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3.6　正多边形
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.如图，佩佩在某古城研学时学习一种非物质文化遗产——扎染技术，得到一个内角和为1 080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为(　C　)
A.36° B.40° C.45° D.60°
【解析】 设这个正多边形的边数为n。
由题意，得(n－2)·180°=1 080°，
解得n=8，则360°÷8=45°，
即这个正多边形的每个外角为45°。
2.如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β的结果为(　B　)
A.140° B.150° C.160° D.170°
第2题图 第2题答图
【解析】 如答图所示标注角。
正六边形的每个内角为=120°，正方形的每个内角为90°。
∵四边形的内角和是360°，
∴∠1＋∠2=360°－120°－90°=150°。
又∵α=∠1，β=∠2，∴α＋β=150°。
3.一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为(　C　)
A.3∶2 B.1∶
C.1∶
【解析】 设此圆的半径为r，则易知它的内接正六边形的边长为r，内接正方形的边长为r，
故内接正六边形与内接正方形的边长之比为r∶r=1∶。
4.如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，点P在上，Q是的中点，则∠CPQ的度数为(　C　)
A.30° B.36° C.45° D.60°
第4题图　　 第4题答图
【解析】 如答图，连结OC，OD，OQ，OE。
∵六边形ABCDEF是正六边形，Q是的中点，
∴∠COD=∠DOE==60°，
∴∠DOQ=∠EOQ=∠DOE=30°，
∴∠COQ=∠COD＋∠DOQ=90°，
∴∠CPQ=∠COQ=45°。
5.(3分)如果一个多边形的每一个外角都是40°，那么这个多边形的边数为　9　。
6.(3分)正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为　2　。
【解析】 如答图，连结AC。
第6题答图
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB=BC=CD=1，∠ABC=∠BCD=∠CDE=×(6－2)×180°=120°，
∴∠BCA=∠BAC=30°，
∴∠ACD=120°－30°=90°。
∵正六边形为轴对称图形，
∴∠CDA=∠CDE=60°，
∴∠CAD=30°，∴AD=2CD=2。
7.(3分)如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连结AC，BD，AC与BD相交于点M，则∠AMB=　45　° 。
　
第7题图　 第7题答图
【解析】 如答图，设正八边形的中心为点O，连结OA，OB，OC，OD。
∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠AOB=∠COD==45°，
∴∠AMB=∠ACB＋∠CBD=∠AOB＋∠COD=45°。
8.(6分)如图，已知☉O的周长为6π cm，求它的内接正六边形ABCDEF的面积。
第8题图　　 第8题答图
解：如答图，过点O作OH⊥AB于点H，连结OA，OB。
∵☉O的周长为6π cm，
∴☉O的半径==3 cm。
∵∠AOB=×360°=60°，
OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=3 cm。
又∵OH⊥AB，
∴AH=AB= cm，
∴OH= cm，
∴S正六边形ABCDEF=6S△OAB=6××3×(cm2)。
9.(8分)如图是正五边形ABCDE，连结对角线AC，BD，设AC与BD相交于点O。
(1)(4分)求证：AO=CD。
(2)(4分)求∠AOD的度数。
解：(1)∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=108°，
∴∠CBD=∠BAO=(180°－108°)=36°，
∴∠ABO=∠ABC －∠CBD =72°，
∴∠AOB=180°－∠ABO －∠BAO =72°=∠ABO，
∴AB=AO，∴CD=AO。
(2)由(1)，得∠AOB=72°，
∴∠AOD=180°－∠AOB=108°。
10.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到的圆周率π的近似值为3.141 6。如图，☉O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计☉O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为(　C　)
A. B.2 C.3 D.2
第10题图 第10题答图
【解析】 如答图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，过点A作AM⊥OB于点M。
∵在正十二边形中，∠AOB=360°÷12=30°，
∴AM=OA=，
∴S△AOB=OB·AM=×1×，
∴正十二边形的面积为12×=3，
∴3=12×π，∴π=3，
即π的估计值为3。
11.(3分)如图，六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则=　2　。
第11题图 第11题答图
【解析】 如答图，连结OA，OC，OE。
∵六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形，
∴AC=AE=CE，
∴△ACE是☉O的内接正三角形。
∵∠B=120°，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=(180°－∠B)=30°。
∵∠CAE=60°，
∴∠OAC=∠OAE=30°，
∴∠BAC=∠OAC。
同理，∠BCA=∠OCA=30°。
又∵AC=AC，
∴△BAC≌△OAC(ASA)，
∴S△BAC=S△OAC。
同理， S△AFE=S△AOE，S△OCE=S△DCE，
∴=2。
12.(3分)如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，M是边CD的中点，连结AM。若☉O的半径为2，则AM的长为 　。
第12题图 第12题答图
【解析】 如答图，连结AC，OB，两者相交于点H。
