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第1章 二次函数　章末复习
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
　二次函数的图象与性质
1.如图，二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是－3，顶点坐标为(－1，4)，则下列说法正确的是(　D　)
A.二次函数图象的对称轴是直线x=1
B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C.当x＞－3时，y随x的增大而增大
D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
【解析】 ∵顶点坐标为(－1，4)，
∴对称轴是直线x=－1，A错误。
∵点(－3，0)关于x=－1对称的点为(1，0)，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，B错误。
由函数图象知，当x＜－1时，y随x的增大而增大，C错误。
设二次函数表达式为y=a(x＋1)2＋4，
将点(－3，0)代入，解得a=－1，
∴y=－(x＋1)2＋4。
令x=0，得y=3，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，D正确。
2.已知点(－2，y1)，(3，y2)，(7，y3)都在二次函数y=－(x－2)2＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　C　)
A.y1＞y2＞y3 B.y1＞y3＞y2
C.y2＞y1＞y3 D.y3＞y2＞y1
　抛物线的平移
3.将抛物线y=(x－3)2－4先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的函数表达式为(　D　)
A.y=(x－4)2－6 B.y=(x－1)2－3
C.y=(x－2)2－2 D.y=(x－4)2－2
4.通过平移y=－2(x－1)2＋3的图象，可得到y=－2x2的图象，下列平移方法正确的是(　C　)
A.向左移动1个单位，向上移动3个单位
B.向右移动1个单位，向上移动3个单位
C.向左移动1个单位，向下移动3个单位
D.向右移动1个单位，向下移动3个单位
　二次函数与一元二次方程、不等式的关系
5.已知二次函数y=x2＋bx＋c的图象顶点为(2，1)，那么关于x的一元二次方程x2＋bx＋c－2=0的根的情况是(　A　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
【解析】 ∵二次函数y=x2＋bx＋c的图象顶点为(2，1)，
∴y=x2＋bx＋c－2的顶点为(2，－1)。
∵a=1＞0，∴函数y=x2＋bx＋c－2开口向上，
∴x2＋bx＋c－2=0有2个不相等的实数根。
6.如图，抛物线y=ax2＋c(a＜0)与直线y=kx＋b(k＞0)相交于点A(－4，p)，B(2，q)，则关于x的不等式ax2＋c＜－kx＋b的解是(　D　)
A.－4＜x＜2 B.x＜－4或x＞2
C.－2＜x＜4 D.x＜－2或x＞4
　二次函数的图象与系数a，b，c的关系
7.抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=－2。有下列说法：①abc＜0；②c－3a＞0；③4a2－2ab≥at(at＋b)(t是实数)；④若图象上存在点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使得当m＜x1＜x2＜m＋3时y1=y2，则m的取值范围是－5＜m＜－2。其中正确的是(　C　)
A.①② B.①③
C.①②④ D.②③④
【解析】 ∵图象开口向下，∴a＜0。
又∵对称轴为直线x=－2，
∴－=－2，∴b=4a＜0。
当x=0时，y=c＜0，
∴abc＜0，①正确。
∵b=4a，
∴y=ax2＋4ax＋c。
由图象可知，当x=－1时，y＞0，
即a·(－1)2＋4a·(－1)＋c＞0，
整理，得c－3a＞0，②正确。
不等式4a2－2ab≥at(at＋b)变形，得4a2－2a·4a≥at(at＋4a)，
整理，得(t＋2)2≤0。
又∵t是实数，∴(t＋2)2≥0，③错误。
由题意，得x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c=y1的两个根，
由图象，得x1，x2关于x=－2对称，
∴m＜－2＜m＋3，
∴－5＜m＜－2，④正确。
综上所述，正确的是①②④。
8.(3分)已知二次函数y=ax2＋bx＋c(a＜0)的图象与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，对称轴为直线x=1，给出下列结论：①a－b＋c=0；②若点(－3，y1)，(2，y2)，(4，y3)均在该二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；③若m为任意实数，则am2＋bm＋c≤－4a；④若方程ax2＋bx＋c＋1=0的两实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜－1，x2＞3。其中正确的是　①③④　(填序号)。
【解析】 ∵抛物线经过点(－1，0)，
∴a－b＋c=0，①正确.
