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鲁教版（五四制）八年级上册数学期末综合素质评价
时间：120分钟 总分：120分
一、选择题(每题3分，共30分)
1．若x2＋kx＋16能分解成两个一次因式的积，且k为整数，那么k不可能是(　　)
A．10 B．17 C．15 D．8
2．如图，把∠AOB沿着直线MN平移到∠CPD处，若∠AOM＝35°，∠DPN＝40°，则∠AOB的度数为(　　)
A．105° B．115° C．125° D．75°
(第2题) (第5题)
(第7题)　(第8题)
3．在“五·四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是(　　)
A．中位数是95 B．方差是3 C．众数是95 D．平均数是94
4．[山东省聊城市模拟]如果a2＋3a－2＝0，那么代数式·的值为(　　)
A．1 B. C. D.
5．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝1，BD平分∠ABC，BD⊥CD，则AD＋BC的值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
6．若关于x的分式方程－＝0的解是负数，则a的取值范围是(　　)
A．a<－3 B．a<3
C．a<－3且a≠－7 D．a<3且a≠1
7．如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′，点B′恰好落在BC边上，B′C′和CD交于点P，则∠B′PD的度数是(　　)
A．105° B．120° C．130° D．135°
8．[河南自主招生]如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O在原点上，OA边在x轴的正半轴上，AB⊥x轴，AB＝CB＝2，OA＝OC，∠AOC＝60°，将四边形OABC绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第999次旋转结束时，点C的坐标为(　　)
A．(－3，) B．(3，－) C．(－，1) D．(1，－)
9．如图，在 ABCD中，AB⊥AC，点E是AD的中点，作EF⊥BD于点F，已知AB＝4，AC＝6，则EF的长为(　　)
A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．0.6
(第9题)　　(第10题)
10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，点E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H，连接EF，ED，则下列结论：①ED⊥CA；②FH＝FD；③S△EFD＝S△ACD.其中正确的是(　　)
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题(每题3分，共18分)
11．因式分解：4a3b－4a2b2＋ab3＝____________.
12．已知一组数据x1，x2，x3，…，xn，其平均数为1，方差为，则另一组数据5x1－2，5x2－2，5x3－2，…，5xn－2的平均数为________，标准差为________．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A(3，0)，点B(0，2)，连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连接OC，则线段OC的长度为________．
(第13题)　(第14题)　(第16题)
14．如图，在 ABCD中，AB＝5，AD＝8，∠A＝60°，将 ABCD折叠，使得点B与点D重合，折痕EF交AD，BC于点E，F，则AE＝________．
15．若整数a使关于x的不等式组有且只有2个偶数解，且关于y的分式方程＋1＝有整数解，则符合条件的所有整数a的和为________．
16．[宁波竞赛题]如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC>AD)，∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝2，AE＝4，则直角梯形ABCD的面积为________．
三、解答题(共72分)
17．(12分)(1)因式分解：①(x－3)(x＋4)＋x2－6x＋9；
②6x3－11x2＋x＋4.
(2)解方程：①＋1＝； ②＋＝1.
18．(6分)已知W＝÷.
(1)化简W；
(2)请从－2，2，0，3，4中选取合适的整数a代入W，求出W的值．
19．(8分)[济南市钢城区期末]在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形(顶点在网格线的交点上)．
(1)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标；
(2)把(1)中的△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
(3)若(2)中的△A2B2C2与△ABC成中心对称，则对称中心的坐标为________．
20．(10分)某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩(成绩为百分制，用x表示)，并将其分成如下四组：60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100.
下面给出了部分信息：
80≤x<90的成绩为81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89.
