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3.7　弧长及扇形的面积 第1课时　弧长公式
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2中的所示，已知圆弧的半径OA=20 cm，圆心角∠AOB=90°，则的长为(　B　)
图1　　　 图2
A.20π cm B.10π cm
C.5π cm D.2π cm
2.在☉O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm，那么☉O的半径是(　A　)
A.6 cm B.8 cm
C.10 cm D.12 cm
3.一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10 cm，OA是滑轮的一条半径，当OA绕轴心O按逆时针方向旋转180°时，重物上升的高度为(　B　)
A.10 cm B.10π cm
C.5 cm D.5π cm
【解析】 由题意得，重物上升的高度为=10π(cm)。
4.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1。若以点O为旋转中心，将△AOB按顺时针方向旋转90°得到△A'OB'，则点A运动的路径的长为(　B　)
A.π B.2π C.4π D.8π
【解析】 由题意得，点A运动的路径的长为=2π。
5.(3分)如图，△ABC是☉O的内接三角形，∠BAC=45°。若☉O的半径为2，则劣弧BC的长为　π　。
第5题图 第5题答图
【解析】 如答图，连结OB，OC。
∵∠BOC=2∠BAC=2×45°=90°，
∴劣弧BC的长为=π。
6.(3分)如图，四边形ABCD内接于☉O，☉O的半径为3，∠D=120°，则的长是　2π　。
【解析】 ∵四边形ABCD内接于☉O，∠D=120°，
∴∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
∴=2π。
7.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，AC=2。以点C为圆心，CA长为半径画弧，交AB于点D，则的长为 π　。
第7题图 第7题答图
【解析】 如答图，连结CD。
∵∠ACB=90°，∠B=20°，
∴∠CAB=90°－∠B=70°。
由题意，得AC=CD，
∴∠ACD=180°－2∠CAB=40°，
∴π。
8.(3分)如图，的半径OA=2，OC⊥AB于点C，∠AOC=60°，则
(1)(1.5分)弦AB的长为　2　。
(2)(1.5分)的长为 π　。
【解析】 (1)∵的半径OA=2，OC⊥AB，∠AOC=60°，
∴AC=OA=，
∴AB=2AC=2。
(2)∵OA=OB=2，OC⊥AB，∠AOC=60°，
∴∠AOB=2∠AOC=120°，
∴。
9.(8分)如图，AN是☉O的直径，四边形ABMN是矩形，BM与☉O相交于点E，G，AB=15，D是☉O上的点，DC⊥BM于点C，已知☉O的半径r=30。
(1)(4分)求BE的长。
(2)(4分)若BC=15，求的长。
第9题图 第9题答图
解：(1)如答图，连结OE，过点O作OF⊥BM于点F，则易知四边形ABFO是矩形，∴OF=AB=15。
在Rt△OEF中，EF==15，BF=AO=30，
∴BE=30－15。
(2)如答图，设OA，CD相交于点Q，连结OD。
在Rt△ODQ中，∵OD=30，易知OQ=30－15=15，
∴∠ODQ=30°，∴∠QOD=60°。
过点E作EH⊥AO于点H，在Rt△OEH中，
∵OE=30，EH=BA=15，
∴∠EOH=30°，
∴∠DOE=90°，
∴=15π。
10.如图，北京市某处A位于北纬40°(即∠AOC=40°)，东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°(即∠BOC=15°)，东经116°。设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为(　C　)
A.πR千米 B.πR千米
C.πR千米 D.πR千米
【解析】 ∵∠AOB=∠AOC－∠BOC=25°，
∴πR(千米)。
11.(3分)如图，一架摩天轮高128 m(即最高点离水平地面MN的距离为128 m)，圆心O到MN的距离为68 m，摩天轮匀速旋转一圈用时30 min。某轿厢从点A出发，10 min后到达点B，在此过程中，该轿厢所经过的路径(即)长为　40π　m。
12.(3分)铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素。如图是一个花瓣造型的花窗示意图，它由六条等弧连结而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的外心。若AB=2，则花窗的周长(图中实线部分的长度)=　8π　。
第12题图 第12题答图
【解析】 如答图，过点C作CM⊥AB于点M，则AM=BM=AB=。
∵六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，
∴∠AOB==60°。
又∵OA=OB，∴△AOB是正三角形。
