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3.5　圆内接四边形 分值：75分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.四边形ABCD内接于☉O，∠A=60°，∠B=80°，则∠C的度数为( )
A.60° B.80° C.100° D.120°
2.若四边形ABCD是圆内接四边形，则它的内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比可能为( )
A.3∶1∶2∶5 B.1∶2∶2∶3
C.2∶7∶3∶6 D.1∶2∶4∶3
3.如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，BD是对角线，∠ABD=40°，则∠C的度数是( )
A.50° B.60° C.80° D.100°
4.如果圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形ABCD一定是( )
A.一般的平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
5.如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠BOD=130°，则∠ECD的度数是( )
A.50° B.55° C.65° D.70°
6.(3分)如图，点A，B，C在☉O上，∠B=90°，在上取一点D，则∠D的度数是 °。
7.(3分)如图，四边形ABCD内接于☉O，若四边形OABC是菱形，则∠D= °。
8.(3分)如图，在☉O中，点A在上，∠BOC=100°，则∠BAC= °。
第8题图　　
9.(6分)如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线相交于点P，∠P=30°，∠ABC=100°，求∠C的度数。
10.(8分)如图，四边形ABCD内接于☉O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E。
(1)(4分)若∠BAC=40°，则∠ADC= °；∠DAC= °。
(2)(4分)求证：∠BAC=2∠DAC。
11.如图，四边形ABCD内接于☉O，BC∥AD，AC⊥BD。若∠AOD=120°，OA=，则∠CAO的度数与BC的长分别为( )
A.10°， B.10°，1
C.15°， D.15°，1
第11题图
12.(3分)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠BCD=135°，☉O的半径为5，则BD的长为 。
第12题图
13.(3分)如图，△BCD内接于☉O，把向圆内翻折，A是翻折后劣弧CD上的一点，若∠CAD=100°，则∠BCA＋∠BDA= °。
14.(8分)如图，☉O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F。
(1)(4分)若∠E=∠F，求证：∠ADC=∠ABC。
(2)(4分)若∠E=40°，∠F=42°，求∠A的度数。
第14题图
15.(10分)如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长BA至点F，使AF=AD=5，延长AD至点E，使EF∥BC。
(1)(4分)求证：∠ADC=∠F。
(2)(6分)若∠ACD=∠EAF，求BF的长。
16.(10分)[推理能力]如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上的一点，AG，DC的延长线相交于点F。
(1)(4分)求证：∠FGC=∠AGD。
(2)(6分)若GD平分∠AGC，∠ADG=45°，AF=，求弦DC的长。
第16题图　　3.5　圆内接四边形 分值：75分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.四边形ABCD内接于☉O，∠A=60°，∠B=80°，则∠C的度数为(　D　)
A.60° B.80° C.100° D.120°
2.若四边形ABCD是圆内接四边形，则它的内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比可能为(　D　)
A.3∶1∶2∶5 B.1∶2∶2∶3
C.2∶7∶3∶6 D.1∶2∶4∶3
3.如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，BD是对角线，∠ABD=40°，则∠C的度数是(　C　)
A.50° B.60° C.80° D.100°
【解析】 ∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=40°，
∴∠BAD=180°－∠ABD－∠ADB=100°，
∴∠C=180°－∠BAD=80°。
4.如果圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形ABCD一定是(　B　)
A.一般的平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
【解析】 若圆的内接四边形的对角线的交点是圆心，
则两条对角线都是圆的直径，
∴四边形的两条对角线相等。
又∵圆心把两条直径都平分，
∴该四边形是对角线相等且互相平分的四边形，即矩形。
5.如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠BOD=130°，则∠ECD的度数是(　C　)
A.50° B.55° C.65° D.70°
6.(3分)如图，点A，B，C在☉O上，∠B=90°，在上取一点D，则∠D的度数是　90　°。
7.(3分)如图，四边形ABCD内接于☉O，若四边形OABC是菱形，则∠D=　60　°。
【解析】 ∵四边形ABCD内接于☉O，
∴∠B＋∠D=180°。
∵四边形OABC是菱形，
∴∠B=∠AOC，
∴∠AOC＋∠D=180°。
又∵∠AOC=2∠D，
∴∠D=60°。
8.(3分)如图，在☉O中，点A在上，∠BOC=100°，则∠BAC=　130　°。
第8题图　　 第8题答图
【解析】 如答图，在优弧BC上取点D，连结CD，BD，则∠CDB=∠BOC=50°，
∴∠CAB=180°－∠CDB=130°。
