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3.3　垂径定理 第1课时　垂径定理 分值：62分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5，CD=8，则AE=(　A　)
A.8 B.7 C.6 D.5
【解析】 由题意，得CE=DE=CD=4，AO=OC=5，∴OE==3，
∴AE=AO＋OE=8。
2.如图，已知☉O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论中，不一定正确的是(　B　)
A.CE=DE B.AE=OE
C. D.△OCE≌△ODE
3.如图，在☉中，弦AB的弦心距OD=2，延长OD，交于点C，若OC=3，则AB的长为(　B　)
A.4 B.2 C.5 D.6
第3题图　　 第3题答图
【解析】 如答图，连结OA。
∵OD是弦AB的弦心距，
∴OC⊥AB于点D，
∴AD=BD。
∵OA=OC=3，
∴AD=，
∴AB=2AD=2。
4.如图，☉O的半径为10，AB是☉O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OC=4∶5，则AB的长为(　A　)
A.12 B.14 C.16 D.18
5.如图，☉O的半径为5，若OP=3，则经过点P的弦的长可能是(　C　)
A.3 B.6 C.9 D.12
【解析】 易知过点P最长的弦是直径，最短的弦是垂直于OP的弦，且易知这条弦长=2=8，
∴四个选项中只有C有可能。
6.(3分)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为　(2，0)　。
7.(6分)如图，在☉O中，直径CD⊥弦AB于点E。
(1)(3分)若AB=30，OE=8，求☉O的半径。
(2)(3分)若CD=10，DE=OE，求AB的长。
第7题图　　 第7题答图
解：(1)如答图，连结OA。
∵CD是☉O的直径，CD⊥AB，
∴AE=AB=15。
又∵在Rt△AOE中，OE=8，
∴OA==17，
∴☉O的半径为17。
(2)∵CD是☉O的直径，CD=10，
∴OD=OA=CD=5。
∵DE=OE，∴OE=OD=。
在Rt△AOE中，
AE=。
∵CD是☉O的直径，CD⊥AB，
∴AB=2AE=15。
8.(8分)如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm(水面在圆心下方)，一场雨过后，水位上升了10 cm，则此时水面宽为多少？
第8题图　　 　第8题答图
解：如答图，设下雨前水面宽为AB，下雨后水面宽为A'B'，连结OB，OB'，作OC⊥AB于点C，交A'B'于点C'，则OC'⊥A'B'，CC'=10 cm。
由垂径定理，得BC=AB=30 cm。
又易知OB=50 cm，∴OC=40 cm，
∴OC'=30 cm。
又∵OB'=50 cm，∴B'C'=40 cm，
∴由垂径定理，得A'B'=2B'C'=80 cm，
即此时水面宽为80 cm。
9.如图，已知☉O的半径为7，AB是☉O的弦，点P在弦AB上。若PA=4，PB=6，则OP=(　D　)
A. B.4
C.2 D.5
第9题图 第9题答图
【解析】 如答图，过点O作OC⊥AB于点C，连结OP，OB。
∵PA=4，PB=6，∴AB=PA＋PB=10，
∴AC=BC=5，∴PC=PB－BC=1。
∵在Rt△OBC中，OC2=OB2－BC2=72－52=24，
∴在Rt△OPC中，OP==5。
10.如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上(玻璃瓶厚度忽略不计)，测得瓶高AB=20 cm，底面直径BC=12 cm，球的最高点到瓶底面的距离为32 cm，则球的半径为(　C　)
A.5 cm B.6 cm
C.7.5 cm D.15 cm
第10题图 第10题答图
【解析】 如答图所示标注字母，设球的半径为r(cm)，则OG=EG－r=EF－GF－r=EF－AB－r=32－20－r=(12－r)cm。
∵EG过圆心，且垂直于AD，∴AG=AD=BC=6 cm。
在Rt△OAG中，由勾股定理，得
OA2=OG2＋AG2，即r2=(12－r)2＋62，解得r=7.5，
∴球的半径为7.5 cm。
