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3.4　圆周角 第1课时　圆周角定理 分值：70分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.如图，点A，B，C在☉O上，∠AOB=100°，∠C的度数是( )
A.40° B.50°
C.80° D.100°
第1题图 第2题图
2.如图，点A，B，C在☉O上，AC⊥OB，垂足为D，连结OC，AB。若∠A=35°，则∠C的度数是( )
A.20° B.25°
C.30° D.35°
3.如图，已知CD为☉O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA。若∠D的度数为50°，则∠C的度数为( )
A.25° B.30°
C.40° D.50°
4.如图，AB是☉O的直径，AB=6，若∠CDB=60°，则AC的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.
第4题图　 　
5.如图，在☉O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上。若∠ABC=19°，则∠BAC的度数为( )
A.23° B.24°
C.25° D.26°
第5题图　　
6.(3分)如图，BC是☉O的弦，连结OB，OC，∠A是所对的圆周角，则∠A与∠OBC的和是 °。
7.(3分)如图，AB是☉O的直径，位于AB两侧的点C，D均在☉O上，连结AD，CD，OC，若∠BOC=30°，则∠ADC= °。
8.(3分)如图，等腰三角形ABC的顶角∠BAC为40°，以腰AB为直径作半圆，分别交BC，AC于点D，E，则∠CBE= °。
9.(8分)如图，△ABC内接于☉O，AC为☉O的直径，D为☉O上一点，点D，B分别位于直径AC的两侧，∠ADB=45°。
(1)(4分)试判断△ABC的形状，并给出证明。
(2)(4分)若AB=5，AD=6，求CD的长。
第9题图
10.如图，OA，OB，OC都是☉O的半径，∠ACB=2∠BAC。若AB=4，BC=，则☉O的半径为( )
A. B.2 C. D.3
第10题图
11.(3分)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸。欲为方版，令厚七寸，问广几何？”其大意是：如图为一圆形木材，直径为25寸，要做成长方形板材(四边形ABCD是矩形)，使其厚度CD达到7寸，则宽BC为 寸。
12.(3分)如图，在☉O中，直径AB⊥CD于点E，连结CO并延长，交AD于点F。若CF⊥AD，则∠D的度数为 °。
13.(3分)如图，在平面直角坐标系中，☉P的圆心在x轴上，且经过点A(m，－3)和点B(－1，n)，点C在第一象限的圆弧上，若∠ACB=45°，则点P的坐标为 。
第13题图
14.(8分)已知：如图，OA是☉O的半径，以OA为直径的☉C与☉O的弦AB相交于点D，连结OD并延长交☉O于点E，连结AE。
(1)(4分)求证：AD=DB。
(2)(4分)若AO=10，DE=4，求AE的长。
15.(8分)如图，AB为☉O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连结AC，OC，BC。
(1)(4分)求证：∠BCO=∠ACD。
(2)(4分)若AE=4，BE=16，求弦CD的长。
16.(10分)[推理能力]如图，在平面直角坐标系中，点A(0，8)，B是x轴负半轴上的动点，以OA为直径作圆，交AB于点D，连结OD。
(1)(3分)求证：∠AOD=∠ABO。
(2)(3分)当∠ABO=30°时，求点D到y轴的距离。
(3)(4分)的最大值为 。
第16题图
第2课时　圆周角定理的推论 分值：70分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.下列命题中，属于假命题的是( )
A.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
B.相等的圆心角所对的弧相等
