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3.1　圆的有关概念 第1课时　圆的有关概念
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.已知☉O的半径为4 cm，点P在☉O上，则OP的长为( )
A.2 cm B.4 cm
C.6 cm D.8 cm
2.有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定长于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦。其中正确的是( )
A.①③④ B.①③⑤
C.②④⑤ D.③④⑤
3.如图，若图中的数轴可以度量圆的直径，则图中圆的直径为( )
A.－3 B.3 C.π D.6
4.如图，点A，O，D，点C，D，E以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有( )
A.2条 B.3条
C.4条 D.5条
5.数轴上有A，B两点，点B表示实数0，点A表示实数a，☉B的半径为4。若点A在☉B内，则( )
A.a＜－4或a＞4 B.－4＜a＜4
C.a＞－4 D.a＜4
6.(3分)已知☉O的直径为6，P为☉O所在平面内一点，当OP 时，点P在☉O上；当OP 时，点P在☉O外；当OP 时，点P在☉O内。
7.(6分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2 cm，BC=4 cm，CM是中线，以点C为圆心， cm长为半径画圆，则点A，B，M与☉C的位置关系各是怎样的？
8.(6分)如图，已知OA，OB是☉O的两条半径，C，D分别为OA，OB上的点，且AC=BD，连结AD，BC。求证：AD=BC。
9.如图，OA是☉O的半径，B为OA上一点(不与点O，A重合)，过点B作OA的垂线，交☉O于点C。以OB，BC为边作矩形OBCD，连结BD。若CD=6，BC=8，则AB的长为( )
A.6 B.5
C.4 D.2
第9题图　　
10.(3分)已知☉O的半径为1，点P与点O之间的距离为d，且关于x的方程x2－2x＋d=0没有实数根，则点P在☉O (填“内”“上”或“外”)。
11.(3分)平面上有☉O及一点P，点P到☉O上一点的距离最长为6 cm，最短为2 cm，则☉O的半径为 cm。
12.(8分)如图，在A地正北80 m的B处有一幢民房，正西100 m的C处有一台变电设施，在BC的中点D处是一栋古建筑。因施工需要，必须在A处进行一次爆破。为使民房、变电设施、古建筑都不遭到破坏。
(1)(4分)问爆破影响面的半径应控制在什么范围内？
(2)(4分)若BC是一条马路，且马路上有行人和车辆，在爆破时也不能影响到马路上的行人和车辆，则半径应如何控制？
第12题图
13.(8分)如图，AD过圆心O，并交☉O于D，C两点，点E在☉O上，∠EOD=78°，连结AE，交☉O于点B。若AB=OC，求∠A的度数。
第13题图　
14.(8分)[应用意识]如图1，☉O的半径为r(r＞0)，若点P'在射线OP上，满足OP'·OP=r2，则称点P'是点P关于☉O的“反演点”。如图2，☉O的半径为4，点B在☉O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A'，B'分别是点A，B关于☉O的“反演点”，求A'B'的长。
第2课时　确定圆的条件 分值：77分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.给定下列条件，可以确定一个圆的是( )
A.已知圆心
B.已知半径
C.已知直径
D.不在同一条直线上的三点
2.下列说法中，正确的是( )
A.三角形外接圆的圆心是三边中线的交点
B.三角形外接圆的圆心是内角平分线的交点
C.三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点
D.三角形外接圆的圆心是三条高线的交点
3.直角三角形的外心在( )
A.直角顶点处
B.直角三角形的内部
C.直角三角形的外部
D.斜边中点处
4.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是( )
A.① B.②
C.③ D.④
5.(3分)已知线段AB=6 cm。
(1)(1分)画半径为4 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画 个。
(2)(1分)画半径为3 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画 个。
(3)(1分)画半径为2 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画 个。
6.(6分)如图，在平面直角坐标系中，点A(2，9)，B(2，3)，C(3，2)，D(9，2)在☉P上。
(1)(4分)在图中清晰地标出圆心P的位置。
(2)(2分)点P的坐标是 ，☉P的半径是 。