11.(3分)只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5 cm，AB=3 cm，CD=4 cm，则可以算得纸杯的直径为　5　cm。
第11题答图 第11题答图
【解析】 如答图，设杯口圆心为O，过点O作垂直于AB的直径，交AB于点N，交CD于点M，则MN⊥CD，MN=3.5 cm，连结OD，OB。
∵MN⊥AB，MN⊥CD，
∴DM=CD=2 cm，BN=AB=1.5 cm。
设OM=x(cm)，
则ON=MN－OM=(3.5－x)cm。
∵OM2＋MD2=OD2，ON2＋BN2=OB2，OB=OD，
∴OM2＋MD2=ON2＋BN2，
∴x2＋22=(3.5－x)2＋1.52，
解得x=1.5，
∴OD==2.5(cm)，
∴纸杯的直径=2.5×2=5(cm)。
12.(3分)某同学通过观察家中的刺绣饰品，发现其是由圆形的刺绣面和一段劣弧支架组成。如图，刺绣饰品关于两圆心所在直线对称，通过查阅和测量得知，支脚A，B之间的距离为9.6 cm，刺绣面(圆)最高点E到AB的距离EN为20.6 cm，到劣弧AB最高点M的距离EM为17 cm，则劣弧支架AB所在圆的半径是　5　cm。
【解析】 如答图，设劣弧支架所在圆的圆心为O，则点O在直线EM上，连结OA，设OA=OM=r(cm) 。
第12题答图
∵EN=20.6 cm，EM=17 cm，
∴MN=20.6－17=3.6(cm)。
∵M是劣弧AB的最高点，
∴OM⊥AB，
∴AN=BN=AB=×9.6=4.8(cm)。
在Rt△OAN中，r2=(r－3.6)2＋4.82，
解得r=5，
即劣弧支架AB所在圆的半径是5 cm。
13.(8分)如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D，若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长。
第13题图　　 第13题答图
解：如答图，连结OC，OA，过点O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴CE==2，
AE==8，
∴AC=AE－CE=8－2。
14.(10分)[推理能力]如图，☉O中两条相等且互相垂直的弦AB，CD相交于点E。
(1)(4分)过点O作OM⊥CD于点M，若OM=6，☉O的半径为10，求弦CD的长。
(2)(6分)过点A作AN⊥BD，交CD于点F，求证：CE=EF。
解：(1)如答图1，连结OD。
第14题答图1
∵OM⊥CD，∴DM=CM，∠OMD=90°。
∴DM==8，
∴CD=2DM=16。
(2)如答图2，过点O作OG⊥AB于点G，连结OD，OB，则BG=AG=AB=CD=CM=DM。
第14题答图2
又∵OB=OD，∠OGB=∠OMD=90°，
∴△OGB≌△OMD(HL)，
∴OG=OM。
又∵∠OGE=∠OME=∠GEM=90°，
∴四边形OGEM是正方形，
∴GE=EM，∴AE=DE，BE=CE。
∵AN⊥BD，∴∠DBE=90°－∠A=∠AFE。
又∵∠AEF=∠DEB=90°，
∴△AEF≌△DEB(AAS)，
∴EF=BE，∴CE=EF。
第2课时　垂径定理的推论 分值：69分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.下列命题中，假命题是(　A　)
A.平分弦的直径垂直于弦
B.垂直平分弦的直线必经过圆心
C.垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧
D.平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦
【解析】 平分弦(非直径)的直径垂直于弦，A为假命题。B，C，D为真命题。
2.如图，OA，OB，OC都是☉O的半径，AC，OB相交于点D。若AD=CD=8，OD=6，则BD的长为(　B　)
A.5 B.4 C.3 D.2
第2题图　 　第3题图
3.如图，在☉O中，AB是直径，CD是弦，，则下列结论中，不一定成立的是(　C　)
A.AB⊥CD B.CM=DM
C.AC=CD D.∠C=∠D
4.“老碗面”是我国北方一些地区的家常美食。图2是从正面看到的一个“老碗”(图1)的形状示意图。是☉O的一部分，D是的中点，连结OD，与弦AB相交于点C，连结OA，OB。已知AB=24 cm，碗深CD=8 cm，则☉O的半径OA为(　A　)
A.13 cm B.16 cm
