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第一章 因式分解 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列从左到右的变形中，是因式分解的是(　　)
A．(a＋3)(a－3)＝a2－9
B．x2＋x－5＝(x－2)(x＋3)＋1
C．x2＋1＝x
D．a2b＋ab2＝ab(a＋b)
2．下列因式分解正确的是(　　)
A．a3b＋ab3＝ab(a＋b)2
B．a2＋ab＋a＝a(a＋b)
C．4a2－b2＝(4a＋b)(4a－b)
D．2a2－4a＋2＝2(a－1)2
3．多项式8x2n－4xn提取公因式后，剩下的因式应是(　　)
A．4xn B．2xn－1
C．4xn－1 D．2xn－1－1
4．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：连，丽，美，大，滨，城．现将a2(x2－y2)－b2(x2－y2)因式分解，结果呈现的密码信息可能是(　　)
A．滨城 B．美丽滨城
C．滨城大连 D．美丽大连
5. 若x2＋(m－3)x＋4能用完全平方公式进行因式分解，则常数m的值为 (　　)
A．1或5 B．7或－1
C．5 D．7
6．已知a，b，c为三角形ABC的三边长，且满足b2c2－a2c2＝a4－b4，则三角形ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
7.长与宽分别为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b＋2a2b2＋ab3的值为(　　)
A．2 560 B．490
C．70 D．49
8.若n为任意整数，且(n＋2)2－kn2的值总能被4整除，则整数k不能取(　　)
A．－3 B．1
C．2 D．5
9．已知当x＝a时，多项式－x2＋8x－2 027的值最大，最大值是b，则a＋b的值为(　　)
A．－2 015 B．－2 007
C．2 007 D．2 015
10.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“致真数”，如8＝32－12，24＝72－52，即8，24均为“致真数”．在不超过50的正整数中，所有的“致真数”之和为(　　)
A．160 B．164
C．168 D．177
二、填空题(每题3分，共18分)
11．多项式x2－4y2与x2＋4xy＋4y2的公因式是____________．
12．因式分解：(2a－3b＋c)3＋(a＋2b－5c)3＋(－3a＋b＋4c)3＝________________________________．[提示：3项立方和公式：x3＋y3＋z3－3xyz＝(x＋y＋z)(x2＋y2＋z2－xy－yz－zx)]
13．已知a3＋2a2＋a＋2＝0，则a2 026－2a2 024＋4a2 023的值为______．
14．多项式4a2－9bn(其中n是小于10的自然数，b≠0)可以分解因式，那么n能取的值共有______个．
15．若关于x，y的二次六项式x2＋7xy－18y2－5x＋my－24可以分解成两个一次因式的积，则m的值为____________．
16．已知多项式x2＋bx＋c(其中b，c是常数)既是多项式x4＋6x2＋25的因式，也是多项式3x4＋4x2＋28x＋5的因式，则当x＝1时，x2＋bx＋c的值为________．
三、解答题(共72分)
17．(8分)把下列各式分解因式：
(1)(x＋y)2－6y(x＋y)＋9y2; (2)(x＋3)(x＋4)＋(x2－9)；
(3)(a2－a)2－8(a－2)(a＋1)－1; (4)x3－3x2－6x＋8.
18．(6分)用简便方法计算：
(1)－23.7×＋×1.3－2.6×；　(2)2 025＋2 0252－2 0262.
19．(7分)若在对多项式x2＋ax＋b进行分解因式时，甲看错了a的值，分解的结果是(x＋1)(x＋9)；乙看错了b的值，分解的结果是(x－2)(x－4)，则x2＋ax＋b分解因式正确的结果是多少？
20．(9分)已知x＋y＝5，(x－2)(y－2)＝－3，求下列代数式的值．
(1)xy；
(2)x2＋4xy＋y2；
(3)x2＋xy＋5y.
21．(12分)如图①，有足够多的边长为a的小正方形(A类)，宽为a、长为b的长方形(B类)以及边长为b的大正方形(C类)，发现利用图①中的三类图形可以拼出一些长方形来解释某些等式．
(1)用图①中的若干个图形(三类图形都要用到)拼成一个正方形，使其面积为(a＋b)2，画出图形，并根据图形填空：(a＋b)2＝________________．
(2)如图②是由图①中的三类图形拼出的一个长方形，根据图②可以得到并解释等式：________________________．
(3)用图①中的若干个图形(三类图形都要用到)拼成一个长方形，使其面积为a2＋4ab＋3b2，画出你的拼法，并根据你画的图形因式分解：a2＋4ab＋3b2.