7.(6分)某地出土一个古代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心(不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹)。
8.(8分)如图，在△ABC中，BD，CE是两条高线。求证：B，C，D，E四点在同一个圆上。
9.平面内有5个点A，B，C，D，E，作直线AB与直线CD，交点恰好为E，则过这5个点中的3个，能作出的圆最多有( )
A.2个 B.6个
C.8个 D.10个
10.(3分)直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径为 。
11.(10分)根据以下素材，探索完成任务。
探索确定圆的条件
素材1 如图1，我们知道圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，如果知道圆心位置和半径大小，圆就确定下来了。 图1
素材2 如图2，我们还知道，不在同一条直线上的三点确定一个圆。 图2
问题解决
任务1 (1)(3分)如图3，画一个以点O为圆心，r为半径的圆。 图3
任务2 (2)(3分)如图4，已知△ABC，在图4中用直尺和圆规作出过点A，B，C的圆。 图4
任务3 (3)(4分)如图5，已知在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(2，－1)，C(3，n)三点可以确定一个圆，求n需要满足的条件，并说明理由。 图5
12.(8分)已知A，B，C三点。根据下列条件，说明A，B，C三点能否确定一个圆。如果能，求出圆的半径；如果不能，请说明理由。
(1)(4分)AB=2＋1，BC=4，AC=2－1。
(2)(4分)AB=AC=10，BC=12。
13.(8分)如图，已知圆上两点A，B，连结AB。
(1)(4分)用直尺和圆规作所有以AB为底的圆内接等腰三角形(保留作图痕迹，不用写作法)。
(2)(4分)若该圆的半径r=5，AB=8，求所作的等腰三角形的面积。
14.(10分)[推理能力]如图，在△ABC中，D是∠BAC的平分线上一点，BD⊥AD，过点D作DE∥AC，交AB于点E。求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心。3.1　圆的有关概念 第1课时　圆的有关概念
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.已知☉O的半径为4 cm，点P在☉O上，则OP的长为(　B　)
A.2 cm B.4 cm
C.6 cm D.8 cm
2.有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定长于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦。其中正确的是(　B　)
A.①③④ B.①③⑤
C.②④⑤ D.③④⑤
3.如图，若图中的数轴可以度量圆的直径，则图中圆的直径为(　D　)
A.－3 B.3 C.π D.6
4.如图，点A，O，D，点C，D，E以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(　A　)
A.2条 B.3条
C.4条 D.5条
5.数轴上有A，B两点，点B表示实数0，点A表示实数a，☉B的半径为4。若点A在☉B内，则(　B　)
A.a＜－4或a＞4 B.－4＜a＜4
C.a＞－4 D.a＜4
6.(3分)已知☉O的直径为6，P为☉O所在平面内一点，当OP　=3　时，点P在☉O上；当OP　＞3　时，点P在☉O外；当OP　＜3　时，点P在☉O内。
7.(6分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2 cm，BC=4 cm，CM是中线，以点C为圆心， cm长为半径画圆，则点A，B，M与☉C的位置关系各是怎样的？
解：由勾股定理，得AB==2(cm)，
∴CM=AB= cm。
∵CA=2 cm＜ cm，
∴点A在☉C内。
∵BC=4 cm＞ cm，
∴点B在☉C外。
∵CM= cm，∴点M在☉C上。
8.(6分)如图，已知OA，OB是☉O的两条半径，C，D分别为OA，OB上的点，且AC=BD，连结AD，BC。求证：AD=BC。
证明：∵OA，OB是☉O的两条半径，
∴OA=OB。
又∵AC=BD，∴OC=OD。
在△OCB和△ODA中，∵
∴△OCB≌△ODA(SAS)，
∴AD=BC。
9.如图，OA是☉O的半径，B为OA上一点(不与点O，A重合)，过点B作OA的垂线，交☉O于点C。以OB，BC为边作矩形OBCD，连结BD。若CD=6，BC=8，则AB的长为(　C　)
A.6 B.5
C.4 D.2
第9题图　　 第9题答图
【解析】 如答图，连结OC。
∵四边形OBCD是矩形，
∴∠OBC=90°，OB=CD=6，
∴OA=OC==10，
∴AB=OA－OB=4。
10.(3分)已知☉O的半径为1，点P与点O之间的距离为d，且关于x的方程x2－2x＋d=0没有实数根，则点P在☉O　外　(填“内”“上”或“外”)。
