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第五章 四边形 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(　　)
A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD
B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO
D．AB∥DC，AD＝BC
(第1题) (第2题)　　(第4题)
2．如图，在 ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且MC＝4， ABCD的周长是26，则DM＝(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
3．在梯形ABCD中，AD∥BC，则∠A?∠B?∠C?∠D可以等于(　　)
A．3?4?5?6 B．6?4?3?5
C．3?6?4?6 D．6?3?4?5
4．如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O.若∠AOB是某正n(n≥3)边形的一个外角，则n的值为(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
5．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是线段AB，CD，AC，BD的中点，则四边形EGFH的周长(　　)
A．只与AB，CD的长有关 B．只与AD，BC的长有关
C．只与AC，BD的长有关 D．与四边形ABCD各边的长都有关
(第5题)　(第6题)　(第7题)
6．如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，D的坐标分别是(0，0)，(2，3)，AB＝5，则顶点C的坐标是(　　)
A．(3，7) B．(5，3) C．(7，3) D．(8，2)
7．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
8.如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t s，当t为多少时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形？(　　)
A．2 B．3 C．6 D．2或6
(第8题)　(第9题)
(第10题)
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE，CE⊥AD，点F在AB上，连接EF，EF＝CE，若BC＝6，CD＝5，则线段BF的长为(　　)
A. B. C. D.
10．[山东省青岛市模拟]如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2BC，E是AB的中点，连接CE，OE.下列结论：①∠ACD＝30°；②CE平分∠DCB；③CD＝4OE；④S△COE＝S四边形ABCD.其中结论正确的序号是(　　)
A．①② B．②③④
C．①②③ D．①③④
二、填空题(每题3分，共18分)
11．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成7个三角形，那么这个多边形是__________边形．
12．如图，若直线m∥n，A，D在直线m上，B，E在直线n上，AB∥CD，AD＝5，BE＝8，△DCE的面积为6，则直线m与n之间的距离为__________．
(第12题)　(第13题)　(第14题)
13.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝60°，则∠FEG＝________．
14．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠B＝60°，若AB＝AD＝2，则等腰梯形ABCD的周长为________．
15．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E，F分别是边AD，CD上的动点，连接BE，EF，点G为BE的中点，点H为EF的中点，连接GH，则GH的最大值是________．
(第15题) 　　(第16题)
16.如图，点A，B为定点，直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值，其中会随着点P的移动而发生变化的是______(填序号)．
①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN与AB之间的距离；⑤∠APB的大小．
三、解答题(共72分)
17．(6分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，O为对角线AC的中点，过点O作直线EF，交DA的延长线于点E，交BC的延长线于点F，连接AF，CE.求证：四边形AECF是平行四边形．
18．(8分)已知A和B分别是两个多边形，阅读A和B的对话(如图)，完成下列各题．
(1)嘉嘉说：“因为B的边数比A多，所以B的外角和比A的大．”判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由．
(2)设A的边数为n(n≥3)．
①若n＝7，求x的值；
②淇淇说：“无论n取何值，x的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由．
19．(10分)如图，在等腰梯形ABCD中，∠A＝45°，AB＝10 cm，CD＝4 cm.等腰直角三角形PMN的斜边MN长10 cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上．如果等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1 cm/s的速度向右平移，直到点N与点B重合为止．
(1)等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由______________形变为______________形．
(2)当等腰直角三角形运动________s时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积最大，此时面积是________cm2.
(3)当等腰直角三角形运动4 s时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD的重叠面积是多少平方厘米？
20．(10分)如图①为便携式折叠椅，将其抽象成几何图形，如图②所示，测得AC＝EF＝50 cm，BD＝20 cm，GF＝80 cm，∠ABD＝127°，∠GFE＝53°，∠AGF＝90°，已知BD∥CE∥GF.
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
(2)求椅子最高点A到地面GF的距离．
21．(12分)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，E，F，H分别是OD，OA，CB的中点，FH交BD于点G.
(1)求证：线段FH与线段BE互相平分；
(2)若EF＝12，求GH的长度．
22．(12分)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝1，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED.
(1)如图①，将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AED，连接BE，求∠BED的大小；
(2)如图②，CD交BE于点F，求证：点F是BE的中点．
23．(14分)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴、y轴相交于A，B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E.
(1)求证：△BOC≌△CED.
(2)求点D的坐标．
(3)若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
答案
一、1.D　2.C　3.D　
4．D 【点拨】如图，连接OC，则∠BOC＝360°÷4＝90°，∠AOC＝360°÷6＝60°，
∴∠AOB＝∠BOC－∠AOC＝30°.
∵∠AOB是某正n边形的一个外角，
∴n＝360°÷30°＝12.
故选D.
5．B　6.C
7．A 【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，CD＝6，∴AB∥CD，AB＝CD＝6，∴∠CDP＝∠APD.∵DP平分∠ADC，∴∠ADP＝∠CDP，∴∠ADP＝∠APD，∴AP＝AD＝4，∴BP＝AB－AP＝6－4＝2.∵E是PD的中点，O是BD的中点，∴OE是△DPB的中位线，∴OE＝BP＝1.