C.17 cm D.26 cm
【解析】 ∵是☉O的一部分，D是的中点，AB=24 cm，
∴OD⊥AB，AC=BC=AB=12 cm。
设☉O的半径OA为r(cm)，则OC=OD－CD=(r－8)cm。
在Rt△OAC中，∵∠OCA=90°，
∴OA2=AC2＋OC2，即r2=122＋(r－8)2，
解得r=13，即☉O的半径OA为13 cm。
5.(8分)利用本节所学的知识，填写你认为正确的结论：如图，在☉O中，AB是弦(不是直径)。
(1)(2分)若AB⊥MN，MN为直径，则　AC=BC，　。
(2)(2分)若AC=BC，MN为直径，则　MN⊥AB，　。
(3)(2分)若MN⊥AB，AC=BC，则　MN为直径，　。
(4)(2分)若，MN为直径，则 ，AC=BC，MN⊥AB　。
6.(3分)如图，AB是☉O的直径，DM垂直平分弦AC，垂足为D。若AB=13，BC=5，则MD的长为　4　。
第6题图　 　第6题答图
【解析】 如答图，连结OD。
∵MD垂直平分AC，∴MD⊥AC，AD=DC，
∴O，D，M三点在同一条直线上，
∴OM=AB=6.5。
∵OA=OB，
∴OD=BC=2.5，
∴MD=OM－OD=4。
7.(6分)如图，☉O的两条弦AB∥CD(AB不是直径)，E为AB的中点，连结EC，ED。
(1)(3分)直线EO与AB垂直吗？请说明理由。
(2)(3分)求证：EC=ED。
第7题图　 　第7题答图
解：(1)EO⊥AB。理由如下：
如答图，连结EO。
∵EO过圆心O，E为AB的中点，
∴EO⊥AB。
(2)如答图，延长EO，交CD于点F。
∵EO⊥AB，AB∥CD，
∴EF⊥CD。
又∵EF过圆心O，
∴CF=DF，∴EC=ED。
8.(8分)如图，在☉O中，M，N分别为弦AB，CD的中点，AB=CD，AB不平行于CD。求证：∠AMN=∠CNM。
第8题图　 　第8题答图
证明：如答图，连结OM，ON，AO，OC。
∵M，N分别为AB，CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∴∠AMO=∠CNO=90°。
又∵AB=CD，∴AM=CN。
在Rt△AOM和Rt△CON中，
∵
∴Rt△AOM≌Rt△CON(HL)，
∴OM=ON，
∴∠OMN=∠ONM，
∴∠AMO＋∠OMN=∠CNO＋∠ONM，即∠AMN=∠CNM。
9.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，O是这段弧所在圆的圆心，AB=40 m，C是的中点，D是AB的中点，且CD=10 m，则这段弯路所在圆的半径为(　B　)
A.24 m B.25 m
C.30 m D.60 m
第9题图　　 　第9题答图
【解析】 如答图，连结OA，OB，OD。
由垂径定理可知，点O，C，D在同一条直线上，OC⊥AB。
设半径为r(m)，则OC=OA=r(m)。
易知AD=AB=20 m，OD=OC－CD=(r－10)m。
在Rt△ADO中，由勾股定理，得
r2=202＋(r－10)2，解得r=25，
即这段弯路所在圆的半径为25 m。
10.(3分)如图，M是CD的中点，EM⊥CD于点M。若CD=4，EM=8，则所在的圆的半径为 　。
第10题图　　 第10题答图
【解析】 ∵M是CD的中点，EM⊥CD，
∴EM过CED所在圆的圆心。
如答图，设所在圆的圆心为点O，连结OC。
设半径为x。
∵CD=4，EM=8，
∴CM=CD=2，OM=EM－OE=8－x。
在Rt△OCM中，OM2＋CM2=OC2，
即(8－x)2＋22=x2，解得x=，
∴所在的圆的半径为。
11.(8分)如图，AB是☉O的直径，C是☉O上的一点。
(1)(4分)实践与操作：在上求作点P，使得P为的中点(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母)。
(2)(4分)推理与计算：已知P为的中点，连结AP，AC，若AP=，AC=6，求☉O的半径。
解：(1)如答图1所示。
第11题答图1
(2)如答图2，连结OP交AC于点D。
第11题答图2
∵P为的中点，
∴OP⊥AC，AD=CD=AC=3。
在Rt△APD中，
PD==1。
设☉O的半径为r。
在Rt△AOD中，AD2＋OD2=OA2，
∴32＋(r－1)2=r2，解得r=5，
即☉O的半径为5。
12.(8分)如图所示，某地欲搭建一座圆弧形拱桥，跨度AB=32米，拱高CD=8米(C为AB的中点，D为的中点)。现要在距离桥的一端4米处立一桥墩EF，求桥墩的高度。