C.两条平行线间的距离处处相等
D.正方形的两条对角线互相垂直平分
2.如图，CD是☉O的直径，AB是弦，∠ADC=30°，则∠ABD的度数为( )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
第2题图 第3题图
3.如图，☉O的直径AB平分弦CD(CD不是直径)。若∠D=35°，则∠C的度数为( )
A.70° B.65°
C.60° D.55°
4.如图，在☉O中，B是的中点，弦BC∥AD，若∠CAD=32°，则∠ABC的度数为( )
A.148° B.135°
C.120° D.116°
第4题图 第5题图
5.如图，AB是☉O的弦，C是的中点，连结OC，D是优弧AB上一点，连结BD，CD。若∠D=27°，则∠OAC的度数为( )
A.63° B.54°
C.53° D.36°
6.(3分)如图，AC，BD是☉O的两条相交弦，∠ACB=∠CDB，若AB=2，则BC的长为 。
7.(3分)如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4= °。
第7题图
8.(6分)如图，在☉O中，AB是☉O的直径，AB=，AC=BC，∠ODC=15°，求BD的长。
9.(8分)如图，AB，AC是☉O的弦，AD⊥BC于点D，交☉O于点F，AE是☉O的直径，试判断弦BE与弦CF的长的大小关系，并说明理由。
10.如图，A，B，C为圆形纸片圆周上三点，其中AC为直径，将纸片沿弦AB向右折叠，与AC相交于点D，若的度数为100°，则∠BAC的度数为( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
11.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，BC=16。若点B，C在☉O上，边AB，AC分别交☉O于D，E两点，B是的中点，则∠ABE= °，☉O的半径为 。
第11题图　　
12.(3分)如图，△ABC内接于☉O，∠A=30°，∠B=45°，CD⊥AB于点D。若☉O的半径为2，则CD的长为 。
第12题图　　
13.(8分)如图，以△ABE的边AB为直径作半圆O，分别交AE，BE于D，C两点，连结DC。若C是的中点，求证：CE=CD。
第13题图
14.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作☉O，交BC边于点D，交CA的延长线于点E，连结AD，DE。
(1)(4分)求证：BD=CD。
(2)(4分)若AB=5，DE=4，求AD的长。
15.(10分)[推理能力]如图1，AB为☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，延长AG，DC，两者相交于点F，连结AD，GD，GD与AB相交于点H。
(1)(5分)若∠BAD=α，用含α的代数式表示∠AGD。
(2)(5分)如图2，连结AC，CG，若AC⊥GD，求证：DH=CG。3.4　圆周角 第1课时　圆周角定理 分值：70分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.如图，点A，B，C在☉O上，∠AOB=100°，∠C的度数是(　B　)
A.40° B.50°
C.80° D.100°
第1题图 第2题图
2.如图，点A，B，C在☉O上，AC⊥OB，垂足为D，连结OC，AB。若∠A=35°，则∠C的度数是(　A　)
A.20° B.25°
C.30° D.35°
【解析】 ∵∠A=35°，
∴∠O=2∠A=70°。
∵AC⊥OB，∴∠CDO=90°，
∴∠C=90°－∠O=20°。
3.如图，已知CD为☉O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA。若∠D的度数为50°，则∠C的度数为(　A　)
A.25° B.30°
C.40° D.50°
【解析】 ∵DE∥OA，
∴∠AOD=∠D=50°，
∴∠C=∠AOD=25°。
4.如图，AB是☉O的直径，AB=6，若∠CDB=60°，则AC的长为(　B　)
A.2 B.3 C.4 D.