模型设计成绩的频数分布直方图
　模型设计成绩的扇形统计图
根据以上信息解决下列问题：
(1)请补全频数分布直方图；
(2)所抽取学生的模型设计成绩的中位数是__________分；
(3)请估计全校1 000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；
(4)根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按3∶2的比例确定这次活动个人的综合成绩．
某班甲、乙两名学生的模型设计成绩与科技小论文成绩(单位：分)如下：
模型设计 科技小论文
甲的成绩 94 90
乙的成绩 90 95
通过计算判断甲、乙哪名学生的综合成绩更高．
21．(12分)遵义某社区玩具店主营A种热门益智玩具，受市场调整影响，今年五月份售价比去年同期每个降价30元．若卖出相同数量的玩具，去年销售额可达6 000元，今年销售额仅为5 250元．
(1)今年五月份A种型号玩具每个售价多少元？
(2)为丰富品类，店铺今年计划新增B种遵义文创玩具(印有遵义会议会址、赤水瀑布等本地风景图案)．已知A种玩具每个进价170元，B种玩具每个进价120元，店铺预计用不多于3 000元的资金购进这两种型号的玩具共20个，其中A种玩具至少购进8个，共有几种进货方案？
(3)若B种玩具每个售价170元，为推广本地文创玩具，店铺今年推出促销活动：每售出一个B种玩具，返还顾客现金a元．要使(2)中每种方案的总利润相同，此时a的值应是多少？
22．(12分)如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC，连接DE.
(1)求证：四边形BDEF是平行四边形．
(2)判断线段BF，AB，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．
(3)点P是△ABC的边AB上的一点，若S△DCE＝3，请直接写出△DPE的面积(不需要写出解答过程)．
23．(12分)(1)如图①，O是等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD.
①旋转角的度数为________．
②线段OD的长为________．
③求∠BDC的度数．
(2)如图②，O是等腰直角三角形ABC(∠ABC＝90°)内一点，连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD，当OA，OB，OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．
答案
一、1.C 【点拨】∵16可以分解成1×16，2×8，4×4，(－1)×(－16)，(－2)×(－8)，(－4)×(－4)，∴k的值可以是±17，±10，±8，故k不可能是15.
2．A 【点拨】∵把∠AOB沿着直线MN平移到∠CPD处，∴BO∥DP.∴∠BON＝∠DPN＝40°.又∵∠AOM＋∠AOB＋∠BON＝180°，∴∠AOB＝180°－40°－35°＝105°.故选A.
3．B　4.B　5.B　
6．C 【点拨】－＝0，方程两边同时乘以(x＋2)(x－2)，得a－1－2(x－2)＝0，解得x＝.∵该方程的解是负数，∴<0，解得a<－3.∵x＝±2是该方程的增根，∴≠2，解得a≠1，≠－2，解得a≠－7.综上所述，a的取值范围是a<－3且a≠－7.
7．D 【点拨】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD.∴∠B＋∠C＝180°.由旋转的性质，得AB＝AB′，∠BAB′＝30°，∠AB′C′＝∠B，∴∠B＝∠AB′B＝(180°－30°)÷2＝75°，∴∠AB′C′＝∠B＝75°，∠C＝180°－75°＝105°，∴∠PB′C＝180°－2×75°＝30°.∴∠B′PD＝∠PB′C＋∠C＝30°＋105°＝135°.故选D.
8．B
9．A 【点拨】∵四边形ABCD为平行四边形，AB⊥AC，∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD，S△ACD＝S△ABC＝AB·AC＝×4×6＝12，∴OB＝＝5，∴OD＝OB＝5.∵OA＝OC，∴S△AOD＝S△ACD＝6.如图，连接OE.∵点E是AD的中点，∴S△EOD＝S△AOD＝3.
∵EF⊥BD，∴S△EOD＝OD·EF＝×5EF＝3，∴EF＝1.2.
10．A 【点拨】①∵四边形ABCD是平行四边形，∴BD＝2DO.又∵BD＝2AD，∴DO＝AD.又∵E为OA的中点，∴ED⊥CA.故①正确；②如图，连接FG，BE.∵G是CD的中点，∴DG＝CG＝CD.∵E，F分别是OA，OB的中点，∴EF＝AB，EF∥AB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴EF＝DG，EF∥CD，∴四边形EFGD是平行四边形，∴FH＝FD.故②正确；③∵F是OB的中点，∴S△OEF＝S△BOE.∵E是OA的中点，∴S△OEF＝S△BOE＝×S△BOA＝S△BOA.∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴O是AC的中点，S△ACD＝S△ABC.∴S△OEF＝S△BOA＝×S△ABC＝S△ABC＝S△ACD.∵E是AO的中点，O是AC的中点，∴S△DOE＝S△AOD＝×S△ACD＝S△ACD.
