差为，故D正确.故选 .
10.已知集合 ，从其所有子集中依次等可能地选取两个不同子
集,，记事件为“是的真子集”，事件为“子集 中恰有2个元素”，
则( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 因为集合中有3个元素，所以其子集总数为 ，依次等可能
地选取两个不同子集，样本空间所包含的样本点总数为 的子
集中元素个数为2的子集共有个，选定子集后，子集 只能从剩
余的7个子集中选取，所以，故A正确；在事件 发生的
条件下，子集已固定且其元素个数为2，此时 的真子集共有
个，这3个真子集均在剩余的7个可选取的集合之中，所以
，故B错误；设事件为“子集中恰有 个元素”，其中
，满足条件的子集共有个，故 ，当子
集固定且元素个数为时，发生的条件概率 ，则
，由
二项式定理得， ，所以
，故C正确； ，
故D正确.故选 .
11.已知函数 ，则下列说法正确的是( )
A.若，则函数 无极值点
B.若，则函数 恰有1个极值点
C.若，则曲线 存在1条斜率最小的切线
D.若，则曲线 恰有2条斜率为0的切线
[解析] 对于A，令 ，则
，当 时，
恒成立，当时，，所以
恒成立，则 单调递增，无极值点，故A正确；对于
√
√
√
B，令，易知 定义域为R，
且，所以为偶函数，当 时，
，则在 上单
调递增，所以在上单调递减，则 有唯
一极值点，故B正确；对于C，因为 ，所以
，令，取 ，此时
，则即 单调递增，无最小值，即当
时，曲线 的斜率无最小值，故C错误；对于D，令
，得，当 时，判别式
，方程有2个不等实根与，将 代入
，得切点的纵坐标满足 ，设
，假设，取 ,
，令，则 ，当
时，，，不成立，当 时，
，则 ，设
， ，则
，所以在 上单调
递增，所以，即 ，矛盾，
所以，则切点的纵坐标不同，所以曲线 存在2条
斜率为0的切线，故D正确.故选 .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若随机变量服从正态分布，且 ，则
_____.
0.15
[解析] 由对称性得
.故答案为0.15.
13.在公比为整数的等比数列中，，， 成等差数列，且
，则 ____.
18
[解析] 由题得，设的公比为 ，
则，由，得 ，即
，又为整数，所以 ，所以
. 故答案为18.
14.在三棱锥中， ， ，
， ，若该三棱锥的4个顶点均在一个球面上，则该球的表
面积为_____.
[解析] 设，，方向上的单位向量分别为，， ，由题意知
．且，， .设该三
棱锥外接球的球心为，半径为， ，由外接球的
性质得， ，
，所以
，即，
， ，三式相加得
，则，解得，，，所以，所以该三棱锥外接球的表面积 .故答案为
.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，
证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
为测定常用刀具的磨损速度，每隔一个小时对刀具的厚度进行测量，
记时间为，刀具的厚度为 ，得到如下数据：
时间 1 2 3 4 5 6
厚度 26.7 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3
关于的经验回归方程为 .
（1）现有五把刀具，其中三把质量较好，两把质量较差，从这五把中
随机抽取两把，求这两把质量均较好的概率；
解： 抽到的两把刀具质量均较好的概率为 .（3分）
（2）求关于的经验回归方程，并预测时间为 时刀具的厚度.
参考数据： .
参考公式：对于经验回归方程， ，
.
解：由题得， ，（5分）
，（7分）
所以 ，（9分）
则 ，（10分）
所以关于的经验回归方程为 ，（11分）
当时， ，
故可预测时间为时刀具的厚度为 .（13分）
16.（本小题满分15分）
已知函数 .
（1）当时，求在区间 上的最小值；
解： 当时， , ,
则 ,（2分）
令,得或 ,
则当)时，, 单调递减；
当时，, 单调递增,（5分）
所以在区间)上的最小值为 .（6分）
（2）若在处取得极小值，求 的值．
解：由题得, ,
因为在 处取得极小值,
所以,解得或 .（8分）
当时， ,
令,得或 ,
则当时，, 单调递增；
当时，, 单调递减；
当时，, 单调递增,
此时在 处取得极小值，符合题意；（11分）
当时， ,
令,得或 ,
则当时，, 单调递增；
当时，, 单调递减；
当时，, 单调递增,
此时在处取得极大值，在 处取得极小值，不符合题意.
（14分）
综上, .（15分）
17.（本小题满分15分）
某校对200名学生的心理情况与学习成绩进行问卷调查，通过对照
表得到学生的心理测评分数，经过统计得到下表.
学习成绩较好 学习成绩较差
心理情况较好 80 45
心理情况较差 15 60
（1）依据小概率值 的独立性检验，分析学生的学习成绩是否
与心理情况有关；
解： 零假设 学生的学习成绩与心理情况无关，
，（3分）
所以依据小概率值的独立性检验，推断 不成立，即认为学
生的学习成绩与心理情况有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.（5分）
（2）从上述学习成绩较差的学生中采用分层随机抽样的方法抽取7人，
再从这7人中随机抽取3人，记这3人中心理情况较差的人数为，求 的
分布列与数学期望.
附：, .
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
解：由题可得抽取的7人中，心理情况较好的人数为 ，
心理情况较差的人数为 ，（8分）
则 的可能取值为0,1,2,3，
，
，
，
，（12分）
所以 的分布列为：
0 1 2 3
则 .（15分）
18.（本小题满分17分）
记为数列的前项和，已知， .
（1）求 ；
解： 因为， ,
所以当时， ,
得 ；（2分）
当时， ,
得 .（4分）
（2）证明： .
解：因为 ,
所以 ,
两式相减得 ,
则 .（6分）
当时， ；（7分）
当时，
，（8分）
设， ,
则 ,
所以在 )上单调递增，（10分）
所以由 ,
得 ,
故 ,
则， ，（12分）
设， ,
则 ,
所以在 )上单调递减，（14分）
所以由 ,
得， ,
则 ,
则 ,
故， .（16分）
综上， .（17分）
19.（本小题满分17分）
在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线
的距离之比为，记点的轨迹为曲线 .
（1）求 的方程；
解： 设 ,
由题得 ,
即 ,（2分）
整理得 ,
所以的方程为 .（4分）
（2）点，过点的直线与交于， 两点.
（ⅰ）当时，求 的方程；
[答案] 由题得 ,（5分）
当的斜率为0时，可取 ,
则 ,符合题意,
此时的方程为 ；（6分）
当的斜率不为0时，设, , ,
联立 ,
得 ,
则 ,
, .（8分）
,
,
所以 ,
即 ,不成立.（10分）
综上，的方程为 .（11分）
（ⅱ）直线与过点且垂直于的直线交于点，判断点 是否在定直
线上，并说明理由.
[答案] 假设点 在定直线上,
由椭圆的对称性可知该定直线必然与 轴垂直.（12分）
由题可知的斜率不为0，且直线 ,
直线 ,（14分）
联立 ,
得
,
所以点在定直线 上.（17分）

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