∵点C是△AOB的外心，
∴∠ACB=2∠AOB=120°，
∴∠CAB=∠CBA=×(180°－∠ACB)=30°。
在Rt△ACM中，AM=，∠CAM=30°，
∴AC=AM=2，
∴的长为π，
∴花窗的周长为π×6=8π。
13.(8分)如图，在☉O中，弦AB与CD相交于点E，∠ACD=60°，给出下列信息：①∠ADC=50°；②AB是☉O的直径；③∠CEB=100°。
(1)(4分)请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论，组成一个命题。你选择的条件是　①②　，结论是　③(答案不唯一，任选两个作为条件，一个作为结论，命题均正确)　(填序号)。判断此命题的真假，并说明理由。
(2)(4分)在(1)的条件下，若AD=2，求的长。
第13题答图　 　第13题答图
解：(1)此命题是真命题。理由如下：
如答图，连结BC。
∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB=90°。
∵∠ABC=∠ADC=50°，
∴∠BAC=90°－∠ABC=40°，
∴∠CEB=∠BAC＋∠ACD=100°。
(2)如答图，连结OD，BD。
∵AB是☉O的直径，
∴∠ADB=90°。
又∵∠ABD=∠ACD=60°，
∴∠BAD=30°，∴AB=2BD。
在Rt△ADB中，AB2=AD2＋BD2，
∴(2BD)2=(2)2＋BD2，
解得BD=2(负值舍去)，
∴OA=AB=BD=2。
又∵∠AOD=2∠ABD=120°，
∴。
14.(10分)[应用意识]某校田径场的跑道内圈设计成如图1形状，每条直道长100米，弯道的设计考虑了人在奔跑时的习惯，运动员在通过弯道时的路径通常离开内侧弧线约0.30米。按此方式在第1道绕行一周的路程约为400米，且每条跑道宽1.20米。(共6条跑道，由内及外分别记为1道，2道……π取3.14，结果精确到0.01米)
(1)(5分)第1道的内侧弧线半径约为多少米？
(2)(5分)若打算在该径赛场地举行200米短跑决赛，终点设在CD延长线处，起点设在图1所示的右侧弯道处，且外圈跑道的起跑点在内圈跑道起跑点的前方。又如图2所示，第1，2，3道起跑线AE，FG，HK间，与弧长相等，试求的长，并推断图1所示的右侧弯道中，第1道内侧半圆弧长与第6道内侧半圆弧长相差多少米。
解：(1)设第1道内侧弧线的半径为r米，则运动员经过弯道时所经弧线的半径为(r＋0.3)米，
∴2π(r＋0.3)=400－2×100，
∴r＋0.3=，
∴r=－0.3≈31.55(米)，
即第1道的内侧弧线半径约为31.55米。
(2)∵每条跑道的宽都为1.2米，
∴相邻两跑道的内侧弧线半径相差1.2米。
又∵第1道的运动员通过一个完整的半圆形弯道，
∴=π(r＋1.2)－πr=1.2π≈3.77(米)，
即的弧长约为3.77米。
第1道内侧半圆弧长与第6道内侧半圆弧长相差1.2π×5≈18.84(米)。
第2课时　扇形的面积 分值：73分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.已知扇形的半径为6，圆心角的度数为150°，则它的面积为(　D　)
A.π B.3π C.5π D.15π
2.一个扇形的弧长是10π cm，其圆心角的度数是150°，此扇形的面积为(　B　)
A.30π cm2 B.60π cm2
C.120π cm2 D.180π cm2
【解析】 设扇形的半径为r(cm)，则l=，即10π=，解得r=12，∴S=rl=×12×10π=60π(cm2)。
3.工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积。如图，排污管道的横截面是直径为2 m的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面(图中阴影部分)宽AB为1 m，则淤泥的横截面面积为(　A　)
A.m2 B.m2
C.m2 D.m2
【解析】 由题意，得OA=OB=1 m，AB=1 m，
∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，
∴S阴影=S扇形AOB－S△OAB=×12=m2。
4.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是(　C　)
A.π－2 B.2π－2
C.2π－4 D.4π－4
【解析】 ∵在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴∠A=∠B=45°，
∴阴影部分的面积=S扇形CAE＋S扇形CBF－S△ABC=×2－×2×2=2π－4。
5.(3分)已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为　60　°。
6.(3分)如图，在3×3的网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，O，B，C是格点，则扇形BOC的面积为 π　。
【解析】 由题意，得∠BOC=90°，OB=OC=，
∴S扇形BOC=π。