∵a＜0，∴抛物线开口向下。
又∵点(－3，y1)，(2，y2)，(4，y3)均在该二次函数图象上，且点(－3，y1)到对称轴的距离最大，点(2，y2)到对称轴的距离最小，
∴y1＜y3＜y2，②错误。
∵－=1，∴b=－2a。
又∵a－b＋c=0，∴c=b－a=－3a。
∵抛物线的最大值为a＋b＋c，
∴若m为任意实数，则am2＋bm＋c≤a＋b＋c，
∴am2＋bm＋c≤－4a，③正确。
∵方程ax2＋bx＋c＋1=0的两实数根分别为x1，x2，
∴抛物线与直线y=－1的交点的横坐标为x1，x2，
由抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一交点坐标为(3，0)，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)。
又∵抛物线开口向下，x1＜x2，
∴x1＜－1，x2＞3，④正确。
综上所述，正确的结论是①③④。
　二次函数的最值
9.已知二次函数y=x2－4x＋1，当－2≤x≤5时，下列说法正确的是(　A　)
A.有最大值13，最小值－3
B.有最大值13，最小值7
C.有最大值7，最小值－3
D.有最大值13，最小值1
【解析】 ∵y=x2－4x＋1=(x－2)2－3，
∴该抛物线的对称轴为直线x=2。
又∵抛物线的开口向上，
∴当x=2时，函数取得最小值－3。
又∵当x=－2时，y=x2－4x＋1=13，当x=5时，y=x2－4x＋1=6，
∴在－2≤x≤5范围内，函数有最大值13，最小值－3。
10.(8分)已知函数y=－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(0，－3)，(－6，－3)。
(1)(2分)b=　－6　，c=　－3　。
(2)(2分)当－4≤x≤0时，写出y的最大值。
(3)(4分)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值。
解：(1)把点(0，－3)，(－6，－3)的坐标分别代入y=－x2＋bx＋c，得
解得b=－6，c=－3。
(2)y=－x2－6x－3
=－(x＋3)2＋6。
∵－4≤x≤0，－1＜0，∴当x=－3时，y有最大值，为6。
(3)分两种情况讨论：
①若－3＜m≤0，则当x=0时，y有最小值，为－3；
当x=m时，y有最大值，为－m2－6m－3，
∴－m2－6m－3＋(－3)=2，
解得m1=－2，m2=－4(舍去)；
②若m≤－3，则当x=－3时，y有最大值，最大值为6，
∴y的最小值为2－6=－4，
∴易知－(m＋3)2＋6=－4，
解得m1=－3－，m2=－3＋(舍去)。
综上所述，m的值为－2或－3－。
　二次函数的综合
11.(10分)在平面直角坐标系中，已知二次函数y1=(x－2)(x－a－1)。
(1)(2分)若函数图象经过点(1，3)，求a的值。
(2)(4分)若此二次函数的图象经过点(－2，m)，(4，n)，且有m＞n，求a的取值范围。
(3)(4分)若对于一次函数y2=3x－6，当x＞3时都有y2＜y1，求a的取值范围。
解：(1)∵y1=(x－2)(x－a－1)经过点(1，3)，
∴(1－2)(1－a－1)=3，
∴a=3。
(2)令y1=(x－2)(x－a－1)=0，则x=2或x=a＋1，
∴对称轴是直线。
∵抛物线的开口向上，∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小。
∵图象经过(－2，m)，(4，n)，且有m＞n，
∴，
∴|a＋7|＞|a－5|。
①当a＜－7时，∴－a－7＞5－a，此时无解；
②当－7≤a≤5时，∴a＋7＞5－a，
∴a＞－1，
∴－1＜a≤5；
③当a＞5时，|a＋7|＞|a－5|，一定成立。
综上所述，a的取值范围是a＞－1。
(3)由题意，得y1－y2=(x－2)(x－a－1)－(3x－6)
=(x－2)(x－a－4)。
又∵对于x＞3时都有y2＜y1，
∴(x－2)(x－a－4)＞0，
∴x－a－4＞0，即x＞a＋4，
∴a＋4≤3，∴a≤－1。
12.(10分)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2－2bx－2(b是常数)经过点(2，－2)，点A在抛物线上，横坐标为1－m，其中m＜0。
(1)(2分)求该抛物线的函数表达式及顶点坐标。
(2)(4分)当点A在x轴上时，求点A的坐标。
(3)(4分)抛物线与x轴的左交点为P，当抛物线在点P和点A之间的部分(包括P，A)的最高点和最低点的纵坐标之差为－2m时，求m的值。
解：(1)根据题意，将点(2，－2)代入y=x2－2bx－2中，
得－2=22－4b－2，∴b=1，
∴抛物线的表达式为y=x2－2x－2=(x－1)2－3，
∴顶点坐标为(1，－3)。
(2)根据题意得，点A在该抛物线上，横坐标为1－m，
∴点A的坐标为(1－m，m2－3)。
∵点A在x轴上，且m＜0，
∴m2－3=0，
∴m=－或m=(不合题意，舍去)，
∴点A的坐标为(1＋，0)。
(3)根据题意，令x2－2x－2=0，
解得x1=1－，x2=1＋，
∴点P(1－，0)。
∵m＜0，∴1－m＞1，
∴点A(1－m，m2－3)在对称轴右侧。
如答图1，当1＜1－m＜1＋，即－＜m＜0时，
第12题答图1
根据题意，0－(－3)=－2m，
∴m=－；
如答图2，当1－m＞1＋，即m＜－时，
第12题答图2
根据题意，(m2－3)－(－3)=－2m，
∴m1=－2或m2=0(不合题意，舍去)。
综上所述，m的值为－或－2。