【解析】 ∵方程x2－2x＋d=0没有实数根，
∴Δ=b2－4ac=4－4d＜0，∴d＞1。
又∵☉O的半径为1，∴d＞r，
∴点P在☉O外。
11.(3分)平面上有☉O及一点P，点P到☉O上一点的距离最长为6 cm，最短为2 cm，则☉O的半径为　4或2　cm。
【解析】 当点P在☉O内时，直径为6＋2=8(cm)，
∴半径为4 cm；
当点P在☉O外时，
直径为6－2=4(cm)，
∴半径为2 cm。
综上所述，☉O的半径为4 cm或2 cm。
12.(8分)如图，在A地正北80 m的B处有一幢民房，正西100 m的C处有一台变电设施，在BC的中点D处是一栋古建筑。因施工需要，必须在A处进行一次爆破。为使民房、变电设施、古建筑都不遭到破坏。
(1)(4分)问爆破影响面的半径应控制在什么范围内？
(2)(4分)若BC是一条马路，且马路上有行人和车辆，在爆破时也不能影响到马路上的行人和车辆，则半径应如何控制？
第12题图 第12题答图
解：(1)如答图，连结AD。
∵AB=80 m，AC=100 m，
∴BC==20(m)。
∵D是BC的中点，∴AD=BC=10 m。
为使民房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，半径应比AB，AC，AD都小，
所以半径应控制在10 m内。
(2)如答图，过点A作AE⊥BC于点E。
∵AC=100 m，AB=80 m，BC=20 m，
∴AE= m。
∵在爆破时不能影响到马路上的行人和车辆，
∴半径应控制在 m内。
13.(8分)如图，AD过圆心O，并交☉O于D，C两点，点E在☉O上，∠EOD=78°，连结AE，交☉O于点B。若AB=OC，求∠A的度数。
第13题图　 第13题答图
解：如答图所示标注角，连结OB。
∵AB=OC，OB=OC，
∴AB=OB，∴∠1=∠A。
又∵OB=OE，
∴∠E=∠2=∠1＋∠A=2∠A，
∴∠EOD=∠E＋∠A=3∠A，
即3∠A=78°，∴∠A=26°。
14.(8分)[应用意识]如图1，☉O的半径为r(r＞0)，若点P'在射线OP上，满足OP'·OP=r2，则称点P'是点P关于☉O的“反演点”。如图2，☉O的半径为4，点B在☉O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A'，B'分别是点A，B关于☉O的“反演点”，求A'B'的长。
解：∵OA'·OA=r2，r=4，OA=8，
∴OA'=2。
∵OB'·OB=r2，
∴OB'=4，即点B和B'重合。
设OA交☉O于点C，连结B'C，如答图。
第14题答图
∵∠BOA=60°，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形。
易知A'为OC的中点，∴B'A'⊥OC。
在Rt△OA'B'中，A'B'==2。
第2课时　确定圆的条件 分值：77分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.给定下列条件，可以确定一个圆的是(　D　)
A.已知圆心
B.已知半径
C.已知直径
D.不在同一条直线上的三点
2.下列说法中，正确的是(　C　)
A.三角形外接圆的圆心是三边中线的交点
B.三角形外接圆的圆心是内角平分线的交点
C.三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点
D.三角形外接圆的圆心是三条高线的交点
3.直角三角形的外心在(　D　)
A.直角顶点处
B.直角三角形的内部
C.直角三角形的外部
D.斜边中点处
4.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是(　A　)
A.① B.②
C.③ D.④
5.(3分)已知线段AB=6 cm。
(1)(1分)画半径为4 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画　2　个。
(2)(1分)画半径为3 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画　1　个。
(3)(1分)画半径为2 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画　0　个。
6.(6分)如图，在平面直角坐标系中，点A(2，9)，B(2，3)，C(3，2)，D(9，2)在☉P上。
(1)(4分)在图中清晰地标出圆心P的位置。
(2)(2分)点P的坐标是　(6，6)　，☉P的半径是　5　。
解：(1)如答图，弦AB的垂直平分线是直线y=6，弦CD的垂直平分线是直线x=6，因而交点P的坐标是(6，6)。
第6题答图
(2)由(1)知，点P的坐标是(6，6)，☉P的半径是PA的长，PA==5。
7.(6分)某地出土一个古代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心(不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹)。
