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3.2　圆心角 第1课时　圆心角定理 分值：73分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.下列图形中的∠ACB，属于圆心角的是(　B　)
A. B. C. D.
2.下列说法中，正确的是(　A　)
A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
B.相等的弦所对的圆心角相等
C.长度相等的两条弧相等
D.圆是轴对称图形，它只有一条对称轴，就是它的直径
3.已知弦AB把圆周分成1∶3的两部分，则劣弧AB所对应的圆心角的度数为(　C　)
A.45° B.45°或135°
C.90° D.90°或270°
4.如图，AB，CD是☉O的直径，若∠AOC=55°，则的度数为(　C　)
A.55° B.110° C.125° D.135°
【解析】 ∵∠AOC=55°，
∴∠AOD=180°－55°=125°，
∴的度数为125°。
5.如图，AB，CD是☉O的直径，过点A作AE∥CD，交☉O于点E。若∠AOC=70°，则的度数为(　D　)
A.70° B.60° C.50° D.40°
第5题图 第5题答图
【解析】 如答图，连结OE。
∵∠AOC=70°，AE∥CD，
∴∠EAO=∠AOC=70°。
又∵AO=EO，∴∠AEO=∠EAO=70°，
∴∠AOE=180°－2×70°=40°，
∴的度数为40°。
6.(3分)将等腰直角三角尺与量角器按如图所示的方式摆放，若三角尺的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧相交于A，B两点，则的度数为　90　°。
7.(3分)如图，AB是☉O的直径，如果∠COA=∠DOB=60°，那么与相等的弧有 　，与线段OA相等的弦有　AC，CD，DB　。
8.(6分)如图，EF，CD是☉O的两条直径，∠COF=32°，若∠ADC=53°，求证：。
第8题图 第8题答图
解：如答图，连结OA。
∵∠COF=32°，
∴∠DOF=180°－∠COF =148°。
∵OD=OA，∴∠OAD=∠ADC=53°，
∴∠DOA=180°－∠OAD－∠ADO=74°，
∴∠AOF=∠DOF－∠DOA=74°，
∴∠AOF=∠DOA，∴。
9.(8分)如图，AB为☉O的直径，∠DOC=90°，将∠DOC绕点O旋转，D，C两点在直径AB上方，且不与点A，B重合。
(1)(4分)求证：。
(2)(4分)AD＋BC=CD成立吗？请说明理由。
第9题图 第9题答图
解：(1)∵AB为☉O的直径，∠DOC=90°，
∴∠AOD＋∠BOC=180°－∠DOC=90°=∠DOC，
∴。
(2)不成立，理由如下：
如答图，作∠EOD=∠AOD，交☉O于点E，连结DE，CE，
则∠EOC=∠COD－∠EOD=90°－∠AOD=∠BOC，
∴DE=AD，EC=BC。
又∵在△DEC中，DE＋EC＞DC。
10.把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数为(　C　)
A.120° B.135° C.150° D.165°
【解析】 如答图，连结BO，过点O作OE⊥AB于点E。
第10题答图
由题意，得EO=BO，AB∥DC，∴∠EBO=30°，
∴∠BOD=∠EBO=30°，
∴∠BOC=150°，
∴的度数为150°。
11.(3分)下面是“作已知圆的内接正方形”的尺规作图过程。
(1)如图，作☉O的直径AB；
(2)分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N；
(3)作直线MN，与☉O相交于C，D两点，顺次连结A，C，B，D，则四边形ACBD为所求作的圆内接正方形。
该尺规作图的依据是　③④　(填序号)。
①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等。
④对角线相等的菱形是正方形。
12.(8分)如图，以 ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作☉A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于点G。判断和是否相等，并说明理由。
第12题图 第12题答图
解：。理由如下：
如答图，连结AE。
∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ABE=∠GAF，∠FAE=∠AEB，
∴∠GAF=∠FAE，∴。
13.(8分)如图，AB是☉O的弦，C，D是弦AB上的两点，且OC=OD，延长OC，OD，分别交☉O于点E，F，连结OA，OB。求证：。
证明：∵OC=OD，
∴∠OCG=∠ODG。
∵OA=OB，
∴∠OAG=∠OBG，
∴∠AOE=∠BOF，
∴。