　二次函数的应用
13.(12分)综合与实践：
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线。我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合。
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60 cm，起跳点与落地点的距离为160 cm。
数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M。以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系。
(1)(3分)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式。
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变。
(2)(4分)如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为(0，75)，点Q在x轴的正半轴上，求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长。
(3)(5分)实验表明，仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3 cm，才能安全通过。如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC=∠BCD=90°，AB=57 cm，BC=40 cm，CD=48 cm。仿青蛙机器人从距离AB左侧80 cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物，若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，请直接写出该平台的高度(平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内)。
解：(1)由题意得，抛物线的对称轴为直线x=80，顶点纵坐标为60，∴顶点坐标为(80，60)。
设抛物线的函数表达式为y=a(x－80)2＋60。
∵图象过原点，
∴a(0－80)2＋60=0，
解得a=－，∴y=－(x－80)2＋60。
(2)∵抛物线的形状不变，且过点(0，75)，
故第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向上平移75个单位得到的，
∴新的抛物线的表达式为y=－(x－80)2＋60＋75=－(x－80)2＋135，
当y=0时，－(x－80)2＋135=0，
解得x1=200，x2=－40(舍去)，
故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200 cm。
(3)设该平台的高度为k(cm)，由题意，以直线BC为x轴，地面起跳点为原点建立平面直角坐标系，则放置平台后新的抛物线的表达式为y=－(x－80)2＋60＋k。
∵AB=57 cm，BC=40 cm，CD=48 cm，仿青蛙机器人从距离AB左侧80 cm处的地面起跳。
由题意，仿青蛙机器人经过点A上方3 cm处时，即抛物线经过点(80，60)时，
60=－×(80－80)2＋60＋k，解得k=0。
当仿生青蛙机器人经过点D正上方3 cm处，即抛物线经过点(80＋40，48＋3)时，
得51=－×(120－80)2＋60＋k，解得k=6，
易知该平台的高度为6 cm。第1章 二次函数　章末复习
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
　二次函数的图象与性质
1.如图，二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是－3，顶点坐标为(－1，4)，则下列说法正确的是( )
A.二次函数图象的对称轴是直线x=1
B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C.当x＞－3时，y随x的增大而增大
D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
2.已知点(－2，y1)，(3，y2)，(7，y3)都在二次函数y=－(x－2)2＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A.y1＞y2＞y3 B.y1＞y3＞y2
C.y2＞y1＞y3 D.y3＞y2＞y1
　抛物线的平移
3.将抛物线y=(x－3)2－4先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的函数表达式为( )
A.y=(x－4)2－6 B.y=(x－1)2－3
C.y=(x－2)2－2 D.y=(x－4)2－2
4.通过平移y=－2(x－1)2＋3的图象，可得到y=－2x2的图象，下列平移方法正确的是( )
A.向左移动1个单位，向上移动3个单位
B.向右移动1个单位，向上移动3个单位
C.向左移动1个单位，向下移动3个单位
D.向右移动1个单位，向下移动3个单位
　二次函数与一元二次方程、不等式的关系
5.已知二次函数y=x2＋bx＋c的图象顶点为(2，1)，那么关于x的一元二次方程x2＋bx＋c－2=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