9.(6分)如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线相交于点P，∠P=30°，∠ABC=100°，求∠C的度数。
解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠D=180°－∠ABC=80°，
∴在△PCD中，∠C=180°－∠P－∠D=70°。
10.(8分)如图，四边形ABCD内接于☉O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E。
(1)(4分)若∠BAC=40°，则∠ADC=　110　°；∠DAC=　20　°。
(2)(4分)求证：∠BAC=2∠DAC。
解：(1)∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠ADC=180°－∠ABC=180°－70°=110°。
∵AC⊥BD，∴∠CBD=90°－∠ACB=20°，
∴∠DAC=∠DBC=20°。
(2)∵BD⊥AC，∴∠AEB=∠BEC=90°，
∴∠ACB=90°－∠CBD。
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=90°－∠CBD，
∴∠BAC=180°－2∠ABC=2∠CBD。
又∵∠DAC=∠CBD，
∴∠BAC=2∠DAC。
11.如图，四边形ABCD内接于☉O，BC∥AD，AC⊥BD。若∠AOD=120°，OA=，则∠CAO的度数与BC的长分别为(　C　)
A.10°， B.10°，1
C.15°， D.15°，1
第11题图 第11题答图
【解析】 如答图，设AC与BD的交点为E，连结OB，OC。
∵BC∥AD，∴∠DBC=∠ADB，
∴，
∴∠AOB=∠COD，∠CAD=∠BDA。
∵DB⊥AC，∴∠AED=90°，
∴∠CAD=∠BDA=45°，
∴∠AOB=∠COD=2∠CAD=90°。
又∵∠AOD=120°，OA=OD，
∴∠BOC=360°－90°－90°－120°=60°，∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠CAO=∠CAD－∠OAD=15°。
∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=OA=。
12.(3分)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠BCD=135°，☉O的半径为5，则BD的长为　5　。
第12题图 第12题答图
【解析】 如答图，作直径DE，连结BE，
则∠A=∠E，∠EBD=90°。
∵四边形ABCD内接于☉O，
∴∠A＋∠BCD=180°。
又∵∠BCD=135°，
∴∠A=45°，∴∠E=45°。
∵☉O的半径为5，∴DE=10，
∴易知BD=DE=5。
13.(3分)如图，△BCD内接于☉O，把向圆内翻折，A是翻折后劣弧CD上的一点，若∠CAD=100°，则∠BCA＋∠BDA=　20　°。
【解析】 如答图，作点A关于CD的对称点A'，则点A'在☉O上，
第13题答图
∴∠A'=∠CAD=100°，
∴∠B=180°－∠A'=80°，
∴∠BCD＋∠BDC=180°－∠B=100°。
∵∠CAD=100°，
∴∠ACD＋∠ADC=180°－∠CAD=80°，
∴∠BCA＋∠BDA=(∠BCD＋∠BDC)－(∠ACD＋∠ADC)=100°－80°=20°。
14.(8分)如图，☉O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F。
(1)(4分)若∠E=∠F，求证：∠ADC=∠ABC。
(2)(4分)若∠E=40°，∠F=42°，求∠A的度数。
第14题图 第14题答图
解：(1)∵∠ADC=∠E＋∠ECD，∠ABC=∠F＋∠FCB。
而∠E=∠F，∠ECD=∠FCB，
∴∠ADC=∠ABC。
(2)如答图，连结EF，并标注∠1和∠2。
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠ECD=∠A。
∵∠ECD=∠1＋∠2，∴∠A=∠1＋∠2。
∵∠A＋∠1＋∠2＋∠AEB＋∠AFD=180°，
∴2∠A＋∠AEB＋∠AFD=180°。
又∵∠AEB=40°，∠AFD=42°，
∴2∠A=98°，
∴∠A=49°。
15.(10分)如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长BA至点F，使AF=AD=5，延长AD至点E，使EF∥BC。
(1)(4分)求证：∠ADC=∠F。
(2)(6分)若∠ACD=∠EAF，求BF的长。
解：(1)∵EF∥BC，∴∠F＋∠ABC=180°。
又∵∠ADC＋∠ABC=180°，
∴∠ADC=∠F。
(2)∵∠ACD=∠EAF=(180°－∠DAB)=∠DCB，
∴∠ACB=∠ACD，
∴AB=AD=5。
又∵AF=5，∴BF=AF＋AB=10。
16.(10分)[推理能力]如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上的一点，AG，DC的延长线相交于点F。
(1)(4分)求证：∠FGC=∠AGD。
(2)(6分)若GD平分∠AGC，∠ADG=45°，AF=，求弦DC的长。
第16题图　　 第16题答图
解：(1)如答图，连结AC。
∵AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，
∴，
∴AD=AC，∠ADC=∠AGD。
∵四边形ADCG内接于☉O，
∴易证∠FGC=∠ADC，
∴∠FGC=∠AGD。
(2)如答图，连结BG。
∵AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，
∴DE=CE。
∵GD平分∠AGC，
∴∠AGD=∠CGD。
又∵∠FGC=∠AGD，
∴∠CGD=∠AGD=∠FGC。
又∵∠AGD＋∠CGD＋∠FGC=180°，
∴∠FGC=∠AGD=60°，
∴∠ADC=∠ACD=∠AGD=60°，
∴△ADC是等边三角形。
又∵AB⊥CD，∴∠CAE=∠DAE=30°。
∵∠ADG=45°，
∴∠CAG=∠CDG=∠ADC－∠ADG=15°，
∴∠EAF=∠CAE＋∠CAG=45°。
又∵AF=，
∴在Rt△AEF中，AE=EF=AF=。
在Rt△ADE中，∵∠DAE=30°，
∴DE=AE=1，
∴DC=2DE=2。

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