14.(8分)如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，以点B为圆心，AB长为半径画圆，交AC于点D，交BC于点E。求证：
(1)(4分)=2。
(2)(4分)D是AC的中点。
第14题图　　 第14题答图
证明：(1)如答图，连结BD。
∵∠A=60°，BA=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，即的度数为60°。
∵∠ABC=90°，∴∠DBE=30°，
即的度数为30°，∴=2。
(2)∵∠C=90°－∠A=30°，
∴∠DBC=∠C，∴DC=DB。
由(1)，得△ABD为等边三角形，
∴DB=AD，
∴DC=AD，即D是AC的中点。
15.(8分)[推理能力]如图，MN是☉O的直径，A是半圆的一个三等分点，B是上一点，若OB平分∠AON，B'是点B关于MN的对称点，☉O的半径为1，求AB'的长。
第15题图　 第15题答图
解：如答图，连结OB，OB'。
∵A是半圆的一个三等分点，
∴∠AON=60°。
又∵OB平分∠AON，
∴∠BON=30°。
∵B'是点B关于MN的对称点，
∴∠B'ON=30°，∴∠AOB'=90°，
∴AB'=。
第2课时　圆心角定理的逆定理 分值：67分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.有下列命题：
①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③在同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等。
其中真命题是(　D　)
A.①② B.②④
C.①③④ D.②③④
【解析】 弦所对的弧有优弧和劣弧两条，故①是假命题，其余命题都是真命题。
2.如图，在☉O中，，∠A=30°，则∠B的度数为(　B　)
A.150° B.75° C.60° D.15°
第2题图　　 　第3题图
3.如图，在☉O中，C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=(　A　)
A.40° B.45° C.50° D.60°
4.(3分)如图，圆心角∠AOB=20°，将旋转n°得到，则的度数为　20　°。
第4题图 第5题图
5.(3分)如图，已知AB是☉O的直径，，∠BOC=42°，则的度数为　54　°。
6.(3分)如图，在☉O中，AC=BD，若∠AOC=110°，OC⊥BD，则∠COD=　55　°。
7.(3分)如图，PO是☉O的直径所在的直线，且PO平分∠BPD，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，有下列结论：①AB=CD；②；③PO=PE；④PB=PD。其中正确的是　①②④　(填序号)。
【解析】 ∵PO平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE=OF，∴AB=CD，，①，②正确。
在Rt△PEO中，易知PO＞PE， ③错误。
∵OE⊥AB，OF⊥CD，AB=CD，
∴BE=AB=CD=DF。
在Rt△PEO和Rt△PFO中，
∵
∴Rt△PEO≌Rt△PFO(HL)，
∴PE=PF，
∴PE＋BE=PF＋DF，
即PB=PD， ④正确。
综上所述，正确的是①②④。
8.(6分)如图，MB，MD是☉O的两条弦，点A，C分别在上，且AB=CD，M是的中点。求证：MB=MD。
证明：∵AB=CD，∴。
∵M是的中点，∴，
∴，即，
∴MB=MD。
9.(8分)如图，AB是☉O的直径，C是☉O上一点，，取的中点E，过点E作ED∥AB，交OC于点D。求证：OD=ED。
证明：如答图，连结OE。
第9题答图
∵，
∴OC⊥AB，∴∠AOC=90°。
又∵E是的中点，
∴∠AOE=∠COE=45°。
∵ED∥AB，∴ED⊥OC，
∴△EOD是等腰直角三角形，
∴OD=ED。
10.如图，在☉O中，已知=2，则(　B　)
A.AB=2CD
B.AB＜2CD
C.AB＞2CD
D.AB与2CD的大小不能确定
【解析】 如答图，取的中点E，连结AE，BE。
第10题答图
∵=2=2=2，
∴，∴AE＋BE=2CD。
在△ABE中，AE＋BE＞AB，
∴AB＜2CD。
11.(3分)如图，在一根横截面半径为12 cm圆柱体零件的正中位置打一个正三角形孔，正三角形顶点离圆柱边缘不少于2 cm，则这个正三角形边长最大为　10　cm。
【解析】 如答图，若要正三角形顶点离圆柱边缘不少于2 cm，则当正三角形边长最大时，它的顶点在半径为10的圆上，且这个圆与圆柱截面有相同的圆心。设两个圆的圆心为点O，过点O作OD⊥AB于点D，连结OA，OB。
第11题答图
∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，
∴，
∴∠AOB=×360°=120°。
又∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°。
设这个正三角形边长为a。
∵OD⊥AB，∴DA=a，OD=OA，
∴由勾股定理，得OA2=，
∴OA=a。
令a=10，
则a=10，
∴正三角形边长最大为10 cm。
12.(8分)如图，AB，AC是☉O的两条弦，且。
(1)(4分)求证：AO平分∠BAC。
(2)(4分)若AB=4，BC=8，求半径OA的长。
解：(1)如答图1，连结OB，OC。
∵，∴AB=AC。
在△AOB与△AOC中，∵
∴△AOB≌△AOC(SSS)，
∴∠1=∠2，
∴AO平分∠BAC。
图1　图2
第12题答图
(2)如答图2，延长AO，交BC于点E，连结OB。
∵，∴BE=BC=4，
∴AE==8。
设OA=OB=x，则OE=8－x。
由勾股定理，得OB2=OE2＋BE2，
∴x2=(8－x)2＋42，
解得x=5，
∴半径OA的长为5。
13.(8分)如图，在☉O中，C，D是直径AB上的两点，作EG⊥AB于点C，FH⊥AB于点D，点E，G，F，H在☉O上，且。
(1)(4分)若EG=8，AC=2，求☉O的半径。
(2)(4分)求证：AC=BD。
第13题图 第13题答图
解：(1)如答图，连结EO。
设☉O的半径为r。
∵EG⊥AB，
∴CE=CG=EG=4。
∵AC=2，∴OC=r－2。
在Rt△CEO中，OE2=CE2＋OC2，
∴r2=42＋(r－2)2，
解得r=5，
即☉O的半径为5。
(2)如答图，连结OF。
∵，
∴∠AOE=∠BOF。
∵EG⊥AB，FH⊥AB，
∴∠ECO=∠FDO=90°。
又∵OE=OF，
∴△COE≌△DOF(AAS)，
∴CO=DO。
又∵AO=BO，∴AC=BD。
14.(10分)[推理能力]如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上的一点(不与点A，B重合)，过点A作AD∥OC，交半圆于点D，E是直径AB上的一点，且AE=AD，连结CE，CD。
(1)(4分)求证：CD=CE。
(2)(6分)延长EC，AD相交于点F，连结OD，若=3，求证：四边形OCFD是菱形。
证明：(1)如答图1，连结AC。
第14题答图1
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。
∵AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC。
在△DAC和△EAC中，∵
∴△DAC≌△EAC(SAS)，
∴CD=CE。
(2)如答图2，连结AC。
第14题答图2
∵=3，∴∠AOD=3∠COD。
∵AD∥OC，∴∠ADO=∠COD。
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA。
又∵∠AOD＋∠OAD＋∠ADO=180°，
∴5∠ADO=180°，∴∠ADO=36°，
∴∠AOD=108°，∠DOC=36°。
又∵OD=OC，∴∠ODC=72°，
∴∠ADC=108°。
由(1)，得△DAC≌△EAC，
∴∠AEC=∠ADC=108°，
∴∠AOD=∠AEC，∴OD∥CE。
又∵OC∥AD，
∴四边形OCFD是平行四边形。
又∵OD=OC，
∴ OCFD是菱形。3.2　圆心角 第1课时　圆心角定理 分值：73分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.下列图形中的∠ACB，属于圆心角的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法中，正确的是( )
A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
B.相等的弦所对的圆心角相等
C.长度相等的两条弧相等
D.圆是轴对称图形，它只有一条对称轴，就是它的直径
3.已知弦AB把圆周分成1∶3的两部分，则劣弧AB所对应的圆心角的度数为( )
A.45° B.45°或135°
C.90° D.90°或270°
4.如图，AB，CD是☉O的直径，若∠AOC=55°，则的度数为( )
A.55° B.110° C.125° D.135°
5.如图，AB，CD是☉O的直径，过点A作AE∥CD，交☉O于点E。若∠AOC=70°，则的度数为( )
A.70° B.60° C.50° D.40°
第5题图
6.(3分)将等腰直角三角尺与量角器按如图所示的方式摆放，若三角尺的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧相交于A，B两点，则的度数为 °。
7.(3分)如图，AB是☉O的直径，如果∠COA=∠DOB=60°，那么与相等的弧有 ，与线段OA相等的弦有 。
8.(6分)如图，EF，CD是☉O的两条直径，∠COF=32°，若∠ADC=53°，求证：。
第8题图