6.如图，抛物线y=ax2＋c(a＜0)与直线y=kx＋b(k＞0)相交于点A(－4，p)，B(2，q)，则关于x的不等式ax2＋c＜－kx＋b的解是( )
A.－4＜x＜2 B.x＜－4或x＞2
C.－2＜x＜4 D.x＜－2或x＞4
　二次函数的图象与系数a，b，c的关系
7.抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=－2。有下列说法：①abc＜0；②c－3a＞0；③4a2－2ab≥at(at＋b)(t是实数)；④若图象上存在点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使得当m＜x1＜x2＜m＋3时y1=y2，则m的取值范围是－5＜m＜－2。其中正确的是( )
A.①② B.①③
C.①②④ D.②③④
8.(3分)已知二次函数y=ax2＋bx＋c(a＜0)的图象与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，对称轴为直线x=1，给出下列结论：①a－b＋c=0；②若点(－3，y1)，(2，y2)，(4，y3)均在该二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；③若m为任意实数，则am2＋bm＋c≤－4a；④若方程ax2＋bx＋c＋1=0的两实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜－1，x2＞3。其中正确的是 (填序号)。
　二次函数的最值
9.已知二次函数y=x2－4x＋1，当－2≤x≤5时，下列说法正确的是( )
A.有最大值13，最小值－3
B.有最大值13，最小值7
C.有最大值7，最小值－3
D.有最大值13，最小值1
10.(8分)已知函数y=－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(0，－3)，(－6，－3)。
(1)(2分)b= ，c= 。
(2)(2分)当－4≤x≤0时，写出y的最大值。
(3)(4分)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值。
　二次函数的综合
11.(10分)在平面直角坐标系中，已知二次函数y1=(x－2)(x－a－1)。
(1)(2分)若函数图象经过点(1，3)，求a的值。
(2)(4分)若此二次函数的图象经过点(－2，m)，(4，n)，且有m＞n，求a的取值范围。
(3)(4分)若对于一次函数y2=3x－6，当x＞3时都有y2＜y1，求a的取值范围。
12.(10分)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2－2bx－2(b是常数)经过点(2，－2)，点A在抛物线上，横坐标为1－m，其中m＜0。
(1)(2分)求该抛物线的函数表达式及顶点坐标。
(2)(4分)当点A在x轴上时，求点A的坐标。
(3)(4分)抛物线与x轴的左交点为P，当抛物线在点P和点A之间的部分(包括P，A)的最高点和最低点的纵坐标之差为－2m时，求m的值。
　二次函数的应用
13.(12分)综合与实践：
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线。我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合。
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60 cm，起跳点与落地点的距离为160 cm。
数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M。以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系。
(1)(3分)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式。
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变。
(2)(4分)如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为(0，75)，点Q在x轴的正半轴上，求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长。
(3)(5分)实验表明，仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3 cm，才能安全通过。如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC=∠BCD=90°，AB=57 cm，BC=40 cm，CD=48 cm。仿青蛙机器人从距离AB左侧80 cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物，若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，请直接写出该平台的高度(平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内)。

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