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第3章 圆的基本性质 　章末复习
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
　　　与旋转有关的计算
1.(3分)如图，正方形AEFG绕着正方形ABCD的顶点A旋转，其中AB=13，AE=5。在旋转一周的过程中，当B，E，G三点恰好在同一条直线上时，BG=　17或7　。
【解析】 如答图1，连结AF，交BG于点O。
第1题答图1
∵四边形AEFG是正方形，AE=5，
∴AF=10，AF⊥GE，GO=EO=AO=5，
∴BO==12，
∴GB=BO＋GO=17。
如答图2，当正方形AEFG旋转至AE'F'G'的位置时，
连结AF'，交E'G'于点O'，则同理可得G'B=BO'－OG'=7。
第1题答图2
2.(3分)将一副三角尺按如图所示的方式放在一起，其中∠A=30°，∠E=∠ECD=45°，且B，C，D三点在同一条直线上。现将三角尺CDE绕点C顺时针转动∠α(0°＜∠α＜180°)，在转动过程中，若三角尺CDE的一边平行于三角尺ABC的某一条边时，∠α的度数为　30°或45°或90°　。
【解析】 易知EC或DC不能平行于AC或BC，故分三种情况讨论：
①若DE∥AC，如答图1，则∠ECA=∠E=45°，
∴∠α=180°－∠ECD－∠ECA－∠ACB=30°。
第2题答图1
②若EC∥AB，如答图2，则∠ECA=∠A=30°，
∴∠α=180°－∠ECD－∠ECA－∠ACB=45°。
第2题答图2
③当DE∥BC时，易知DC∥AB，如答图3，易知α=90°。
第2题答图3
综上所述，∠α的度数为30°，45°或90°。
　垂径定理及其推论
3.如图，AB是☉O的直径，OD垂直弦AC于点D，DO的延长线交☉O于点E，连结BC。若AC=4，DE=4，则BC的长为(　C　)
A.1 B. C.2 D.4
【解析】 ∵AB是☉O的直径，
∴∠C=90°。
∵OD⊥AC，∴AD=CD=AC。
又∵OA=OB，∴OD=BC。
设OD=x，则BC=2x。
∵DE=4，∴OE=4－x，
∴AB=2OE=8－2x。
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2＋BC2，
∴(8－2x)2=(4)2＋(2x)2，解得x=1，
∴BC=2x=2。
4.(3分)圆形在中式建筑中有着广泛的应用。如图，某园林中圆弧形拱门的顶端到地面的高度为2.8 m，地面入口的宽度为1 m，门枕的高度为0.3 m，则该拱门所在圆的半径为　1.3　m。
【解析】 设该拱门的半径为r(m)。如答图所示标注字母，连结AB，过圆心O作OC⊥AB于点C，延长CO，交☉O于点D，连结OA。
第4题答图
由题意，得CD=2.8－0.3=2.5(m)，
AC=BC=AB=0.5 m，
∴OC=(2.5－r)m。
在Rt△AOC中，由勾股定理，得OA2=OC2＋AC2，
∴0.52＋(2.5－r)2=r2，
解得r=1.3，
即该拱门所在圆的半径为1.3 m。
　圆心角定理、圆周角定理及圆内接四边形
5.如图，四边形ABCD内接于☉O，AE⊥CB，交CB的延长线于点E。若BA平分∠DBE，AD=6，CE=4，则AE=(　C　)
A.5 B.4
C.2 D.2
【解析】 如答图，连结AC。
第5题答图
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE=∠ABD。
∵四边形ABCD内接于☉O，
∴∠ABC＋∠ADC=180°。
又∵∠ABC＋∠ABE=180°，
∴∠ABE=∠ADC，
∴∠ABD=∠ADC，
∴AC=AD=6。
∵AE⊥CB，∴AE==2。
6.(8分)如图，以AB为直径的☉O经过△ABC的顶点C，AE和BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交☉O于点D，连结BD。
(1)(4分)求证：BD=DE。
(2)(4分)若AB=10，AC=6，求BE的长。
第6题图 第6题答图
解：(1)∵AE和BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE。
又∵∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD=∠CBD，