9.(8分)如图，AB为☉O的直径，∠DOC=90°，将∠DOC绕点O旋转，D，C两点在直径AB上方，且不与点A，B重合。
(1)(4分)求证：。
(2)(4分)AD＋BC=CD成立吗？请说明理由。
第9题图
10.把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数为( )
A.120° B.135° C.150° D.165°
11.(3分)下面是“作已知圆的内接正方形”的尺规作图过程。
(1)如图，作☉O的直径AB；
(2)分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N；
(3)作直线MN，与☉O相交于C，D两点，顺次连结A，C，B，D，则四边形ACBD为所求作的圆内接正方形。
该尺规作图的依据是 (填序号)。
①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等。
④对角线相等的菱形是正方形。
12.(8分)如图，以 ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作☉A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于点G。判断和是否相等，并说明理由。
第12题图
13.(8分)如图，AB是☉O的弦，C，D是弦AB上的两点，且OC=OD，延长OC，OD，分别交☉O于点E，F，连结OA，OB。求证：。
14.(8分)如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，以点B为圆心，AB长为半径画圆，交AC于点D，交BC于点E。求证：
(1)(4分)=2。
(2)(4分)D是AC的中点。
第14题图　　
15.(8分)[推理能力]如图，MN是☉O的直径，A是半圆的一个三等分点，B是上一点，若OB平分∠AON，B'是点B关于MN的对称点，☉O的半径为1，求AB'的长。
第15题图　
第2课时　圆心角定理的逆定理 分值：67分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.有下列命题：
①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③在同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等。
其中真命题是( )
A.①② B.②④
C.①③④ D.②③④
2.如图，在☉O中，，∠A=30°，则∠B的度数为( )
A.150° B.75° C.60° D.15°
第2题图　　 　第3题图
3.如图，在☉O中，C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
4.(3分)如图，圆心角∠AOB=20°，将旋转n°得到，则的度数为 °。
第4题图 第5题图
5.(3分)如图，已知AB是☉O的直径，，∠BOC=42°，则的度数为 °。
6.(3分)如图，在☉O中，AC=BD，若∠AOC=110°，OC⊥BD，则∠COD= °。
7.(3分)如图，PO是☉O的直径所在的直线，且PO平分∠BPD，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，有下列结论：①AB=CD；②；③PO=PE；④PB=PD。其中正确的是 (填序号)。
8.(6分)如图，MB，MD是☉O的两条弦，点A，C分别在上，且AB=CD，M是的中点。求证：MB=MD。
9.(8分)如图，AB是☉O的直径，C是☉O上一点，，取的中点E，过点E作ED∥AB，交OC于点D。求证：OD=ED。
10.如图，在☉O中，已知=2，则( )
A.AB=2CD
B.AB＜2CD
C.AB＞2CD
D.AB与2CD的大小不能确定
11.(3分)如图，在一根横截面半径为12 cm圆柱体零件的正中位置打一个正三角形孔，正三角形顶点离圆柱边缘不少于2 cm，则这个正三角形边长最大为 cm。
12.(8分)如图，AB，AC是☉O的两条弦，且。
(1)(4分)求证：AO平分∠BAC。
(2)(4分)若AB=4，BC=8，求半径OA的长。
13.(8分)如图，在☉O中，C，D是直径AB上的两点，作EG⊥AB于点C，FH⊥AB于点D，点E，G，F，H在☉O上，且。
(1)(4分)若EG=8，AC=2，求☉O的半径。
(2)(4分)求证：AC=BD。
第13题图
14.(10分)[推理能力]如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上的一点(不与点A，B重合)，过点A作AD∥OC，交半圆于点D，E是直径AB上的一点，且AE=AD，连结CE，CD。
(1)(4分)求证：CD=CE。
(2)(6分)延长EC，AD相交于点F，连结OD，若=3，求证：四边形OCFD是菱形。

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