7.(3分)图1是一块扇面形的砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形BOC和AOD有相同的圆心O，且圆心角∠O=100°。若OA=120 cm，OB=60 cm，则阴影部分的面积是　3 000π　cm2。
【解析】 S阴影=S扇形AOD－S扇形BOC==3 000π(cm2)。
8.(3分)如图，正方形ABCD的边长为4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是　16－4π　。
9.(6分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC=8，取AC的中点P，分别以点A和C为圆心，AP长为半径画弧，两弧恰好分别经过点D和点B，求图中阴影部分的面积。
解：由题意，得AD=AP=×8=4，
∴在Rt△ADC 中，CD==4，
∴S矩形ABCD=AD·CD=16。
∵两个扇形的面积之和为S=πAD2=8π，
∴S阴影=S矩形ABCD－S=16－8π。
10.(8分)如图1， ABCD内接于☉O。
(1)(4分)求证： ABCD是矩形。
(2)(4分)如图2，连结OA，OD，∠AOD=90°，AD=8，求阴影部分的面积。
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C。
又∵ ABCD内接于☉O，
∴∠A＋∠C=180°，∴∠A=∠C=90°，
∴ ABCD是矩形。
(2)∵OA=OD，∠AOD=90°，
∴△AOD是等腰直角三角形。
又∵AD=8，∴OA=OD=4，
∴S△OAD=×4×4=16，S扇形AOD==8π，
∴S阴影=8π－16。
11.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别相交于点D，E。若BC=4，则图中阴影部分的面积为(　D　)
A.2π－4 B.4π－4
C.8π－8 D.4π－8
【解析】 ∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°。
∵BC=4，∴AB=AC=BC=2，
∴S阴影=2(S扇形CBD－S△ABC)=2=4π－8。
12.如图，扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE的顶点C，E，D分别在OA，OB，上。过点A作AF⊥ED，交ED的延长线于点F，已知图中阴影部分的面积为－1，则正方形OCDE边长为(　A　)
A.1 B. C.2 D.3
第12题图 第12题答图
【解析】 如答图，连结OD。
设正方形OCDE的边长为a，
∴OD=OA=a，∴AC=a－a。
易知DE=DC，BE=AC，，
∴S阴影=S矩形ACDF=AC·CD=(a－a)·a=－1，
∴a=1。
13.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC。以点A为旋转中心，将Rt△ABC按逆时针方向旋转45°后，得到Rt△AED，点B经过的路径为。已知AC=2，则阴影部分的面积为　2π　。
【解析】 ∵∠ACB=90°，BC=AC，
∴易得AB=2AC=4。
由旋转的性质，得△ACB≌△ADE，∠BAE=45°，
∴S阴影=S△AED＋S扇形EAB－S△ACB=S扇形EAB==2π。
14.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，点E在AC上，经过A，B，E三点的☉O交BC于点D，且D是的中点。
(1)(4分)求证：AB是☉O的直径。
(2)(4分)若AB=8，∠C=60°，求阴影部分的面积。
解：(1)如答图1，连结AD。
∵D是的中点，
∴∠BAD=∠CAD。
又∵AB=AC，∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴AB是☉O的直径。
图1　 图2
第14题答图
(2)如答图2，连结OE。
∵∠C=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°。
又∵OA=OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠AOE=60°，
∴∠BOE=120°，∴∠OBE=30°。
又∵AB=8，∴AE=OA=OB=4，
∴△BOE的边BE上的高为2，BE=4，
∴S阴影=S扇形AOE＋S△BOE=×2×4π＋4。
15.(8分)如图，以△ABC的边AB为直径的☉O交BC边于点D，交CA的延长线于点E，且∠C=∠E。
(1)(4分)求证：BD=CD。
(2)(4分)若=2，AC=4，求阴影部分的面积。
第15题图 第15题答图
解：(1)如答图，连结AD。
∵AB是☉O的直径，
∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD。
又∵∠AED=∠B，∠C=∠AED，
∴∠B=∠C，∴AB=AC，
∴BD=CD。
(2)如答图，连结OD，OE。
∵=2，∴∠BOD=2∠AOD。
又∵∠BOD＋∠AOD=180°，
∴∠AOD=60°，∴∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，∴∠OAE=60°。