解：如答图，点O即为所求。
第7题答图
8.(8分)如图，在△ABC中，BD，CE是两条高线。求证：B，C，D，E四点在同一个圆上。
证明：如答图，取BC的中点O，连结EO，DO，则EO，DO分别是Rt△BEC，Rt△BDC斜边上的中线，
∴EO=DO=BO=CO=BC，
∴B，C，D，E四点在同一个圆上。
第8题答图
9.平面内有5个点A，B，C，D，E，作直线AB与直线CD，交点恰好为E，则过这5个点中的3个，能作出的圆最多有(　C　)
A.2个 B.6个
C.8个 D.10个
【解析】 5个点任意选取3个点有10种情况，其中点A，B，E在同一条直线上，点C，D，E在同一条直线上，根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆可知，过其中3个点能作出的圆最多有8个。
10.(3分)直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径为　8或10　。
【解析】 ①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；
②当两条直角边长分别为16和12时，直角三角形的斜边长为=20，
则其外接圆半径为10。
综上所述，这个三角形的外接圆半径为8或10。
11.(10分)根据以下素材，探索完成任务。
探索确定圆的条件
素材1 如图1，我们知道圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，如果知道圆心位置和半径大小，圆就确定下来了。 图1
素材2 如图2，我们还知道，不在同一条直线上的三点确定一个圆。 图2
问题解决
任务1 (1)(3分)如图3，画一个以点O为圆心，r为半径的圆。 图3
任务2 (2)(3分)如图4，已知△ABC，在图4中用直尺和圆规作出过点A，B，C的圆。 图4
任务3 (3)(4分)如图5，已知在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(2，－1)，C(3，n)三点可以确定一个圆，求n需要满足的条件，并说明理由。 图5
解：(1)如答图1，☉O即为所求。
第11题答图1
(2)如答图2，☉O即为所求。
第11题答图2
(3)设直线AB的表达式为y=kx＋b(k≠0)。
∵点A(1，1)，B(2，－1)，
∴解得
∴直线AB的表达式为y=－2x＋3。
当点C(3，n)在直线AB上时，不能确定圆，
此时n=－6＋3=－3，
∴A(1，1)，B(2，－1)，C(3，n)三点可以确定一个圆的条件是n≠－3。
12.(8分)已知A，B，C三点。根据下列条件，说明A，B，C三点能否确定一个圆。如果能，求出圆的半径；如果不能，请说明理由。
(1)(4分)AB=2＋1，BC=4，AC=2－1。
(2)(4分)AB=AC=10，BC=12。
解：(1)不能。理由如下：
∵2＋1＋2－1=4，
∴AB＋AC=BC，
∴A，B，C三点共线，
∴A，B，C三点不能确定一个圆。
(2)能。
∵10＋10=20＞12，
∴A，B，C三点不共线，
∴A，B，C三点能确定一个圆。
如答图，过点A作AD⊥BC。
∵AB=AC，∴AD是BC的垂直平分线，∴圆心在AD上。
设AD上的点O为圆心，连结BO。
第12题答图
∵AB=AC=10，BC=12，∴DB=6，
∴AD==8。
在Rt△BOD中，设OB=x，
则AO=x，∴DO=8－x。
由勾股定理，得x2=62＋(8－x)2，
解得x=，
∴A，B，C三点能确定一个圆，该圆的半径为。
13.(8分)如图，已知圆上两点A，B，连结AB。
(1)(4分)用直尺和圆规作所有以AB为底的圆内接等腰三角形(保留作图痕迹，不用写作法)。
(2)(4分)若该圆的半径r=5，AB=8，求所作的等腰三角形的面积。
解：(1)如答图，△ABC和△ABC'即为所求。
第13题答图
(2)设圆心为O，则点O在CC'上，连结AO，如答图。
∵AO=5，AE=AB=4，∴EO=3，
故EC=CO＋EO=8，
则等腰三角形ABC的面积为×8×8=32。
同理，等腰三角形ABC'的面积为×8×(5－3)=8。
14.(10分)[推理能力]如图，在△ABC中，D是∠BAC的平分线上一点，BD⊥AD，过点D作DE∥AC，交AB于点E。求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心。
证明：如答图所示标注角。
第14题答图
∵点D在∠BAC的平分线上，
∴∠1=∠2。
∵DE∥AC，∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，∴AE=DE。
∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，
∴∠EBD＋∠1=∠EDB＋∠3=90°，
∴∠EBD=∠EDB，∴BE=DE，
∴AE=BE=DE，
∴点E是过A，B，D三点的圆的圆心。

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