∴S△EFD＝S△OEF＋S△DOE＝S△ACD＋S△ACD＝S△ACD.故③不正确．故选A.
二、11.ab(2a－b)2
12．3； 【点拨】∵数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为1，∴另一组数据5x1－2，5x2－2，5x3－2，…，5xn－2的平均数为5×1－2＝3.∵数据x1，x2，x3，…，xn的方差为，∴另一组数据5x1－2，5x2－2，5x3－2，…，5xn－2的标准差为＝.
13. 【点拨】如图，过点C作CH⊥x轴于点H，则∠AHC＝90°.∵A(3，0)，B(0，2)，∴OA＝3，OB＝2.∵∠BAC＝90°＝∠AHC，∴∠BAO＋∠HAC＝90°，∠HAC＋∠ACH＝90°，∴∠BAO＝∠ACH.
又∵AB＝AC，∠AOB＝∠CHA＝90°.∴△ABO≌△CAH(AAS)，∴AH＝OB＝2，CH＝OA＝3，∴OH＝OA＋AH＝3＋2＝5，∴OC＝＝＝.
14. 【点拨】设AE＝2x，则DE＝8－2x.作EL⊥GD于点L，则∠GLE＝∠DLE＝90°.由折叠的性质可知GD＝AB＝6，GE＝AE＝2x，∠G＝∠A＝60°.∴∠GEL＝90°－60°＝30°，∴GL＝GE＝x，∴DL＝GD－GL＝6－x.∵GE2－GL2＝DE2－DL2＝LE2，∴(2x)2－x2＝(8－2x)2－(6－x)2，解得x＝，∴AE＝2x＝.
15．10 【点拨】不等式x－a≤4x－1的解集为x≥，
不等式x－3<的解集为x<4.
∵关于x的不等式组有且只有2个偶数解，
∴－2<≤0，解得1≤a<7.
∵a为整数，∴a可取1，2，3，4，5，6.
将分式方程＋1＝的两边都乘以y－2，得
3y－4＋y－2＝2y－a，解得y＝3－.
又∵关于y的分式方程＋1＝有整数解，
∴a为偶数，y≠2，即3－≠2，解得a≠2.
∴a＝4或a＝6，
∴符合条件的所有整数a的和为4＋6＝10.
16．27 【点拨】如图，过C作CG⊥AD，交AD的延长线于G，延长AD至F，使GF＝BE，连接CF，则∠CGA＝∠CGF＝90°.∵BE＝2，AE＝4，∴AB＝AE＋BE＝6.∵AB＝BC，∴BC＝6.在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°.易知四边形ABCG为正方形，∴BC＝CG.∵∠B＝∠CGF＝90°，∴△BCE≌△GCF(SAS)，∴CE＝CF，∠BCE＝∠GCF，BE＝GF＝2.∵AG＝AB＝6，∴AF＝AG＋GF＝8.∵∠DCE＝45°，∴∠BCE＋∠DCG＝∠BCG－∠DCE＝45°，∴∠GCF＋∠DCG＝45°，即∠DCF＝45°，∴∠DCE＝∠DCF.又∵CD＝CD，∴△DCE≌△DCF(SAS)，∴DE＝DF.设AD＝x，则DE＝DF＝8－x，
∵AD2＋AE2＝DE2，∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，∴AD＝3，∴S梯形ABCD＝(AD＋BC)·AB＝×(3＋6)×6＝27.