22．(14分)阅读下列材料：因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法无法分解，如x2－2xy＋y2－16.我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．
过程如下：
x2－2xy＋y2－16＝(x－y)2－16＝(x－y＋4)(x－y－4)．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解：a2－6ab＋9b2－25；
(2)因式分解：x2－4y2－2x＋4y；
(3)△ABC的三边a，b，c满足a2＋c2＋2b2－2ab－2bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
23．(16分)问题：已知多项式x4＋mx3＋nx－16含有因式(x－1)和(x－2)，求m，n的值．
解：设x4＋mx3＋nx－16＝A(x－1)(x－2)(其中A为整式)，
取x＝1，得1＋m＋n－16＝0，①
取x＝2，得16＋8m＋2n－16＝0，②
由①，②解得m＝－5，n＝20.
根据以上阅读材料解决下列问题：
(1)若多项式3x3＋ax2－2含有因式(x－1)，求实数a的值；
(2)若多项式2x2＋mxy＋ny2－4x＋2y含有因式(x＋y－2)，求实数m，n的值；
(3)如果一个多项式与某正整数的差含有某个一次因式，则称这个正整数是这个多项式除以该一次因式的余数．请求出多项式x2 026＋2x1 013＋3除以一次因式(x＋1)的余数．
答案
一、1.D　2.D　3.B　4.D　
5．B 【点拨】由题意得x2＋(m－3)x＋4＝(x±2)2＝x2±4x＋4，∴m－3＝±4，∴m＝7或m＝－1.
6．A 【点拨】因为b2c2－a2c2＝a4－b4，即c2(b2－a2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，所以(a2＋b2)(a2－b2)－c2(b2－a2)＝0，所以(a2－b2)(a2＋b2＋c2)＝0，所以(a＋b)(a－b)(a2＋b2＋c2)＝0.因为a，b，c是三角形的三边长，所以a＋b>0，a2＋b2＋c2>0，所以a－b＝0，即a＝b，所以三角形ABC为等腰三角形．
7．B 【点拨】∵长与宽分别为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，∴ab＝10，a＋b＝7，∴a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2＝10×72＝490.故选B.
8．C 【点拨】(n＋2)2－kn2＝n2＋4n＋4－kn2＝(1－k)n2＋4(n＋1)．∵(n＋2)2－kn2的值总能被4整除，n为任意整数，∴(1－k)总能被4整除，∴整数k为－3，1，5均满足条件，故选C.
9．B 【点拨】－x2＋8x－2 027＝－x2＋8x－16－2 011＝－(x2－8x＋16)－2 011＝－(x－4)2－2 011.∵(x－4)2≥0，∴－(x－4)2≤0.∴－(x－4)2－2 011≤－2 011，即当x＝4时，－(x－4)2－2 011的值最大，最大值是－2 011.∴a＝4，b＝－2 011.∴a＋b＝4＋(－2 011)＝－2 007.
10．C 【点拨】设相邻的两奇数分别为2n＋1，2n－1(n≥1且n为正整数)，(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n，根据题意得8n≤50，∴n≤，∴n的最大值为6，当n＝6时，2n＋1＝13，2n－1＝11，∴32－12＋52－32＋…＋132－112＝132－12＝168.
二、11.x＋2y　
12．3(2a－3b＋c)(a＋2b－5c)(－3a＋b＋4c) 【点拨】设x＝2a－3b＋c，y＝a＋2b－5c，z＝－3a＋b＋4c，则x＋y＋z＝(2a－3b＋c)＋(a＋2b－5c)＋(－3a＋b＋4c)＝(2a＋a－3a)＋(－3b＋2b＋b)＋(c－5c＋4c)＝0.根据公式x3＋y3＋z3－3xyz＝(x＋y＋z)(x2＋y2＋z2－xy－yz－zx)，得当x＋y＋z＝0时，x3＋y3＋z3＝3xyz.所以(2a－3b＋c)3＋(a＋2b－5c)3＋(－3a＋b＋4c)3＝3(2a－3b＋c)(a＋2b－5c)(－3a＋b＋4c)．
13．0 【点拨】∵a3＋2a2＋a＋2＝a2(a＋2)＋(a＋2)＝(a2＋1)(a＋2)＝0，∴a＋2＝0，∴a＝－2，∴a2 026－2a2 024＋4a2 023＝a2 023(a3－2a＋4)＝(－2)2 023×[(－2)3－2×(－2)＋4]＝(－2)2 023×(－8＋4＋4)＝(－2)2 023×0＝0.