第12题图
第12题答图
解：如答图，设所在圆的圆心为点O，易知直线DC经过点O，设☉O的半径为r，连结OB，OF。
∵D是的中点，∴OD⊥AB。
易知BC=AB=16米。
在Rt△OBC中，OB2=OC2＋BC2，
∴r2=(r－8)2＋162，
解得r=20。
过点O作OH⊥FE，交FE的延长线于点H，则易知OH=CE=16－4=12(米)，OF=20米，
∴在Rt△OHF中，HF==16米。
∵HE=OC=OD－CD=20－8=12(米)，
∴FE=HF－HE=4米。
答：桥墩的高度为4米。
13.(10分)[应用意识]如图，隧道的截面由和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12 m、宽AB为3 m，隧道的顶端E(的中点)高出道路(BC)7 m。
(1)(5分)求所在圆的半径。
(2)(5分)如果隧道内设双行道，现有一辆运输特殊物品的车辆，车辆高6.5 m、宽2.3 m，那么该车辆能否通过隧道？
解：(1)如答图，设所在圆的圆心为点O，半径为r(m)，连结OE，交AD于点F，连结OA，OD，则OF=r－(7－3)=(r－4)m。
∵E是的中点，
∴OE垂直平分AD，
∴AF=AD=BC=6 m。
由勾股定理，得AF2＋OF2=OA2，即62＋(r－4)2=r2，解得r=6.5，
即所在圆的半径为6.5 m。
第13题答图
(2)如答图，在上取到OE的距离为2.3 m的点H，过点H作HG⊥OE于点G，则GH=2.3 m。
∵圆的半径OH=6.5 m，
∴由勾股定理，得
OG=≈6.08(m)，
∴点G到BC的距离为7－6.5＋6.08=6.58(m)＞6.5 m，
∴该车辆能通过隧道。3.3　垂径定理 第1课时　垂径定理 分值：62分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5，CD=8，则AE=( )
A.8 B.7 C.6 D.5
2.如图，已知☉O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论中，不一定正确的是( )
A.CE=DE B.AE=OE
C. D.△OCE≌△ODE
3.如图，在☉中，弦AB的弦心距OD=2，延长OD，交于点C，若OC=3，则AB的长为( )
A.4 B.2 C.5 D.6
第3题图　　
4.如图，☉O的半径为10，AB是☉O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OC=4∶5，则AB的长为( )
A.12 B.14 C.16 D.18
5.如图，☉O的半径为5，若OP=3，则经过点P的弦的长可能是( )
A.3 B.6 C.9 D.12
6.(3分)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为 。
7.(6分)如图，在☉O中，直径CD⊥弦AB于点E。
(1)(3分)若AB=30，OE=8，求☉O的半径。
(2)(3分)若CD=10，DE=OE，求AB的长。
第7题图　　
8.(8分)如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm(水面在圆心下方)，一场雨过后，水位上升了10 cm，则此时水面宽为多少？
第8题图　　 　
9.如图，已知☉O的半径为7，AB是☉O的弦，点P在弦AB上。若PA=4，PB=6，则OP=( )
A. B.4
C.2 D.5
第9题图
10.如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上(玻璃瓶厚度忽略不计)，测得瓶高AB=20 cm，底面直径BC=12 cm，球的最高点到瓶底面的距离为32 cm，则球的半径为( )
A.5 cm B.6 cm
C.7.5 cm D.15 cm
第10题图
11.(3分)只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5 cm，AB=3 cm，CD=4 cm，则可以算得纸杯的直径为 cm。
第11题答图
12.(3分)某同学通过观察家中的刺绣饰品，发现其是由圆形的刺绣面和一段劣弧支架组成。如图，刺绣饰品关于两圆心所在直线对称，通过查阅和测量得知，支脚A，B之间的距离为9.6 cm，刺绣面(圆)最高点E到AB的距离EN为20.6 cm，到劣弧AB最高点M的距离EM为17 cm，则劣弧支架AB所在圆的半径是 cm。