第4题图　 　第4题答图
【解析】 如答图，连结OC，则∠COB=2∠CDB=120°，
∴∠AOC=180°－∠COB=60°。
又∵AO=CO，∴△AOC是等边三角形，
∴AC=AO=AB=3。
5.如图，在☉O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上。若∠ABC=19°，则∠BAC的度数为(　D　)
A.23° B.24°
C.25° D.26°
第5题图　　 第5题答图
【解析】 如答图，连结OC。
∵∠ABC=19°，∴∠AOC=2∠ABC=38°。
∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，
∴∠BOC=52°，
∴∠BAC=∠BOC=26°。
6.(3分)如图，BC是☉O的弦，连结OB，OC，∠A是所对的圆周角，则∠A与∠OBC的和是　90　°。
7.(3分)如图，AB是☉O的直径，位于AB两侧的点C，D均在☉O上，连结AD，CD，OC，若∠BOC=30°，则∠ADC=　75　°。
【解析】 ∵∠BOC=30°，
∴∠AOC=180°－∠BOC=150°，
∴∠ADC=∠AOC=75°。
8.(3分)如图，等腰三角形ABC的顶角∠BAC为40°，以腰AB为直径作半圆，分别交BC，AC于点D，E，则∠CBE=　20　°。
【解析】 ∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ABC=70°。
∵AB为半圆的直径，
∴∠AEB=90°，∴∠ABE=90°－∠BAC=50°，
∴∠CBE=70°－50°=20°。
9.(8分)如图，△ABC内接于☉O，AC为☉O的直径，D为☉O上一点，点D，B分别位于直径AC的两侧，∠ADB=45°。
(1)(4分)试判断△ABC的形状，并给出证明。
(2)(4分)若AB=5，AD=6，求CD的长。
第9题图 第9题答图
解：(1)△ABC是等腰直角三角形。证明如下：
如答图，连结OB。
∵AC为☉O的直径，
∴∠ADC=∠ABC=90°。
∵∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，
∴∠BOC=90°，∴AB=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形。
(2)∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=5，
∴AC==10，
∴在Rt△ADC中，CD==8。
10.如图，OA，OB，OC都是☉O的半径，∠ACB=2∠BAC。若AB=4，BC=，则☉O的半径为(　C　)
A. B.2 C. D.3
第10题图 第10题答图
【解析】 ∵∠BOC=2∠BAC，∠ACB=2∠BAC，
∴∠BOC=∠ACB。
又∵∠AOB=2∠ACB，
∴∠AOB=2∠BOC。
如答图，过点O作半径OD⊥AB于点E，连结BD，
则AE=BE，∠AOB=2∠DOB，
∴∠DOB=∠BOC，∴BD=BC。
又∵AB=4，BC=，
∴BE=2，DB=，
∴在Rt△BDE 中，DE==1，
∴在Rt△BOE中，OB2=(OB－1)2＋22，
解得OB=，
即☉O的半径为。
11.(3分)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸。欲为方版，令厚七寸，问广几何？”其大意是：如图为一圆形木材，直径为25寸，要做成长方形板材(四边形ABCD是矩形)，使其厚度CD达到7寸，则宽BC为　24　寸。
【解析】 连结BD。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴BD为☉O的直径，BD=25寸。
在Rt△BCD中，BC==24寸，
∴宽BC为24寸。
12.(3分)如图，在☉O中，直径AB⊥CD于点E，连结CO并延长，交AD于点F。若CF⊥AD，则∠D的度数为　60　°。
【解析】 ∠EOF=∠AOC=2∠D，
在四边形OEDF中，易知∠D＋∠EOF=360°－90°－90°=180°，
∴3∠D=180°，
∴∠D=60°。
13.(3分)如图，在平面直角坐标系中，☉P的圆心在x轴上，且经过点A(m，－3)和点B(－1，n)，点C在第一象限的圆弧上，若∠ACB=45°，则点P的坐标为　(2，0)　。
第13题图 第13题答图
【解析】 如答图，连结AP，BP，过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F。
∵点A(m，－3)和点B(－1，n)，
∴OE=1，AF=3，∴点E(－1，0)。
∵∠ACB=45°，∴∠APB=90°，
∴∠BPE＋∠APF=90°。
又∵∠BPE＋∠EBP=90°，
∴∠APF=∠EBP。
又∵∠AFP=∠BEP=90°，AP=BP，
∴△PFA≌△BEP(AAS)，
∴PE=AF=3，
∴点P(2，0)。