∴∠DBE=∠CBD＋∠CBE=∠BAD＋∠ABE=∠DEB，
∴BD=DE。
(2)如答图，连结OD，交BC于点F。
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴，∴OD⊥BC，
∴∠DFB=90°，BF=CF。
∵OA=OB，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF=AC=×6=3。
∵AB=10，
∴OA=OB=OD=5，
∴DF=OD－OF=2。
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°。
由勾股定理，得BC==8，
∴BF=CF=BC=4。
在Rt△DFB中，由勾股定理，得
BD==2。
由(1)知DE=BD=2，
∴由勾股定理，得BE==2。
　弧长及扇形的面积
7.(3分)如图，一个标志由半径为1 cm的三个等圆构成，且三个等圆☉O1，☉O2，☉O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为 　cm2。
第7题图 第7题答图
【解析】 如答图，连结O1A，O2A，O1B，O3B，O2C，O3C，O1O2，O1O3，O2O3，则△O1AO2，△O1BO3，△O2CO3，△O1O2O3都是边长为1的正三角形，
∴S阴影=3
=3×
=(cm2)。
8.(8分)如图，△ABC内接于☉O，AD∥BC，交☉O于点D，DF∥AB，交BC于点E，交☉O于点F，连结AF，CF。
(1)(4分)求证：AC=AF。
(2)(4分)若☉O的半径为3，∠CAF=30°，求的长。
第8题图 第8题答图
解：(1)∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠B=∠D，∴AC=AF。
(2)如答图，连结AO，CO。
由(1)，得∠AFC=∠ACF，
∴∠AFC==75°，
∴∠AOC=2∠AFC=150°，
∴。
　圆的综合型问题
9.(12分)如图，在圆内接四边形ABCD中，延长AB，DC相交于点E，在DE上方作△EFG，使点F在线段DE上，且∠1=∠2，连结DG。
(1)(4分)若∠1=35°，B为的中点，求∠ADC的度数。
(2)(8分)连结BD，当∠BDG=∠BEG时。
①(4分)求证：四边形BEGD是平行四边形。
②(4分)若∠3=∠DAB，求证：BC=FG。
解：(1)连结BD，如答图1。
第9题答图1
∵∠1=∠2，∠1=35°，∴∠2=35°。
由圆周角定理得∠CDB=∠2=35°。
∵B为的中点，
∴∠ADB=∠2=35°，
∴∠ADC=∠ADB＋∠CDB=70°。
(2)①连结BD，如答图2。
第9题答图2
∵∠CDB=∠2，∠1=∠2，
∴∠CDB=∠1，∴BD∥CE。
∵∠BDG=∠BEG，
∴∠CDB＋∠GDE=∠BED＋∠1。
又∵∠CDB=∠1，∴∠GDE=∠BED，
∴DG∥BE。
又∵BD∥CE，∴四边形BEGD是平行四边形。
②过点B作BP∥DE，交圆于点P，连结PD，BD，如答图3，
第9题答图3
∴∠CDB=∠PBD，
∴，∴BC=PD。
由圆周角定理得∠P=∠DAB。
∵∠3=∠DAB，∴∠P=∠3。
∵∠1=∠2，∠CDB=∠2，∠CDB=∠PBD，
∴∠PBD=∠1。
∵四边形BEGD是平行四边形，
∴BD=EG。
在△PBD和△FEG中，
∵
∴△PBD≌△FEG(AAS)，
∴PD=FG，∴BC=FG。
10.(12分)若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“非常四边形”。如图1，在四边形ABCD中，若AC=BD，且AC⊥BD，则称四边形ABCD为“非常四边形”。根据以上信息，回答下列问题：
(1)(4分)矩形是“非常四边形”吗？
(2)(4分)如图2，若☉O的内接四边形ABCD是“非常四边形”，且☉O的半径为6，∠BCD=60°，求“非常四边形”ABCD的面积。
(3)(4分)如图3，若☉O的内接四边形ABCD是“非常四边形”，作OM⊥BC于点M。请猜想OM与AD之间的数量关系，并说明理由。
图1　 图2　 图3
解：(1)矩形的对角线相等但不一定垂直，所以矩形不一定是“非常四边形”。
