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4.6　相似多边形
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.两个多边形相似的条件是( )
A.对应角相等
B.对应边成比例
C.对应角相等且对应边相等
D.对应角相等且对应边成比例
2.若两个相似多边形的面积之比为1∶5，则它们的相似比为( )
A.1∶25 B.1∶5
C.1∶2.5 D.1∶
3.如图，有甲，乙、丙三个矩形，其中相似的是( )
A.甲与丙 B.甲与乙
C.乙与丙 D.三个矩形都不相似
4.(3分)如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A=∠D=100°，∠G=65°，则∠F= °。
5.(3分)一张比例尺为1∶100的图纸上，一块多边形区域的周长为20 cm，面积为25 cm2，则该区域的实际周长为 m，实际面积为 m2。
6.(3分)如图，两个五边形相似，一组对应边长分别为4.5 cm和3 cm，若它们的面积之和为78 cm2，则较大的五边形的面积为 cm2。
7.(8分)如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'。求：
(1)(4分)α及它们的相似比。
(2)(4分)边长x，y的值。
8.(8分)已知两个六边形的各内角均为120°，那么这两个六边形一定相似吗？请说明理由。
9.(8分)如图，四边形ABCD是矩形，点F在对角线AC上运动，EF∥BC，FG∥CD，四边形AEFG和矩形ABCD一直保持相似吗？证明你的结论。
10.如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片。若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边a，b应满足的条件是( )
A.a=b B.a=2b
C.a=2b D.a=4b
11.在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3，4，5的三角形按如图1所示的方式向外扩大，则新三角形与原三角形相似。
乙：将邻边为3和5的矩形按如图2所示的方式向外扩大，则新矩形与原矩形相似。
图1　　 　图2
对于两人的观点，下列说法中，正确的是( )
A.两人都对 B.两人都不对
C.甲对，乙不对 D.甲不对，乙对
12.(8分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB边上的一点，EF∥BC，梯形ABCD被EF分成的两个梯形AEFD，EBCF相似。若AD=4，BC=9，求的值。
13.(8分)一个矩形ABCD的较短边长为2。
(1)(4分)如图1，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长。
(2)(4分)如图2，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积。
14.(10分)[应用意识]课题学习：“An系列纸”的研究。
纸张尺寸一般是指印刷、书写和绘图用纸的幅面尺寸，目前国际上通行的纸张尺寸规范是ISO216(纸张尺寸国际标准)，它规定了A，B，C三种规格，其中A系列格式包含A0~A10等多种尺寸。使用统一的纸张尺寸大大提高了生活便利性。
如图，An系列矩形纸张的规格特征：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，An纸对裁后可以得到两张A(n＋1)纸。
(1)(4分)A1纸面积是A2纸面积的 倍，A2纸周长是A4纸周长的 倍。
(2)(6分)根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比。4.6　相似多边形
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.两个多边形相似的条件是(　D　)
A.对应角相等
B.对应边成比例
C.对应角相等且对应边相等
D.对应角相等且对应边成比例
2.若两个相似多边形的面积之比为1∶5，则它们的相似比为(　D　)
A.1∶25 B.1∶5
C.1∶2.5 D.1∶
3.如图，有甲，乙、丙三个矩形，其中相似的是(　A　)
A.甲与丙 B.甲与乙
C.乙与丙 D.三个矩形都不相似
4.(3分)如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A=∠D=100°，∠G=65°，则∠F=　95　°。
5.(3分)一张比例尺为1∶100的图纸上，一块多边形区域的周长为20 cm，面积为25 cm2，则该区域的实际周长为　20　m，实际面积为　25　m2。
6.(3分)如图，两个五边形相似，一组对应边长分别为4.5 cm和3 cm，若它们的面积之和为78 cm2，则较大的五边形的面积为　54　cm2。
【解析】 设这两个五边形的面积分别为x(cm2)，y(cm2)(x＞y)，
则解得
7.(8分)如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'。求：
(1)(4分)α及它们的相似比。
(2)(4分)边长x，y的值。
解：(1)∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴∠A'=∠A=62°，