13.(8分)如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D，若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长。
第13题图　　
14.(10分)[推理能力]如图，☉O中两条相等且互相垂直的弦AB，CD相交于点E。
(1)(4分)过点O作OM⊥CD于点M，若OM=6，☉O的半径为10，求弦CD的长。
(2)(6分)过点A作AN⊥BD，交CD于点F，求证：CE=EF。
第2课时　垂径定理的推论 分值：69分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.下列命题中，假命题是( )
A.平分弦的直径垂直于弦
B.垂直平分弦的直线必经过圆心
C.垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧
D.平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦
2.如图，OA，OB，OC都是☉O的半径，AC，OB相交于点D。若AD=CD=8，OD=6，则BD的长为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
第2题图　 　第3题图
3.如图，在☉O中，AB是直径，CD是弦，，则下列结论中，不一定成立的是( )
A.AB⊥CD B.CM=DM
C.AC=CD D.∠C=∠D
4.“老碗面”是我国北方一些地区的家常美食。图2是从正面看到的一个“老碗”(图1)的形状示意图。是☉O的一部分，D是的中点，连结OD，与弦AB相交于点C，连结OA，OB。已知AB=24 cm，碗深CD=8 cm，则☉O的半径OA为( )
A.13 cm B.16 cm
C.17 cm D.26 cm
5.(8分)利用本节所学的知识，填写你认为正确的结论：如图，在☉O中，AB是弦(不是直径)。
(1)(2分)若AB⊥MN，MN为直径，则 。
(2)(2分)若AC=BC，MN为直径，则 。
(3)(2分)若MN⊥AB，AC=BC，则 。
(4)(2分)若，MN为直径，则 。
6.(3分)如图，AB是☉O的直径，DM垂直平分弦AC，垂足为D。若AB=13，BC=5，则MD的长为 。
第6题图　 　
7.(6分)如图，☉O的两条弦AB∥CD(AB不是直径)，E为AB的中点，连结EC，ED。
(1)(3分)直线EO与AB垂直吗？请说明理由。
(2)(3分)求证：EC=ED。
第7题图　 　
8.(8分)如图，在☉O中，M，N分别为弦AB，CD的中点，AB=CD，AB不平行于CD。求证：∠AMN=∠CNM。
第8题图　 　
9.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，O是这段弧所在圆的圆心，AB=40 m，C是的中点，D是AB的中点，且CD=10 m，则这段弯路所在圆的半径为( )
A.24 m B.25 m
C.30 m D.60 m
第9题图　　 　
10.(3分)如图，M是CD的中点，EM⊥CD于点M。若CD=4，EM=8，则所在的圆的半径为 。
第10题图　　
11.(8分)如图，AB是☉O的直径，C是☉O上的一点。
(1)(4分)实践与操作：在上求作点P，使得P为的中点(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母)。
(2)(4分)推理与计算：已知P为的中点，连结AP，AC，若AP=，AC=6，求☉O的半径。
12.(8分)如图所示，某地欲搭建一座圆弧形拱桥，跨度AB=32米，拱高CD=8米(C为AB的中点，D为的中点)。现要在距离桥的一端4米处立一桥墩EF，求桥墩的高度。
第12题图
13.(10分)[应用意识]如图，隧道的截面由和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12 m、宽AB为3 m，隧道的顶端E(的中点)高出道路(BC)7 m。
(1)(5分)求所在圆的半径。
(2)(5分)如果隧道内设双行道，现有一辆运输特殊物品的车辆，车辆高6.5 m、宽2.3 m，那么该车辆能否通过隧道？

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