14.(8分)已知：如图，OA是☉O的半径，以OA为直径的☉C与☉O的弦AB相交于点D，连结OD并延长交☉O于点E，连结AE。
(1)(4分)求证：AD=DB。
(2)(4分)若AO=10，DE=4，求AE的长。
解：(1)∵在☉C中，OA是直径，
∴∠ADO=90°，即OD⊥AB，
∴在☉O中，AD=BD。
(2)∵AO=EO=10，DE=4，
∴OD=6。
又∵∠ADO=90°，
∴AD==8。
在Rt△ADE中，AE==4。
15.(8分)如图，AB为☉O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连结AC，OC，BC。
(1)(4分)求证：∠BCO=∠ACD。
(2)(4分)若AE=4，BE=16，求弦CD的长。
解：(1)∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，∴∠A＋∠B=90°。
∵AB⊥CD，
∴∠A＋∠ACE=90°，
∴∠B=∠ACE。
∵OB=OC，∴∠B=∠BCO，
∴∠BCO=∠ACD。
(2)∵AE=4，BE=16，∴AB=20，
∴OA=OC=10，
∴OE=OA－AE=6。
在Rt△OCE中，CE==8。
∵AB⊥CD，∴CE=DE，
∴CD=2CE=16。
16.(10分)[推理能力]如图，在平面直角坐标系中，点A(0，8)，B是x轴负半轴上的动点，以OA为直径作圆，交AB于点D，连结OD。
(1)(3分)求证：∠AOD=∠ABO。
(2)(3分)当∠ABO=30°时，求点D到y轴的距离。
(3)(4分)的最大值为 　。
第16题图 第16题答图
解：(1)∵OA为直径，
∴∠ADO=90°，
∴∠AOD＋∠OAD=90°。
又∵∠ABO＋∠OAB=90°，
∴∠AOD=∠ABO。
(2)如答图，过点D作DH⊥OA于点H。
由(1)，得∠AOD=∠ABO=30°，又易知OA=8，
∴AD=OA=4，OD=AD=4，
∴DH=OD=2，
即点D到y轴的距离为2。
(3)如答图，取AB的中点P，连结OP，则AB=2OP，
∴。
∵OD⊥AB，∴当OP最短，即OP=OD时，的值最大，为1，
∴的最大值为。
第2课时　圆周角定理的推论 分值：70分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.下列命题中，属于假命题的是(　B　)
A.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
B.相等的圆心角所对的弧相等
C.两条平行线间的距离处处相等
D.正方形的两条对角线互相垂直平分
【解析】 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B是假命题。A，C，D是真命题。
2.如图，CD是☉O的直径，AB是弦，∠ADC=30°，则∠ABD的度数为(　C　)
A.30° B.45°
C.60° D.75°
第2题图 第3题图
3.如图，☉O的直径AB平分弦CD(CD不是直径)。若∠D=35°，则∠C的度数为(　D　)
A.70° B.65°
C.60° D.55°
【解析】 设AB与CD相交于点E。
∵☉O的直径AB平分弦CD(CD不是直径)，
∴AB⊥CD，∴∠DEB=90°。
∵∠D=35°，∴∠B=90°－∠D=55°，
∴∠C=∠B=55°。
4.如图，在☉O中，B是的中点，弦BC∥AD，若∠CAD=32°，则∠ABC的度数为(　D　)
A.148° B.135°
C.120° D.116°
【解析】 ∵，∴∠BAC=∠BCA。
∵BC∥AD，∴∠BCA=∠CAD=32°，
∴∠BAC=∠BCA=32°，
∴∠ABC=180°－∠BAC－∠BCA=116°。
第4题图 第5题图
5.如图，AB是☉O的弦，C是的中点，连结OC，D是优弧AB上一点，连结BD，CD。若∠D=27°，则∠OAC的度数为(　A　)
A.63° B.54°
C.53° D.36°
【解析】 ∵∠D=27°，
∴∠CAB=27°。
∵C是的中点，∴OC⊥AB，
∴∠ACO=90°－∠CAB=63°。
又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=63°。
6.(3分)如图，AC，BD是☉O的两条相交弦，∠ACB=∠CDB，若AB=2，则BC的长为　2　。
【解析】 ∵∠ACB=∠CDB，
∴，
∴BC=AB=2。
7.(3分)如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4=　90　°。
第7题图 第7题答图
【解析】 如答图所示标注点，连结CE，CF，CB。
∵AB是直径，∴∠ACB=90°。
易知∠2=∠DCE， ∠3=∠ECF， ∠4=∠FCB，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4=∠ACB=90°。
8.(6分)如图，在☉O中，AB是☉O的直径，AB=，AC=BC，∠ODC=15°，求BD的长。