8．D 【点拨】①当点F在点C的左侧时，根据题意，得AE＝t cm，BF＝2t cm，则CF＝BC－BF＝(6－2t) cm.∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝6－2t，解得t＝2；②当点F在点C的右侧时，根据题意，得AE＝t cm，BF＝2t cm，则CF＝BF－BC＝(2t－6) cm.∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝2t－6，解得t＝6.综上可得，当t＝2或6时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形．故选D.
9．A 【点拨】如图，延长FE交CD的延长线于点M，连接CF.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，BC＝AD＝6，AB＝CD＝5.∴∠AFE＝∠EMD.∵E为AD的中点，∴AE＝DE＝AD＝3.在△AEF和△DEM中， ∴△AEF≌△DEM，∴AF＝DM，EF＝EM.又∵EF＝CE，∴EF＝CE＝EM，∴易知∠FCM＝90°.∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，∴CE＝＝＝4，∴EF＝EM＝4，∴FM＝8.∵AB∥CD，∴∠BFC＝∠DCF＝90°.∴CF2＝BC2－BF2.设BF＝x，则AF＝DM＝5－x，∴CM＝10－x.在Rt△FCM中，
CF2＋CM2＝FM2，∴62－x2＋(10－x)2＝82，解得x＝，即BF＝.
10．C 【点拨】∵E是AB的中点，∴AB＝2BE＝2AE.又∵AB＝2BC，∴BC＝BE.又∵∠ABC＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴∠BEC＝∠BCE＝60°，EB＝EC＝BC＝AE，∴∠AEC＝120°，∴∠ACE＝∠CAE＝30°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD＝2BC，∴∠ACD＝∠CAE＝30°，∠BCD＝120°，∴∠DCE＝∠ACD＋∠ACE＝60°＝∠BCE.∴CE平分∠DCB.故①，②正确；∵E是AB的中点，O是AC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴BC＝2OE，∴CD＝2BC＝4OE.故③正确；∵O是AC的中点，∴S△AOE＝S△COE.∵E是AB的中点，∴S△ACE＝S△BCE＝2S△COE，∴S△ABC＝4S△COE.由平行四边形的性质得S四边形ABCD＝2S△ABC，∴S四边形ABCD＝8S△COE，即S△COE＝S四边形ABCD.故④不正确．∴正确的有①②③.故选C.
二、11.九　12.4　
13．20° 【点拨】∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，∴FG∥AD，FG＝AD，EG∥BC，EG＝BC，∴∠FGC＝∠DAC＝20°，∠AGE＝∠ACB＝60°，∴∠FGE＝∠FGC＋∠EGC＝20°＋(180°－60°)＝140°.∵AD＝BC，∴FG＝GE，∴∠GFE＝∠FEG，∴∠FEG＝×(180°－∠FGE)＝20°.
14．10 【点拨】如图，作DE∥AB交BC于点E.∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∠B＝∠DEC＝60°， ∴AB＝DE＝2，AD＝BE＝2.∵AB＝CD，∴CD＝DE＝2.∵∠DEC＝60°，∴△DEC是等边三角形，
∴EC＝CD＝2，∴梯形ABCD的周长为AD＋AB＋BC＋CD＝AD＋AB＋BE＋EC＋CD＝10.
15．5 【点拨】如图，连接BD，BF.∵长方形ABCD中，AB＝8，AD＝6，∴易得BD＝＝10，∴BF≤BD＝10.∵点G为BE的中点，点H为EF的中点，
∴GH是△EBF的中位线，∴GH＝BF≤×10＝5.当点F，D重合时，GH取得最大值，最大值为5.
16．②⑤ 【点拨】∵直线l∥AB，∴随着点P的移动，PA和PB的长会发生变化，∴△PAB的周长会发生变化，即②会发生变化；∠APB的大小也会发生变化，即⑤会发生变化；∵点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN为△PAB的中位线，∴MN∥AB，MN＝AB.∴直线MN与AB之间的距离不发生变化，即④不发生变化；∵点A，B为定点，∴AB的长固定，则线段MN的长不发生变化，即①不发生变化；设直线l与AB之间的距离为h，则h不变．∵S△PMN＝×AB·h＝AB·h，∴△PMN的面积不发生变化，即③不发生变化．故会随着点P的移动而发生变化的是②⑤.
三、17.【证明】∵AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO.
∵O为AC的中点，∴AO＝CO.
∴△AEO≌△CFO(AAS)．∴EO＝FO.
又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．
18．【解】(1)嘉嘉的说法不正确．
理由：多边形的外角和始终为360°，与多边形的边数无关．
(2)①由题意，得180×(7＋x－2)－180×(7－2)＝360，
解得x＝2，即x的值为2.
②180(n＋x－2)－180(n－2)＝360，
整理，得180x＝360，解得x＝2.