又∵OA=OE，∴△AOE是等边三角形。
∵AB=AC=4，∴OA=OE=AE=2，
∴S阴影=S扇形OAE－S△OAE=×22=π－。
16.(10分)[推理能力]如图，正方形ABCD内接于☉O，在上取一点E，连结AE，DE，过点A作AG⊥AE，交☉O于点G，交DE于点F，连结CG，DG。
(1)(4分)求证：△AFD≌△CGD。
(2)(6分)若AB=2，∠BAE=30°，求阴影部分的面积。
第16题答图　 　第16题答图
解：(1)∵AG⊥AE，∴∠EAG=90°，
∴在☉O中，∠EDG=∠EAG=90°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°。
∵∠ADF＋∠FDC=∠CDG＋∠FDC=90°，
∴∠ADF=∠CDG。
在△ADF和△CDG中，∵
∴△ADF≌△CDG(ASA)。
(2)如答图，过点D作DH⊥AG于点H，连结OA，OD。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，∠AGD=∠AOD=45°，AD=AB=2，
∴∠DAG＋∠BAG=∠BAE＋∠BAG=90°，
∴∠DAG=∠BAE=30°。
∵DH⊥AG，∴∠DHG=∠DHA=90°，
∴△HDG和△DFG都是等腰直角三角形。
在Rt△ADH中，∵∠DAG=30°，
∴DH=AD=1，
∴AH=，FH=DH=1，
∴AF=AH－FH=－1，
∴S△ADF=AF·DH=。
∵OA=OD，∠AOD=90°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴OA=AD=，
∴S弓形AD=S扇形AOD－S△AOD=－1，
∴S阴影=S△ADF＋S弓形AD=。3.7　弧长及扇形的面积 第1课时　弧长公式
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2中的所示，已知圆弧的半径OA=20 cm，圆心角∠AOB=90°，则的长为( )
图1　　　 图2
A.20π cm B.10π cm
C.5π cm D.2π cm
2.在☉O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm，那么☉O的半径是( )
A.6 cm B.8 cm
C.10 cm D.12 cm
3.一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10 cm，OA是滑轮的一条半径，当OA绕轴心O按逆时针方向旋转180°时，重物上升的高度为( )
A.10 cm B.10π cm
C.5 cm D.5π cm
4.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1。若以点O为旋转中心，将△AOB按顺时针方向旋转90°得到△A'OB'，则点A运动的路径的长为( )
A.π B.2π C.4π D.8π
5.(3分)如图，△ABC是☉O的内接三角形，∠BAC=45°。若☉O的半径为2，则劣弧BC的长为 。
第5题图
6.(3分)如图，四边形ABCD内接于☉O，☉O的半径为3，∠D=120°，则的长是 。
7.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，AC=2。以点C为圆心，CA长为半径画弧，交AB于点D，则的长为 。
第7题图
8.(3分)如图，的半径OA=2，OC⊥AB于点C，∠AOC=60°，则
(1)(1.5分)弦AB的长为 。
(2)(1.5分)的长为 。
9.(8分)如图，AN是☉O的直径，四边形ABMN是矩形，BM与☉O相交于点E，G，AB=15，D是☉O上的点，DC⊥BM于点C，已知☉O的半径r=30。
(1)(4分)求BE的长。
(2)(4分)若BC=15，求的长。
第9题图
10.如图，北京市某处A位于北纬40°(即∠AOC=40°)，东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°(即∠BOC=15°)，东经116°。设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为( )
A.πR千米 B.πR千米
C.πR千米 D.πR千米
11.(3分)如图，一架摩天轮高128 m(即最高点离水平地面MN的距离为128 m)，圆心O到MN的距离为68 m，摩天轮匀速旋转一圈用时30 min。某轿厢从点A出发，10 min后到达点B，在此过程中，该轿厢所经过的路径(即)长为 m。
12.(3分)铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素。如图是一个花瓣造型的花窗示意图，它由六条等弧连结而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的外心。若AB=2，则花窗的周长(图中实线部分的长度)= 。
第12题图
13.(8分)如图，在☉O中，弦AB与CD相交于点E，∠ACD=60°，给出下列信息：①∠ADC=50°；②AB是☉O的直径；③∠CEB=100°。
(1)(4分)请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论，组成一个命题。你选择的条件是 ，结论是 (填序号)。判断此命题的真假，并说明理由。
