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2025-2026学年广东省广州市第二中学高二下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在四面体中，.点在上，且为的中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
3．数列为单调递减的等比数列，且，则公比（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
6．一个火车站有 8 股道，如果每股道只能停放 1 列火车，现要停放 4 列不同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有（ ）种.
A．48 B．60 C．90 D．120
7．袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数满足，则的最大值为（ ）
A．e B． C． D．
二、多选题
9．在中，下列命题正确的（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，则
C．若，则为钝角三角形
D．若，则为等腰三角形
10．（多选题）已知抛物线的准线方程为，点P在抛物线上，过P作圆的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则以下说法正确的是（ ）
A．抛物线的标准方程为
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，直线的斜率为或
D．满足的点P有且仅有2个
11．设关于实数的解析式为，则（ ）
A．当时，方程有唯一解
B．若成立，则当时，
C．当时，恒成立
D．若成立，则当时，
三、填空题
12．在的展开式中，项的系数是__________.（结果用数字作答）
13．与的公共项从小到大构成新数列，则的最小项为______.
14．在棱长为2的正方体内放入9个半径相等的小球，8个角各放1个，中间放1个，则小球半径最大为__________．
四、解答题
15．根据统计数据，某会员店的本地会员占70%，外地会员占30%．现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立．
(1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率；
(2)从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望．
16．如图，直四棱柱的底面为直角梯形，，，，三棱锥的体积是四棱柱体积的．

(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．
17．已知数列的前项和为，且满足，数列是单调递增的等差数列，，且，，成等比数列.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)记，求的前项和.
18．已知函数，其中．
(1)若，求的单调区间；
(2)若，
（i）证明：在区间内有且仅有个零点；
（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明：．
19．已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)若曲线与轴的交点分别为、（在的左侧），过点的直线交曲线于点（位于第二象限），的角平分线交于点．
（i）求证：点在定直线上；
（ii）连接直线且与曲线的另一个交点为，求的取值范围．
《广东省广州市第二中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A B A D C C ABC ABD
题号 11
答案 ACD
1．C
2．A
3．A
4．B
5．A
6．D
7．C
8．C
9．ABC
10．ABD
11．ACD
12．60
13．
14．
15．(1)
(2)
0 1 2 3
16．(1)证明见解析
(2)
17．(1)，
(2)
18．(1) 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
(2)证明：（i）由 (1) 知 ，令 ，则 ,
, ，故 在 上单调递增,
当 时，，且 时 ，因此存在唯一的 ，使得 ，即 ,
由此可知：当 时，，故 ， 单调递增；
当 时，，故 ， 单调递减,
因此， 是 在 内的唯一极值点（极大值点），且 ，
令 ，当 时，，故 在 上单调递减，因此 ，即,
取 ,代入 得,
由 ，结合 ，得 ， ，
因，，且 在 上单调递减，由零点存在定理，存在唯一的 ，使得 ,
又 ，但 不在 内，故 在 内有且仅有 1 个零点;
（ii）由题意， 是极值点，故 ，即,
是零点（），故 ，即,
将 代入上式，整理得,即（*）,
当 时，由 (i) 中结论 ，得 ,
结合（*），可得，
因 ，故 ，则可得 ，即，
两边取自然对数，整理得
故要证 ，只需证 ，即证,也即，
由（i）中结论，当 时， 恒成立，
故,
又因为，可得,证毕.
19．(1)
(2)（i）证明见解析（ii）

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