资源简介

(共22张PPT)
第1课时　反比例函数在日常
　　　　 生活中的应用
第二十七章　27.3　实际问题与反比例函数
2026-2027学年人教版数学九年级上册
学习目标
1.理解利用反比例函数解决问题的方法.
2.能利用反比例函数解决日常生活中一些常见的问题，并在解题过程中提高数学的应用意识和建立数学模型的能力.(重点、难点)
情境引入
“给我一个支点，我就能撬动地球”，这是古希腊科学家阿基米德提出的，是他对杠杆原理的形象比喻，根据物理知识可知，杠杆可以省力，你能利用反比例函数的知识解决杠杆问题吗？这就是本节课的主要内容.
一、
反比例函数在工程问题中的应用
知识梳理
在工程问题中，基本数量关系为：工程量=工作效率×工作时间，当工程量为常量时，工作效率与工作时间之间的关系成反比例函数关系.
例1　(课本P74例1)港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h.
(1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速
解　轮船上的货物总量为700×9=6 300(t)，
所以v关于t的函数解析式为v=.
度v(单位：t/h)与卸载完所有货物的总时间t(单位：h)之间有怎样的函数关系？
例1　(课本P74例1)港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h.
(2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6 h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？
解　把t=6代入v=，得v==1 050(t/h).
从结果可以看出，如果全部货物恰好用6 h卸载完，那么平均每小时卸载1 050 t.
对于函数v=，当t>0时，t越小，v越大.
因此，若货物不超过6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1 050 t货物.
跟踪训练1　某市政府计划建设一项水利工程，某运输公司承担了该工程中运送土石方的任务，已知该运输公司平均运送效率v(单位：m3/天)与完成运送任务所需时间t(单位：天)之间是反比例函数关系，且当t=6时，v=12 000.
(1)求反比例函数的解析式；
解　由题意得vt=6×12 000=72 000，
∴v与t之间的函数解析式为v=.
跟踪训练1　某市政府计划建设一项水利工程，某运输公司承担了该工程中运送土石方的任务，已知该运输公司平均运送效率v(单位：m3/天)与完成运送任务所需时间t(单位：天)之间是反比例函数关系，且当t=6时，v=12 000.
(2)若该运输公司每天可运送土石方8 000 m3，求完成全部运输任务需要多少天？
解　在v=中，当v=8 000时，
∴t==9.
∴公司完成全部运输任务需要9天.
二、
反比例函数在杠杆问题中的应用
知识梳理
根据物理知识可知，若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受的重力成反比，则杠杆平衡.把它归纳为“杠杆原理”为：阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图所示.
例2　(课本P75例2)某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m.
(1)动力F(单位：N)与动力臂l(单位：m)有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？
解　根据“杠杆原理”，得Fl=1 200×0.5，
所以F关于l的函数解析式为F=.
当l=1.5 m时，F==400(N).
对于函数F=，当l=1.5 m时，F=400 N.此时杠杆平衡.
因此，撬动石头至少需要400 N的力.
例2　(课本P75例2)某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m.
(2)若想使动力F不超过(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？
解　对于函数F=，当l>0时，F随l的增大而减小.因此，只要求出
F=200 N时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量.
将F=400×=200代入F=，得200=，l==3(m).
因此，若想用力不超过400 N的一半，动力臂的长度就应该不小于3 m，则动力臂至少要加长3-1.5=1.5(m).
反思感悟
本题的求解进一步验证了杠杆原理的正确性，即撬动重物所做的功一定时，动力臂越长，所需要的动力越小，则越省力；反之，动力臂越短，所需要的动力越大，则越费力.
跟踪训练2　小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为
1 000 N和0.6 m，当动力臂由1.5 m增加到2 m时，撬动这块石头可以节省
　　　N的力.
解析　设动力为F(单位：N)，动力臂为l(单位：m)，根据“杠杆原理”有Fl=1 000×0.6，
∴F关于l的函数解析式为F=，当l=1.5 m时，F==400(N)，当l=2 m时，F==300(N)，
∴撬动这块石头可以节省400-300=100(N)的力.
100
课堂小结
1.正在建设中的临滕高速是重点建设项目，一段工程施工需要运送土石方总量为105 m3，设土石方日平均运送量为V(单位：m3/天)，完成运送任务所需要的时间为t(单位：天)，则V与t满足
A.反比例函数关系 B.无函数关系
C.一次函数关系 D.二次函数关系
随堂演练
√
解析　由题意，得V=，
∴V与t满足反比例函数关系.
随堂演练
2.某运输公司计划运输一批货物，已知货物总量是定值，每天运输的吨数与运输的天数之间成反比例关系，根据如表，求出a=　　.
每天运输的吨数 250 100 50
运输的天数 2 a 10
5
解析　∵每天运输的吨数与运输的天数之间成反比例关系，∴250×2=100a，∴a=5.
随堂演练
3.“杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用，比如：小刚用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力F1(N)和阻力臂l1(m)的函数图象如图所示，若小刚想使动力臂l2为2.5 m，则动力F2至少需要　　　　.
解析　设反比例函数解析式为F1=(k>0)，
∵点(0.5，1 600)在反比例函数图象上，∴k=1 600×0.5=800，
∴反比例函数解析式为F1=.当l2=2.5 m时，F2==320(N)，
∴动力F2至少需要320 N.
320 N
随堂演练
4.小明要把一篇文章录入电脑，所需时间y(min)与录入文字速度x(字/min)之间的反比例函数关系如图所示，如果小明要在9 min内完成录入任务，则小明录入文字的速度至少为多少？(结果保留整数)
解　设反比例函数的解析式为y=(x>0)，
将点(140，10)代入，得k=140×10=1 400，
则反比例函数的解析式为y=.
当y=9时，解得x=≈156.
随堂演练
4.小明要把一篇文章录入电脑，所需时间y(min)与录入文字速度x(字/min)之间的反比例函数关系如图所示，如果小明要在9 min内完成录入任务，则小明录入文字的速度至少为多少？(结果保留整数)
解　当x>0时，y随x的增大而减小，
∴小明要在9 min内完成录入任务，
则小明录入文字的速度至少为156字/min.
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