(2)(4分)在(1)的条件下，若AD=2，求的长。
第13题答图　
14.(10分)[应用意识]某校田径场的跑道内圈设计成如图1形状，每条直道长100米，弯道的设计考虑了人在奔跑时的习惯，运动员在通过弯道时的路径通常离开内侧弧线约0.30米。按此方式在第1道绕行一周的路程约为400米，且每条跑道宽1.20米。(共6条跑道，由内及外分别记为1道，2道……π取3.14，结果精确到0.01米)
(1)(5分)第1道的内侧弧线半径约为多少米？
(2)(5分)若打算在该径赛场地举行200米短跑决赛，终点设在CD延长线处，起点设在图1所示的右侧弯道处，且外圈跑道的起跑点在内圈跑道起跑点的前方。又如图2所示，第1，2，3道起跑线AE，FG，HK间，与弧长相等，试求的长，并推断图1所示的右侧弯道中，第1道内侧半圆弧长与第6道内侧半圆弧长相差多少米。
第2课时　扇形的面积 分值：73分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.已知扇形的半径为6，圆心角的度数为150°，则它的面积为( )
A.π B.3π C.5π D.15π
2.一个扇形的弧长是10π cm，其圆心角的度数是150°，此扇形的面积为( )
A.30π cm2 B.60π cm2
C.120π cm2 D.180π cm2
3.工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积。如图，排污管道的横截面是直径为2 m的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面(图中阴影部分)宽AB为1 m，则淤泥的横截面面积为( )
A.m2 B.m2
C.m2 D.m2
4.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是( )
A.π－2 B.2π－2
C.2π－4 D.4π－4
5.(3分)已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为 °。
6.(3分)如图，在3×3的网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，O，B，C是格点，则扇形BOC的面积为 。
7.(3分)图1是一块扇面形的砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形BOC和AOD有相同的圆心O，且圆心角∠O=100°。若OA=120 cm，OB=60 cm，则阴影部分的面积是 cm2。
8.(3分)如图，正方形ABCD的边长为4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是 。
9.(6分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC=8，取AC的中点P，分别以点A和C为圆心，AP长为半径画弧，两弧恰好分别经过点D和点B，求图中阴影部分的面积。
10.(8分)如图1， ABCD内接于☉O。
(1)(4分)求证： ABCD是矩形。
(2)(4分)如图2，连结OA，OD，∠AOD=90°，AD=8，求阴影部分的面积。
11.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别相交于点D，E。若BC=4，则图中阴影部分的面积为( )
A.2π－4 B.4π－4
C.8π－8 D.4π－8
12.如图，扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE的顶点C，E，D分别在OA，OB，上。过点A作AF⊥ED，交ED的延长线于点F，已知图中阴影部分的面积为－1，则正方形OCDE边长为( )
A.1 B. C.2 D.3
第12题图
13.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC。以点A为旋转中心，将Rt△ABC按逆时针方向旋转45°后，得到Rt△AED，点B经过的路径为。已知AC=2，则阴影部分的面积为 。
14.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，点E在AC上，经过A，B，E三点的☉O交BC于点D，且D是的中点。
(1)(4分)求证：AB是☉O的直径。
(2)(4分)若AB=8，∠C=60°，求阴影部分的面积。
15.(8分)如图，以△ABC的边AB为直径的☉O交BC边于点D，交CA的延长线于点E，且∠C=∠E。
(1)(4分)求证：BD=CD。
(2)(4分)若=2，AC=4，求阴影部分的面积。
第15题图
16.(10分)[推理能力]如图，正方形ABCD内接于☉O，在上取一点E，连结AE，DE，过点A作AG⊥AE，交☉O于点G，交DE于点F，连结CG，DG。
(1)(4分)求证：△AFD≌△CGD。
(2)(6分)若AB=2，∠BAE=30°，求阴影部分的面积。
第16题答图　

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