∴无论n取何值，x的值始终不变．
19．【解】(1)等腰直角三角；等腰梯 【点拨】如图①②，等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状如下：
开始是等腰直角三角形，当PN经过点D后，重叠部分的形状变为等腰梯形．
(2)10；21 【点拨】如图③，当点N与点B重合时，重叠部分的面积最大，最大为梯形ABCD的面积，此时运动时间为10÷1＝10(s)．过点D作DE⊥AB于点E.∵∠A＝45°，∴DE＝AE＝×(10－4)＝3(cm)，∴S梯形ABCD＝×(4＋10)×3＝21(cm2)．
　
(3)等腰直角三角形运动4 s时，此时重叠部分为等腰直角三角形，如图④，过点E作EH⊥AN于点H，则EH＝AN.
∵AN＝1×4＝4(cm)，
∴EH＝2 cm，∴S△EAN＝×4×2＝4(cm2)．
20．(1)【证明】∵BD∥CE∥GF，∠ABD＝127°，∠GFE＝53°，
∴∠ACE＝∠ABD＝127°，∠DEC＝∠GFE＝53°.
∴∠ACE＋∠DEC＝180°.∴BC∥DE.
∴四边形BCED是平行四边形．
(2)【解】∵四边形BCED是平行四边形，∴CE＝BD＝20 cm.延长AC交GF于点H，由(1)可知，CH∥EF.
又∵CE∥GF，
∴四边形CHFE是平行四边形．
∴CH＝EF＝50 cm，HF＝CE＝20 cm，
则AH＝AC＋CH＝100 cm，GH＝GF－HF＝60 cm.
∵∠AGF＝90°，∴AG＝＝80 cm，
即椅子最高点A到地面GF的距离为80 cm.
21．(1)【证明】如图，连接BF，EH.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵E，F，H分别是OD，OA，CB的中点，
∴BH＝BC，EF∥AD，EF＝AD＝BC.
∴EF∥BH，EF＝BH.
∴四边形BFEH是平行四边形．
∴线段FH与线段BE互相平分．
(2)【解】如图，连接EC，设EH与AC交于点M，同(1)可得四边形EFHC是平行四边形．∴EM＝MH.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴BD＝2OB.
又∵BD＝2AB，∴AB＝OB.
∵F为OA的中点，∴BF⊥OA.
∵四边形BFEH是平行四边形，
∴BF∥EH，∴EH⊥AC.
又∵EM＝MH，∴FH＝EF＝12，
∴GH＝FH＝6.
22．(1)【解】∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠CAB＝30°.
由旋转的性质，得AE＝AB，∠DAE＝30°＝∠CAB，∠AED＝∠ABC＝60°，
∴∠AEB＝∠ABE＝＝75°，
∴∠BED＝∠AEB－∠AED＝75°－60°＝15°.
(2)【证明】如图，过点E作EN∥BC，交CD的延长线于点N，
∴∠N＝∠FCB，∠FEN＝∠FBC.
由旋转的性质，得∠ADE＝∠ACB＝90°，AD＝AC，DE＝BC，
∴∠ADC＝∠ACD，∠ADC＋∠EDN＝90°＝∠ACD＋∠DCB.
∴∠EDN＝∠DCB.∴∠N＝∠EDN，
∴ED＝EN.∴EN＝BC，
∴△FNE≌△FCB(ASA)，∴EF＝BF，
∴点F是BE的中点．
23．(1)【证明】∵DE⊥x轴，∴∠CED＝90°＝∠BOC.
∵将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∴∠OCB＋∠ECD＝90°.
∵∠OBC＋∠OCB＝90°，
∴∠OBC＝∠ECD.
在△BOC和△CED中，
∴△BOC≌△CED.
(2)【解】当x＝0时，y＝4，∴B(0，4)．∴OB＝4.
∵△BOC≌△CED，∴OC＝ED，OB＝EC＝4.
设OC＝ED＝m，则OE＝4＋m，
∴D(4＋m，m)，
∴－(4＋m)＋4＝m，解得m＝，
∴4＋m＝4＋＝，
∴D.
(3)【解】存在，点Q的坐标为(－4，6)或(4，2)或. 【点拨】设Q.
①如图①，当CD为边，Q在第二象限时，
∵四边形CDPQ是平行四边形，
∴CD＝PQ，CD∥PQ.
∵C，D，
∴点C向右平移4个单位长度，再向上平移个单位长度得到点D，
∴点Q向右平移4个单位长度，再向上平移个单位长度得到点P.
∴n＋4＝0，解得n＝－4，
∴y＝－×(－4)＋4＝6，
∴Q(－4，6)．
②如图②，当CD为边，Q在第一象限时，
同理可得，点P向右平移4个单位长度，再向上平移个单位长度得到点Q，
∴0＋4＝n，解得n＝4，
∴y＝－×4＋4＝2，∴Q(4，2)．
③如图③，当CD为对角线时，
同理可得，点P向右平移个单位长度，再向上平移可得到点D，
∴点C向右平移个单位长度，再向上平移可得到点Q，
∴－0＝n－，解得n＝.
∴y＝－×＋4＝.
∴Q.
综上所述，点Q的坐标为(－4，6)或(4，2)或.
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