解：∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB=90°。
又∵AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠BDC=45°，
∴∠ODB=∠ODC＋∠BDC=60°。
又∵OD=OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴BD=OB=AB=。
9.(8分)如图，AB，AC是☉O的弦，AD⊥BC于点D，交☉O于点F，AE是☉O的直径，试判断弦BE与弦CF的长的大小关系，并说明理由。
解：BE=CF。理由如下：
∵AE为☉O的直径，AD⊥BC，
∴∠ABE=∠ADC=90°。
又∵∠AEB=∠ACB，
∴∠BAE=∠CAF，∴，
∴BE=CF。
10.如图，A，B，C为圆形纸片圆周上三点，其中AC为直径，将纸片沿弦AB向右折叠，与AC相交于点D，若的度数为100°，则∠BAC的度数为(　B　)
A.15° B.20° C.25° D.30°
【解析】 方法一：如答图1，设点D折叠前在点M的位置。
第10题答图1
由折叠的性质，得，∠BAC=∠MAB，
∴。
∵AC是圆的直径，
∴的度数为180°，
∴的度数为40°，
∴∠BAC=20°。
方法二：如答图2，连结BD，BC。
第10题答图2
∵的度数为100°，
∴∠ABD=50°。
∵AC是直径，∴∠ABC=90°，
∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=40°。
∵所对的圆周角为∠BAD，所对的圆周角也为∠BAD，和所在的圆是等圆，
∴，∴BD=BC，
∴∠C=(180°－∠DBC)=70°，
∴∠BAC=90°－∠C=20°。
11.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，BC=16。若点B，C在☉O上，边AB，AC分别交☉O于D，E两点，B是的中点，则∠ABE=　13　°，☉O的半径为　8　。
第11题图　　 第11题答图
【解析】 如答图，连结DC。
∵B是的中点，∴，
∴BC=BD。
∵∠DBC=90°，
∴∠BCD=∠BDC=45°，DC是☉O的直径，
∴∠ACD=∠BDC－∠A=13°，DC=BC=16，
∴∠ABE=∠ACD=13°，☉O的半径为8。
12.(3分)如图，△ABC内接于☉O，∠A=30°，∠B=45°，CD⊥AB于点D。若☉O的半径为2，则CD的长为 　。
第12题图　　 第12题答图
【解析】 如答图，连结CO并延长，交☉O于点E，连结BE，
则∠E=∠A=30°，∠EBC=90°。
又∵☉O的半径为2，∴CE=4，
∴BC=CE=2。
∵CD⊥AB，∠CBA=45°，
∴CD=BC=。
13.(8分)如图，以△ABE的边AB为直径作半圆O，分别交AE，BE于D，C两点，连结DC。若C是的中点，求证：CE=CD。
第13题图 第13题答图
证明：如答图，连结AC。
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ACE=90°。
∵C是的中点，
∴∠CAE=∠CAB，CD=CB。
又∵AC=AC，
∴△ACE≌△ACB(ASA)，
∴CE=CB，∴CE=CD。
14.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作☉O，交BC边于点D，交CA的延长线于点E，连结AD，DE。
(1)(4分)求证：BD=CD。
(2)(4分)若AB=5，DE=4，求AD的长。
解：(1)∵AB是☉O的直径，
∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD。
又∵AB=AC，∴BD=CD。
(2)∵AB=5，DE=4，
∴AB=AC=5，∴∠B=∠C。
又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C，
∴DE=DC=4。
∵AD⊥BD，∴∠ADC=90°，
∴AD==3。
15.(10分)[推理能力]如图1，AB为☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，延长AG，DC，两者相交于点F，连结AD，GD，GD与AB相交于点H。
(1)(5分)若∠BAD=α，用含α的代数式表示∠AGD。
(2)(5分)如图2，连结AC，CG，若AC⊥GD，求证：DH=CG。
解：(1)∵直径AB⊥CD，∴，
∴∠AGD=∠ADC。
∵∠BAD=α，
∴∠AGD=∠ADC=90°－α。
(2)设∠BAD=α，易知∠GAC=90°－∠AGD=α，
∴∠GAC=∠BAD。
∵，∴AC=AD。
又∵∠ACG=∠ADH，
∴△AGC≌△AHD(ASA)，
∴DH=CG。

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