14．5 【点拨】多项式4a2－9bn(其中n是小于10的自然数，b≠0)可以分解因式，则n能取的值为0，2，4，6，8，共5个．
15．43或－78 【点拨】设x2＋7xy－18y2－5x＋my－24＝(x＋ay＋3)(x＋by－8)，∴x2＋7xy－18y2－5x＋my－24＝x2＋(a＋b)xy＋aby2－5x＋(－8a＋3b)y－24，∴ 解得或∴m＝－8a＋3b＝43或m＝－8a＋3b＝－78.
16．4 【点拨】∵多项式x2＋bx＋c(其中b，c是常数)既是多项式x4＋6x2＋25的因式，也是多项式3x4＋4x2＋28x＋5的因式，∴多项式x2＋bx＋c也必定是3(x4＋6x2＋25)与3x4＋4x2＋28x＋5的差的因式．∵3(x4＋6x2＋25)－(3x4＋4x2＋28x＋5) ＝14(x2－2x＋5)，∴x2－2x＋5＝x2＋bx＋c，∴b＝－2，c＝5，∴当x＝1时，x2＋bx＋c＝12－2＋5＝4.
三、17.【解】(1)原式＝(x＋y－3y)2＝(x－2y)2.
(2)原式＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)(x－3)＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)]＝(x＋3)(2x＋1)．
(3)原式＝(a2－a)2－8(a2－a－2)－1＝(a2－a)2－8(a2－a)＋16－1＝(a2－a－4)2－1＝(a2－a－4＋1)(a2－a－4－1)＝(a2－a－3)(a2－a－5)．
(4)原式＝x3－4x2＋x2－6x＋8＝x2(x－4)＋(x－4)(x－2)＝(x－4)(x2＋x－2)＝(x－4)(x＋2)(x－1)．
18．【解】(1)原式＝×(－23.7＋1.3－2.6)＝×(－25)＝－20.
(2)原式＝2 025－(2 0262－2 0252)＝2 025－(2 026＋2 025)×(2 026－2 025)＝2 025－2 026－2 025＝－2 026.
19．【解】∵甲看错了a的值，分解的结果是(x＋1)(x＋9)＝x2＋10x＋9，∴b＝9.
∵乙看错了b的值，分解的结果是(x－2)(x－4)＝x2－6x＋8，∴a＝－6，∴这个多项式为x2－6x＋9，
∴分解因式正确的结果为(x－3)2.
20．【解】(1)∵(x－2)(y－2)＝－3，∴xy－2(x＋y)＋4＝－3.又∵x＋y＝5，∴xy＝3.
(2)∵x＋y＝5，xy＝3，∴x2＋4xy＋y2＝(x＋y)2＋2xy＝25＋6＝31.
(3)x2＋xy＋5y＝x(x＋y)＋5y.∵x＋y＝5，∴x(x＋y)＋5y＝5x＋5y＝5(x＋y)＝5×5＝25.
21．【解】(1)画图如图①所示．
a2＋2ab＋b2
(2)(a＋2b)(2a＋b)＝2a2＋5ab＋2b2
(3)拼法如图②所示，
长方形的长为a＋3b，宽为a＋b，面积为(a＋3b)(a＋b)，
即a2＋4ab＋3b2＝(a＋3b)(a＋b)．
22．【解】(1)a2－6ab＋9b2－25＝(a－3b)2－25＝(a－3b－5)(a－3b＋5)．
(2)x2－4y2－2x＋4y＝(x－2y)(x＋2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．
(3)△ABC是等边三角形．
理由如下：∵a2＋c2＋2b2－2ab－2bc＝0，
∴(a2－2ab＋b2)＋(c2－2bc＋b2)＝0，
∴(a－b)2＋(b－c)2＝0.
∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，
∴a－b＝0，且b－c＝0，
∴a＝b，且b＝c，∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
23．【解】(1)设3x3＋ax2－2＝M(x－1)(其中M为整式)，
取x＝1，得3＋a－2＝0，解得a＝－1.
(2)设2x2＋mxy＋ny2－4x＋2y＝N(x＋y－2)(其中N为整式)，
取x＝0，y＝2，得4n＋4＝0，①
取x＝1，y＝1，得2＋m＋n－4＋2＝0，②
由①，②解得m＝1，n＝－1.
(3)设多项式x2 026＋2x1 013＋3除以一次因式(x＋1)的余数为b(b为正整数)，另一个因式为Q，则x2 026＋2x1 013＋3－b＝Q(x＋1)，
取x＝－1，得1－2＋3－b＝0，解得b＝2.
∴x2 026＋2x1 013＋3除以一次因式(x＋1)的余数为2.
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