∠B'=∠B=75°，
∴α=360°－62°－75°－140°=83°，
它们的相似比为。
(2)∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴，解得x=12，y=。
8.(8分)已知两个六边形的各内角均为120°，那么这两个六边形一定相似吗？请说明理由。
解：不一定。理由如下：
第8题答图
如答图，六边形ABCDEF是正六边形，其各内角均为120°。作GH∥AF，易知六边形GBCDEH各内角也均为120°，它与正六边形ABCDEF不相似。
9.(8分)如图，四边形ABCD是矩形，点F在对角线AC上运动，EF∥BC，FG∥CD，四边形AEFG和矩形ABCD一直保持相似吗？证明你的结论。
解：相似。证明如下：
∵EF∥BC，FG∥CD，
∴△AEF∽△ABC，△AFG∽△ACD，∠AEF=∠B，∠AGF=∠D，
∴，
∴。
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=∠AEF=∠AGF=90°，
∴∠EFG=90°=∠BCD，
∴四边形AEFG∽矩形ABCD。
10.如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片。若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边a，b应满足的条件是(　B　)
A.a=b B.a=2b
C.a=2b D.a=4b
【解析】 对折两次后的小矩形的长为b，宽为a。
∵小矩形与原矩形相似，
∴，∴a=2b。
11.在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3，4，5的三角形按如图1所示的方式向外扩大，则新三角形与原三角形相似。
乙：将邻边为3和5的矩形按如图2所示的方式向外扩大，则新矩形与原矩形相似。
图1　　 　图2
对于两人的观点，下列说法中，正确的是(　C　)
A.两人都对 B.两人都不对
C.甲对，乙不对 D.甲不对，乙对
【解析】 如答图所示标记字母，延长AB，交EF于点H，延长CB，交DE于点G。
第11题答图
由题意，得BC∥EF，AB∥DE，
∴四边形GEHB是平行四边形，
∴∠E=∠GBH=∠ABC。
同理可得∠F=∠ACB，
∴△ABC∽△DEF，
∴甲的观点正确。
∵原矩形的边长分别为3和5，则新矩形的边长为5和7。
又∵≠，
∴新矩形与原矩形不相似，
∴乙的观点不正确。
12.(8分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB边上的一点，EF∥BC，梯形ABCD被EF分成的两个梯形AEFD，EBCF相似。若AD=4，BC=9，求的值。
解：∵梯形AEFD∽梯形EBCF，
∴。
又∵AD=4，BC=9，∴EF2=AD·BC=4×9=36，
∴EF=6，
∴。
13.(8分)一个矩形ABCD的较短边长为2。
(1)(4分)如图1，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长。
(2)(4分)如图2，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积。
解：(1)由已知得MN=AB=2，MD=AD=BC。
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，，
∴DM·BC=AB·MN，即BC2=4，
∴BC=2，即它的另一边长为2。
(2)∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，∴。
∵AB=CD=2，BC=4，∴DF==1，
∴矩形EFDC的面积=CD·DF=2×1=2。
14.(10分)[应用意识]课题学习：“An系列纸”的研究。
纸张尺寸一般是指印刷、书写和绘图用纸的幅面尺寸，目前国际上通行的纸张尺寸规范是ISO216(纸张尺寸国际标准)，它规定了A，B，C三种规格，其中A系列格式包含A0~A10等多种尺寸。使用统一的纸张尺寸大大提高了生活便利性。
如图，An系列矩形纸张的规格特征：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，An纸对裁后可以得到两张A(n＋1)纸。
(1)(4分)A1纸面积是A2纸面积的　2　倍，A2纸周长是A4纸周长的　2　倍。
(2)(6分)根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比。
解：(1)∵A1纸对裁后可以得到两张A2纸，
∴A1纸面积是A2纸面积的2倍。
设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸的周长=2(a＋b)，
则A3纸的长是b，宽为，A4纸的长是，宽为，
∴A4纸的周长=2=a＋b，
∴A2纸周长是A4纸周长的2倍。
(2)设A1纸的长和宽分别为m，n，则A2纸的长和宽分别为n，m，
∴，∴m2=2n2，
∴m∶n=∶1，
故该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比为∶1。

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