(2)如答图1，连结OB，OD，过点O作OH⊥BD于点H，则BH=DH。
∵∠BOD=2∠BCD=120°，OB=OD，
∴∠OBD=30°。
在Rt△OBH中，OB=6，
∴OH=OB=3，BH=OB=3。
∵BD=2BH=6，∴AC=BD=6，
∴“非常四边形”ABCD的面积=×6×6=54。
图1　 图2
第10题答图
(3)OM=AD。理由如下：
如答图2，连结OB，OC，OA，OD，过点O作OE⊥AD于点E。
∵OE⊥AD，∴AE=DE。
∵∠BOC=2∠BAC，∠BOC=2∠BOM，
∴∠BOM=∠BAC。
同理，∠AOE=∠ABD。
∵BD⊥AC，∴∠BAC＋∠ABD=90°，
∴∠BOM＋∠AOE=90°。
又∵∠BOM＋∠OBM=90°，
∴∠OBM=∠AOE。
在△BOM和△OAE中，
∵
∴△BOM≌△OAE(AAS)，
∴OM=AE，∴OM=AD。第3章 圆的基本性质 　章末复习
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
　　　与旋转有关的计算
1.(3分)如图，正方形AEFG绕着正方形ABCD的顶点A旋转，其中AB=13，AE=5。在旋转一周的过程中，当B，E，G三点恰好在同一条直线上时，BG= 。
2.(3分)将一副三角尺按如图所示的方式放在一起，其中∠A=30°，∠E=∠ECD=45°，且B，C，D三点在同一条直线上。现将三角尺CDE绕点C顺时针转动∠α(0°＜∠α＜180°)，在转动过程中，若三角尺CDE的一边平行于三角尺ABC的某一条边时，∠α的度数为 。
　垂径定理及其推论
3.如图，AB是☉O的直径，OD垂直弦AC于点D，DO的延长线交☉O于点E，连结BC。若AC=4，DE=4，则BC的长为( )
A.1 B. C.2 D.4
4.(3分)圆形在中式建筑中有着广泛的应用。如图，某园林中圆弧形拱门的顶端到地面的高度为2.8 m，地面入口的宽度为1 m，门枕的高度为0.3 m，则该拱门所在圆的半径为 m。
　圆心角定理、圆周角定理及圆内接四边形
5.如图，四边形ABCD内接于☉O，AE⊥CB，交CB的延长线于点E。若BA平分∠DBE，AD=6，CE=4，则AE=( )
A.5 B.4
C.2 D.2
6.(8分)如图，以AB为直径的☉O经过△ABC的顶点C，AE和BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交☉O于点D，连结BD。
(1)(4分)求证：BD=DE。
(2)(4分)若AB=10，AC=6，求BE的长。
第6题图
　弧长及扇形的面积
7.(3分)如图，一个标志由半径为1 cm的三个等圆构成，且三个等圆☉O1，☉O2，☉O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为 cm2。
第7题图
8.(8分)如图，△ABC内接于☉O，AD∥BC，交☉O于点D，DF∥AB，交BC于点E，交☉O于点F，连结AF，CF。
(1)(4分)求证：AC=AF。
(2)(4分)若☉O的半径为3，∠CAF=30°，求的长。
第8题图
　圆的综合型问题
9.(12分)如图，在圆内接四边形ABCD中，延长AB，DC相交于点E，在DE上方作△EFG，使点F在线段DE上，且∠1=∠2，连结DG。
(1)(4分)若∠1=35°，B为的中点，求∠ADC的度数。
(2)(8分)连结BD，当∠BDG=∠BEG时。
①(4分)求证：四边形BEGD是平行四边形。
②(4分)若∠3=∠DAB，求证：BC=FG。
10.(12分)若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“非常四边形”。如图1，在四边形ABCD中，若AC=BD，且AC⊥BD，则称四边形ABCD为“非常四边形”。根据以上信息，回答下列问题：
(1)(4分)矩形是“非常四边形”吗？
(2)(4分)如图2，若☉O的内接四边形ABCD是“非常四边形”，且☉O的半径为6，∠BCD=60°，求“非常四边形”ABCD的面积。
(3)(4分)如图3，若☉O的内接四边形ABCD是“非常四边形”，作OM⊥BC于点M。请猜想OM与AD之间的数量关系，并说明理由。
图1　 图2　 图3

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