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第4章 相似三角形　章末复习
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
　比例线段
1.若=3，则的值为( )
A. C.3 D.4
2.如图，将☉O的圆周分成五等份(分点为A，B，C，D，E)，依次隔一个点相连，即成一个正五角星形。小张在制图过程中，惊讶于图形的奇妙，于是对图形展开了研究，得出：M既是线段AD，BE的黄金分割点，也是线段NE，AH的黄金分割点，则以下结论错误的是( )
A.
C.BN=NM=ME D.∠A=36°
　平行线分线段成比例定理
3.已知线段a，b，c，求作线段x，使x=，则下列作法中，正确的是( )
B.　 C.　 D.
4.(8分)如图，D是△ABC的边AC的中点，点E在CB的延长线上，连结DE，交AB于点F，若BE∶BC=2∶3，求的值。
第4题图　　
　相似三角形的判定与性质
5.如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=2DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.(3分)如图，在△ABC中，AB=6，CA=4，D为AC的中点，点E在AB上。当AE的长为 时，△ABC与以点A，D，E为顶点的三角形相似。
7.(3分)如图，在△ABC中，AC=2，AB=3，直线CM∥AB，E是BC上的动点(端点除外)，射线AE交CM于点D。在射线AE上取一点P，使得AP=2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q。设AQ=x，PQ=y。
(1)(1.5分)当x=y时，CD= 。
(2)(1.5分)在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为 。
8.(10分)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC。已知=k，记△ABC的面积为S，四边形DECF的面积为T。
(1)(4分)= (用含k的代数式表示)。
(2)(6分)将△ADE沿DE对折，若点A与点F刚好重合，求证：
①(3分)。
(3分)AB=AC。
第8题图
　相似三角形的应用
9.(3分)如图所示为凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像。已知蜡烛的高AB为4.8 cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6 cm，该凸透镜的焦距OF为10 cm，AE∥OF，则虚像CD的高为 cm。
　相似多边形与位似图形
10.如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(2，1)，C(3，2)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A'B'C'，则顶点C'的坐标是( )
A.(2，4) B.
C.(6，4) D.(6，4)或(－6，－4)
　相似三角形的综合问题
11.(8分)某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究。
如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。
(1)(4分)兴趣小组的同学得出AC2=AD·AB。理由如下：
∵∠ACB=90°，∴∠A＋∠B=90°。 ∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°， ∴∠A＋∠ACD=90°， ∴∠B=①。 又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD， ∴=②， ∴AC2=AD·AB。
请完成填空：① ；② 。
(2)(4分)如图2，F为线段CD上一点，连结AF并延长至点E，连结CE。当∠ACE=∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由。
12.(12分)如图，四边形ABCD内接于☉O，满足=2，连结AC，BD，延长BC，AD，两者相交于点E。
(1)(4分)若∠CAD=35°，求∠E的度数。
(2)(4分)求证：△ABE∽△CDE。
(3)(4分)若∠ABC=60°，AD=1，BD=3，求AB的长。第4章 相似三角形　章末复习
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
　比例线段
1.若=3，则的值为(　D　)
A. C.3 D.4
2.如图，将☉O的圆周分成五等份(分点为A，B，C，D，E)，依次隔一个点相连，即成一个正五角星形。小张在制图过程中，惊讶于图形的奇妙，于是对图形展开了研究，得出：M既是线段AD，BE的黄金分割点，也是线段NE，AH的黄金分割点，则以下结论错误的是(　C　)
A.
C.BN=NM=ME D.∠A=36°
【解析】 易得∠A=∠B=∠C=∠D=∠E==36°，D正确。
易知AM=ME=AN，FD=MD。
又∵M是线段NE的黄金分割点，
∴，A正确，C错误。
又∵M是线段AD的黄金分割点，
∴，B正确。
　平行线分线段成比例定理
3.已知线段a，b，c，求作线段x，使x=，则下列作法中，正确的是(　D　)
