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4.7　图形的位似
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.如图，网格中的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是(　D　)
A.点M B.点N
C.点O D.点P
2.已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1∶3，则△ABC与△A'B'C'的面积之比为(　C　)
A.1∶3 B.1∶6
C.1∶9 D.3∶1
3.如图，以点O为位似中心，把△ABC的边长放大2倍得到△A'B'C'，下列说法中，错误的是(　C　)
A.△ABC∽△A'B'C'
B.C，O，C'三点共线
C.AO∶AA'=1∶2
D.AB∥A'B'
4.如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是(　B　)
A.2∶1 B.1∶2
C.4∶1 D.1∶4
5.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O(0，0)，A(2，1)，B(1，2)，以原点O为位似中心，在第三象限画△OA'B'与△OAB位似。若△OA'B'与△OAB的相似比为2∶1，则点A的对应点A'的坐标为(　B　)
A.(－2，－1) B.(－4，－2)
C.(－1，－2) D.(－2，－4)
6.(3分)在平面直角坐标系中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A'B'C'。若点A和它的对应点A'的坐标分别为(3，7)，(－9，－21)，则△ABC与△A'B'C'的相似比为 　。
7.(3分)在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于原点O位似，且位似比为。若点A的坐标为(2，4)，则其对应点A1的坐标为　(－4，－8)或(4，8)　。
8.(8分)如图，分别按下列要求作出四边形ABCD以点O为位似中心的位似四边形。
(1)(4分)沿AO方向把边长放大为原图的2倍。
(2)(4分)沿OA方向把边长放大为原图的2倍。
第8题图　 第8题答图
解：(1)如答图，四边形A'B'C'D'即为所求。
(2)如答图，四边形A″B″C″D″即为所求。
9.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A，B，E在x轴上。若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为(　A　)
A.(3，2) B.(3，1)
C.(2，2) D.(4，2)
【解析】 由位似的性质，得BC=EF=2。
设点C的坐标为(x，2)，则OB=x。
由正方形的性质，易得BC∥EF，BE=6，
∴OE=x＋6，△OBC∽△OEF，∴，
∴，解得x=3。
经检验，x=3是原方程的解，且符合题意，
∴点C的坐标为(3，2)。
10.如图，五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A'的坐标分别为(2，0)，(3，0)。若DE的长为3，则D'E'的长为(　C　)
A. B.4 C. D.5
11.(8分)在平面直角坐标系中，一个图形先绕原点按顺时针方向旋转θ角(0°≤θ＜360°)，再以原点为位似中心，位似比为k得到一个新的图形，我们把这个过程记为【θ，k】变换。例如，把图中的△ABC先绕原点O按顺时针方向旋转90°，再以原点为位似中心，位似比为缩小得到一个新的图形△A1B1C1，可以把这个过程记为【90°，】变换。
(1)(4分)在图中画出一个符合【90°，】变换的△A1B1C1。
(2)(4分)已知△OMN的顶点坐标为O(0，0)，M(2，4)，N(6，2)，把△OMN经过【θ，k】变换后得到△O'M'N'，若点M的对应点M'的坐标为(－1，－2)，则θ=　0°或180°　，k= 　。
解：(1)如答图，△A1B1C1即为所求(位似变换不唯一)。
第11题答图
(2)∵点M(2，4)，M'(－1，－2)都在直线y=2x上，
∴M，O，M'三点共线，∴θ=0°或180°。
根据点M，M'的坐标易知OM'=OM，即k=。
12.(8分)如图，BD，AC相交于点P，连结AB，BC，CD，DA，∠DAP=∠CBP。
(1)(3分)求证：△ADP∽△BCP。
(2)(2分)△ADP与△BCP是不是位似图形？请直接给出答案。
(3)(3分)若AB=8，CD=4，DP=3，求AP的长。
解：(1)∵∠DAP=∠CBP，∠DPA=∠CPB，
∴△ADP∽△BCP。
(2)△ADP与△BCP不是位似图形。
(3)∵△ADP∽△BCP，
∴，∴。
又∵∠APB=∠DPC，∴△APB∽△DPC，
∴，即，∴AP=6。
13.(10分)[创新意识]如图，△ABC是☉O的内接正三角形，D是的中点，连结BD并延长至点E，使DE=BD，连结CD，CE。
(1)(5分)求证：△CDE是正三角形。
