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2025-2026学年广东省广州十六中学高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）．
A． B．
C． D．
2．已知为的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
3．下列命题中正确的是（ ）
A．垂直于同一条直线的两条直线平行
B．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直
C．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行
D．如果平面垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
4．已知，为非零向量，则“”是“存在实数，使”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ）
A．6 海里 B．6海里 C．8海里 D．8海里
6．已知非零向量，满足在方向的投影向量是，且，则与的夹角是（ ）
A． B．
C． D．
7．直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（ ）
A．1 B．2
C． D．
8．在中，，，且BC边上的高为，则满足条件的的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、多选题
9．已知，都是复数，下列选项中正确的有（ ）
A．若，则或
B．若，则是实数
C．
D．若，则
10．在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．的范围为
11．如图，在正四棱柱中，，E，F，N分别是棱，，的中点，P是上一点，Q在平面内，则（ ）

A．平面
B．直线与是异面直线
C．当取得最小值时，的最小值为
D．多面体的外接球与内切球的半径之比为
三、填空题
12．在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则__________．
13．某同学做了一个木制陀螺，该陀螺由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两个圆锥的体积之比为1∶3．上面圆锥的高与其底面半径相等，则上、下两个圆锥的母线长之比为__________
14．设是边长为2的正六边形所在平面上的一点，若点、、满足，则的最小值是__________．
四、解答题
15．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点；
(1)求证：，，，四点共面
(2)点为的中点，求证：平面
16．在直角梯形中，已知，，，点是边的中点，点是边上一个动点（含端点）．请建立适当的直角坐标系解决下列问题：
(1)若，
①求的大小；
②求向量与向量的夹角的余弦值；
(2)求的取值范围．
17．如图1，的内角，，的对边分别为，，，直线与的边，分别相交于点，，设，满足．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
(3)用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图2，在锐角中，过点B作与垂直的单位向量，因为，所以．由分配律得，即，也即，请用上述向量方法探究，证明：
18．如图1，在梯形中，，，将沿翻折到如图2，使平面平面．
(1)求证：平面；
(2)已知点为棱上的点，且，
①求三棱锥的体积及其外接球的表面积；
②过点作平面，使平面，且平面交边于点，平面交于点，求点、的位置．
19．在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，，求边上的角平分线长；
(3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围．
《广东省广州十六中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B A A A C B ABC AC
题号 11
答案 ACD
1．D
2．B
3．B
4．A
5．A
6．A
7．C
8．B
9．ABC
10．AC
11．ACD
12．
13．
14．
15．(1)取的中点，连接，连接，
因为是的中点，是的中点，
所以，
因为，所以，
所以，，，四点共面.
(2)连接
因为是的中点，点为的中点，所以,
因为，分别是，的中点，所以，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
16．(1)①；②.
(2)
17．(1)
(2)
(3)设，则，与的夹角为，
在中， 因为，所以，
则，
解得.
18．(1)由题意，在中，勾股定理得，，
过D点作垂足为点E，
则在中，勾股定理可得，
在中，因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，又平面，所以，
因为平面，平面，, ，，
所以平面
(2)①体积为，外接球表面积为
② 是上满足的点， 是上满足的点.
19．(1)；
(2)；
(3).

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