∵正六边形ABCDEF内接于☉O，OB=2，
∴AB=BC=CD=2，∠ABC=∠BCD=120°。
∴，∠BAC=∠BCA=30°。
∵M是CD的中点，∴CM=1。
易知OB⊥AC，BH=BC=1，∠ACM=∠BCD－∠BCA=90°，
∴AH=HC=，
∴AC=2，
∴AM=。
13.(8分)如图1的马家窑彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通。如图2，已知☉O和圆上一点M。作法如下：①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交☉O于A，B两点；②延长MO交☉O于点C，则点A，B，C将☉O的圆周三等分。
(1)(4分)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将☉O的圆周三等分(保留作图痕迹，不写作法)。
(2)(4分)根据(1)画出的图形，连结AB，AC，BC，若☉O的半径为2 cm，则△ABC的周长为　6　cm。
解：(1)如答图，点A，B，C即为所求。
第13题答图
(2)设CM交AB于点E。
∵，
∴AB=CB=AC，∠AOB=120°。
又由作图易知，
∴∠AOM=∠BOM=60°，OE⊥AB，AE=EB，
∴OE=OA=1 cm，
∴AE= cm，
∴AB=2 cm，
∴△ABC的周长为6 cm。
14.(10分)[推理能力](1)(5分)如图1，△ABC是☉O的内接正三角形，P为劣弧BC上一动点，连结PA，PB，PC。求证：PA=PB＋PC。
(2)(5分)如图2，四边形ABCD是☉O的内接正方形，P为劣弧BC上一动点，连结PA，PB，PC。求证：PA=PC＋PB。
图1　 　图2
证明：(1)如答图1，延长BP至点E，使PE=PC，连结CE。
∵A，B，P，C四点共圆，
∴∠BAC＋∠BPC=180°。
又∵∠BPC＋∠CPE=180°，
∴∠CPE=∠BAC=60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE=CP，∠E=∠PCE=60°，
∴∠BCE=60°＋∠BCP。
又易得∠ACP=60°＋∠BCP，BC=AC，
∴∠BCE=∠ACP。
在△BEC和△APC中，
∵
∴△BEC≌△APC(SAS)，
∴PA=BE=PB＋PE=PB＋PC。
图1　 图2
第14题答图
(2)如答图2，过点B作BE⊥PB，交PA于点E，连结OA，OB，并标注相应角。
∵∠1＋∠EBC=∠EBC＋∠2=90°，
∴∠1=∠2。
易知∠AOB=90°，∴∠APB=∠AOB=45°，
∴BP=BE，∴PE=PB。
在△ABE和△CBP中，
∵
∴△ABE≌△CBP(SAS)，
∴PC=EA，
∴PA=EA＋PE=PC＋PB。3.6　正多边形
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.如图，佩佩在某古城研学时学习一种非物质文化遗产——扎染技术，得到一个内角和为1 080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为( )
A.36° B.40° C.45° D.60°
2.如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β的结果为( )
A.140° B.150° C.160° D.170°
第2题图
3.一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为( )
A.3∶2 B.1∶
C.1∶
4.如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，点P在上，Q是的中点，则∠CPQ的度数为( )
A.30° B.36° C.45° D.60°
第4题图　　
5.(3分)如果一个多边形的每一个外角都是40°，那么这个多边形的边数为 。
6.(3分)正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为 。
7.(3分)如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连结AC，BD，AC与BD相交于点M，则∠AMB= ° 。
　
第7题图　
8.(6分)如图，已知☉O的周长为6π cm，求它的内接正六边形ABCDEF的面积。
第8题图　　
9.(8分)如图是正五边形ABCDE，连结对角线AC，BD，设AC与BD相交于点O。
(1)(4分)求证：AO=CD。
(2)(4分)求∠AOD的度数。
10.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到的圆周率π的近似值为3.141 6。如图，☉O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计☉O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为( )
A. B.2 C.3 D.2
第10题图
11.(3分)如图，六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则= 。
第11题图
12.(3分)如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，M是边CD的中点，连结AM。若☉O的半径为2，则AM的长为 。
第12题图
13.(8分)如图1的马家窑彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通。如图2，已知☉O和圆上一点M。作法如下：①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交☉O于A，B两点；②延长MO交☉O于点C，则点A，B，C将☉O的圆周三等分。
(1)(4分)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将☉O的圆周三等分(保留作图痕迹，不写作法)。
(2)(4分)根据(1)画出的图形，连结AB，AC，BC，若☉O的半径为2 cm，则△ABC的周长为 cm。
14.(10分)[推理能力](1)(5分)如图1，△ABC是☉O的内接正三角形，P为劣弧BC上一动点，连结PA，PB，PC。求证：PA=PB＋PC。
(2)(5分)如图2，四边形ABCD是☉O的内接正方形，P为劣弧BC上一动点，连结PA，PB，PC。求证：PA=PC＋PB。
图1　 　图2

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