(2)(5分)△CDE经怎样的变换后能与△ABC成位似图形？请在图中画出△CDE变换后的对应三角形△C'D'E'(一种即可)，并求出△C'D'E'与△ABC的位似比。
第13题图 第13题答图
解：(1)∵△ABC是☉O的内接正三角形，
∴∠BAC=60°，∴∠BDC=120°，
∴∠CDE=60°。
∵D是的中点，∴BD=CD。
又∵DE=BD，∴CD=DE，
∴△CDE是正三角形。
(2)如答图，当△CDE绕点C按顺时针方向旋转90°后与△ABC成位似图形(变换方法不唯一)。
∵∠BDC=120°，BD=CD，
∴∠CBD=∠BCD=30°。
又∵∠ACB=60°，
∴∠ACD=90°，
∴当△CDE绕点C按顺时针方向旋转90°后与△ABC成位似图形。
作DF⊥BC于点F，则BF=CF，设DC=2x=C'E'。
∵∠BCD=30°，∴易知FC=x，
∴BC=2FC=2x，
∴，
∴位似比为。4.7　图形的位似
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.如图，网格中的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( )
A.点M B.点N
C.点O D.点P
2.已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1∶3，则△ABC与△A'B'C'的面积之比为( )
A.1∶3 B.1∶6
C.1∶9 D.3∶1
3.如图，以点O为位似中心，把△ABC的边长放大2倍得到△A'B'C'，下列说法中，错误的是( )
A.△ABC∽△A'B'C'
B.C，O，C'三点共线
C.AO∶AA'=1∶2
D.AB∥A'B'
4.如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是( )
A.2∶1 B.1∶2
C.4∶1 D.1∶4
5.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O(0，0)，A(2，1)，B(1，2)，以原点O为位似中心，在第三象限画△OA'B'与△OAB位似。若△OA'B'与△OAB的相似比为2∶1，则点A的对应点A'的坐标为( )
A.(－2，－1) B.(－4，－2)
C.(－1，－2) D.(－2，－4)
6.(3分)在平面直角坐标系中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A'B'C'。若点A和它的对应点A'的坐标分别为(3，7)，(－9，－21)，则△ABC与△A'B'C'的相似比为 。
7.(3分)在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于原点O位似，且位似比为。若点A的坐标为(2，4)，则其对应点A1的坐标为 。
8.(8分)如图，分别按下列要求作出四边形ABCD以点O为位似中心的位似四边形。
(1)(4分)沿AO方向把边长放大为原图的2倍。
(2)(4分)沿OA方向把边长放大为原图的2倍。
第8题图　
9.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A，B，E在x轴上。若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为( )
A.(3，2) B.(3，1)
C.(2，2) D.(4，2)
10.如图，五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A'的坐标分别为(2，0)，(3，0)。若DE的长为3，则D'E'的长为( )
A. B.4 C. D.5
11.(8分)在平面直角坐标系中，一个图形先绕原点按顺时针方向旋转θ角(0°≤θ＜360°)，再以原点为位似中心，位似比为k得到一个新的图形，我们把这个过程记为【θ，k】变换。例如，把图中的△ABC先绕原点O按顺时针方向旋转90°，再以原点为位似中心，位似比为缩小得到一个新的图形△A1B1C1，可以把这个过程记为【90°，】变换。
(1)(4分)在图中画出一个符合【90°，】变换的△A1B1C1。
(2)(4分)已知△OMN的顶点坐标为O(0，0)，M(2，4)，N(6，2)，把△OMN经过【θ，k】变换后得到△O'M'N'，若点M的对应点M'的坐标为(－1，－2)，则θ= ，k= 。
12.(8分)如图，BD，AC相交于点P，连结AB，BC，CD，DA，∠DAP=∠CBP。
(1)(3分)求证：△ADP∽△BCP。
(2)(2分)△ADP与△BCP是不是位似图形？请直接给出答案。
(3)(3分)若AB=8，CD=4，DP=3，求AP的长。
13.(10分)[创新意识]如图，△ABC是☉O的内接正三角形，D是的中点，连结BD并延长至点E，使DE=BD，连结CD，CE。
(1)(5分)求证：△CDE是正三角形。
(2)(5分)△CDE经怎样的变换后能与△ABC成位似图形？请在图中画出△CDE变换后的对应三角形△C'D'E'(一种即可)，并求出△C'D'E'与△ABC的位似比。
第13题图

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