B.　 C.　 D.
【解析】 A.根据平行线分线段成比例，得，∴x=，A错误。
B.根据平行线分线段成比例，得，
∴x=，B错误。
C.根据平行线分线段成比例，得，
∴x=，C错误。
D.根据平行线分线段成比例，得，
∴x=，D正确。
4.(8分)如图，D是△ABC的边AC的中点，点E在CB的延长线上，连结DE，交AB于点F，若BE∶BC=2∶3，求的值。
第4题图　　 第4题答图
解：如答图，过点B作ED的平行线，交AC于点G，
则。
设DG=2x，CG=3x，则AD=DC=5x，
∴。
　相似三角形的判定与性质
5.如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=2DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则的值为(　C　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 方法一：如答图1，过点D作DF∥BC交AC于点F。
第5题答图1
∵AD=2DB，∴=2，∴。
∵DF∥BC，∴△AFD∽△ACB，
∴，∴。
设S△AFD=4S，S△ACB=9S。
∵沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，
∴S△ADE=S，
∴，
∴设AF=8x，则AE=9x。
∵，∴AC=12x，
∴EC=AC－AE=3x，
∴=3。
方法二：如答图2，连结EB。
第5题答图2
∵AD=2DB，∴S△EAD=2S△EBD。
若S△EAD=S四边形EDBC，
则S四边形EDBC=2S△EBD，
∴S△EBD=S△ECB，
∴S△ECB=S△ABC，
∴EC=AC，∴=3。
6.(3分)如图，在△ABC中，AB=6，CA=4，D为AC的中点，点E在AB上。当AE的长为　3或　时，△ABC与以点A，D，E为顶点的三角形相似。
【解析】 ①当时，
∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，
∴AE==3；
②当时，
∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，
∴AE=。
综上所述，AE=3或。
7.(3分)如图，在△ABC中，AC=2，AB=3，直线CM∥AB，E是BC上的动点(端点除外)，射线AE交CM于点D。在射线AE上取一点P，使得AP=2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q。设AQ=x，PQ=y。
(1)(1.5分)当x=y时，CD=　2　。
(2)(1.5分)在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为　y=　。
【解析】 (1)∵CM∥AB，PQ∥AB，
∴CD∥PQ，
∴△APQ∽△ADC，
∴，即。
又∵x=y，∴CD=2。
(2)∵，∴CD=。
设DE=t，则AP=2t。
∵CM∥AB，
∴△CDE∽△BAE，
∴，即，∴AE=，
∴AD=AE＋DE=t=t·。
∵△APQ∽△ADC，
∴，即，
∴y=。
8.(10分)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC。已知=k，记△ABC的面积为S，四边形DECF的面积为T。
(1)(4分)=　2k－2k2　(用含k的代数式表示)。
(2)(6分)将△ADE沿DE对折，若点A与点F刚好重合，求证：
①(3分)。
(3分)AB=AC。
第8题图 第8题答图
解：(1)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴=k2，∴S△ADE=Sk2。
∵=k，
∴AD=k·AB，
∴BD=AB－AD=(1－k)AB，
∴=1－k。
∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，
∴=(1－k)2，
∴S△BDF=S(1－k)2，
∴=2k－2k2。
(2)①如答图，连结AF，交DE于点O。
∵A，F关于DE对称，
∴DE垂直平分AF，∴AO=OF。
∵DE∥BC，∴易得AD=DB，AE=EC，AF⊥BC，
k=，
∴=2k－2k2=1。
②∵AF⊥BC，AD=BD，∴DF=AD=DB。
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴DF=CE=AE。
∵AB=2DF，AC=2CE，
∴AB=AC。
　相似三角形的应用
9.(3分)如图所示为凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像。已知蜡烛的高AB为4.8 cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6 cm，该凸透镜的焦距OF为10 cm，AE∥OF，则虚像CD的高为　12　cm。
【解析】 由题意，得AB∥CD，AE=OB=6 cm。
∵AE∥OF，∴△CAE∽△COF，
∴，
∴。
∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，
∴，∴，
∴CD=12，
故虚像CD的高为12 cm。
　相似多边形与位似图形
10.如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(2，1)，C(3，2)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A'B'C'，则顶点C'的坐标是(　C　)
A.(2，4) B.
C.(6，4) D.(6，4)或(－6，－4)
　相似三角形的综合问题
11.(8分)某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究。
如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。
(1)(4分)兴趣小组的同学得出AC2=AD·AB。理由如下：
∵∠ACB=90°，∴∠A＋∠B=90°。 ∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°， ∴∠A＋∠ACD=90°， ∴∠B=①。 又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD， ∴=②， ∴AC2=AD·AB。
请完成填空：①　∠ACD　；② 　。
(2)(4分)如图2，F为线段CD上一点，连结AF并延长至点E，连结CE。当∠ACE=∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由。
解：(2)△AEB是直角三角形。理由如下：
∵∠ACE=∠AFC，∠CAE=∠FAC，
∴△ACF∽△AEC，∴，
∴AC2=AF·AE。
由(1)得AC2=AD·AB，
∴AF·AE=AD·AB，∴。
又∵∠FAD=∠BAE，∴△AFD∽△ABE，
∴∠ADF=∠AEB=90°，
∴△AEB是直角三角形。
12.(12分)如图，四边形ABCD内接于☉O，满足=2，连结AC，BD，延长BC，AD，两者相交于点E。
(1)(4分)若∠CAD=35°，求∠E的度数。
(2)(4分)求证：△ABE∽△CDE。
(3)(4分)若∠ABC=60°，AD=1，BD=3，求AB的长。
解：(1)∵=2，∠CAD=35°，
∴∠ACB=2∠CAD=70°，
∴∠E=∠ACB－∠CAD=35°。
(2)∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B＋∠ADC=180°。
又∵∠ADC＋∠CDE=180°，
∴∠ABC=∠CDE。
又∵∠E=∠E，
∴△ABE∽△CDE。
(3)如答图，过点C作CH⊥AB于点H。
第12题答图
∵=2，
∴∠ACB=2∠CAD，∠ADB=2∠DBE。
∵∠ACB=∠CAD＋∠E，∠ADB=∠DBE＋∠E，
∴∠DBE=∠E=∠CAE，
∴BD=DE=3，AC=CE，
∴AE=AD＋DE=4。
又∵CH⊥AE，
∴AH=EH=2，
∴DH=1。
∵∠ABC=∠CDE=60°，CH⊥AE，
∴∠DCH=30°，
∴DC=2DH=2，CH=，
∴AC=，∴AC=CE=。
∵△ABE∽△CDE，∴，
∴，∴AB=。

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