三、17.【解】(1)①原式＝(x－3)(x＋4)＋x2－6x＋9＝(x－3)(x＋4)＋(x－3)2＝(x－3)[(x＋4)＋(x－3)]＝(x－3)(2x＋1)．
②原式＝(6x3－6x2)－(5x2－x－4)＝6x2(x－1)－(5x＋4)(x－1)＝(x－1)(6x2－5x－4)＝(x－1)(3x－4)(2x＋1)．
(2)①方程两边都乘x－3，得2x＋x－3＝－6，解得x＝－1，
检验：当x＝－1时，x－3≠0，∴x＝－1是分式方程的解．
②方程两边同时乘以1－x2，得－(x＋1)2＋4＝1－x2，
去括号，得－x2－2x－1＋4＝1－x2，
移项、合并同类项，得－2x＝－2，
系数化1，得x＝1，
检验：当x＝1时，1－x2＝0，
∴x＝1是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
18．【解】(1)原式＝·
＝·
＝.
(2)∵当a＝2或－2或0时，W无意义，∴a可以为3或4.
当a＝3时，W＝＝；
或当a＝4时，W＝＝.
19．【解】(1)如图，△A1B1C1即为所求，
A1(3，0)，B1(5，－3)，C1(1，－1)．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
(3)(0，2)
20．【解】(1)补全图形如图所示：
(2)83 【点拨】∵5＋15＝20，而80≤x<90的成绩为81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89，∴50名学生的成绩按照从小到大排列后，排在第25个、第26个的数据分别是83，83，∴中位数为×(83＋83)＝83(分)．
(3)全校1 000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为
1 000×＝600.
(4)甲的成绩为94×＋90×＝92.4(分)，
乙的成绩为90×＋95×＝92(分)．
∵92.4＞92，∴甲的综合成绩更高．
21．(1)【证明】设今年五月份A种型号玩具每个售价为x元，
根据题意，得＝，解得x＝210，
经检验，x＝210是原方程的解．
答：今年五月份A种型号玩具每个售价为210元．
(2)【解】BF＝(AB－AC)．证明：设A种玩具购进m个，则B种玩具购进(20－m)个，
根据题意得解得8≤m≤12.
∵m为整数，∴m可取8，9，10，11，12，
∴共有5种进货方案．
(3)设总利润为w元，
w＝(210－170)m＋(170－120－a)(20－m)＝(a－10)m＋1 000－20a.
∵要使(2)中每种方案的总利润相同，
∴a－10＝0，解得a＝10.
22．(1)【证明】延长CE交AB于点G.
∵AE⊥CE，∴∠AEG＝∠AEC＝90°.
∵AE平分∠BAC，∴∠GAE＝∠CAE.
在△AEG和△AEC中，
∴△AEG≌△AEC(ASA)，∴GE＝EC.
又∵点D是边BC的中点，
∴DE为△CGB的中位线，∴DE∥AB.
又∵EF∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形．
(2)【解】BF＝(AB－AC)．
证明：∵四边形BDEF是平行四边形，∴BF＝DE.
∵DE为△CGB的中位线，∴BF＝DE＝BG.
∵△AEG≌△AEC，∴AG＝AC.
∴BF＝(AB－AG)＝(AB－AC)．
(3)【解】S△DPE＝3.
23．【解】(1)①60°　②4
③∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.
∵△BCD是由△BAO绕点B顺时针旋转后得到的，OA＝3，OB＝4，
∴CD＝AO＝3，BD＝BO＝4，∠OBD＝∠ABC＝60°，
∴△BOD为等边三角形，∴∠BDO＝60°，OD＝OB＝4.
在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5.
∵32＋42＝52，∴CD2＋OD2＝OC2.
∴△OCD为直角三角形，且∠ODC＝90°.
∴∠BDC＝∠BDO＋∠ODC＝60°＋90°＝150°.
(2)当OA2＋2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°.
证明：∵△BCD是由△BAO绕点B顺时针旋转后得到的，
∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO.
∴OD2＝OB2＋BD2＝2OB2.
∵当CD2＋OD2＝OC2时，∠ODC＝90°，
∴当OA，OB，OC满足OA2＋2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°.
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