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2025-2026学年广东省广州十三中学高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．2 B．－2 C． D．4
2．空间中有三个平面与三条直线，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．已知向量，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆锥的高为4，底面半径为3，则其侧面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，利用斜二测画法画出的四边形的直观图为等腰梯形，已知，，则的长为（ ）
A．6 B． C． D．
6．中国南北朝时期数学家 天文学家祖冲之 祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）
A．24 B． C． D．
7．如图，在矩形中，分别为中点，为线段上的一点，且，若，则（ ）
A． B． C．2 D．
8．在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则是锐角三角形
D．若，则是钝角三角形
10．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．复数的虚部为
C．若对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为
D．若复数是关于的方程（，）的一个根，则
11．设点是边长为2的正方形内部及边界上的动点，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．4
三、填空题
12．复数满足，则______．
13．如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________．
14．三棱锥底面边长均为3，侧棱，且平面，则该三棱锥外接球的体积为________.
四、解答题
15．已知，是非零向量，，且，．
(1)求；
(2)求．
16．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长．
(1)这种“浮球”的体积是多少？（结果保留）
(2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（结果保留）
17．如图，在长方体中，，点为棱的中点.

(1)证明：平面；
(2)求异面直线与所成角的大小；
(3)求直线与平面所成角的正切值.
18．在中，，．
(1)求，
(2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长．
条件①：；
条件②：；
条件③：的面积为
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19．如图，等腰梯形中，，于点，且．沿把折起到的位置，使．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求平面和平面夹角的余弦值．
《广东省广州十三中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A D C D B A ABD ABCD
题号 11
答案 BCD
1．A
2．D
3．A
4．D
5．C
6．D
7．B
8．A
9．ABD
10．ABCD
11．BCD
12．
13．
14．/
15．(1)
(2)
16．(1)
(2)
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
18．(1)
(2)选条件②或③，存在，周长为.
19．(1)证明见详解
(2)
(3)

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