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集合与逻辑用语
知识点一 元素与集合
元素：把研究对象统称为元素，常用小写拉丁字母a,b,c...表示
(2)集合:
集合中元素的三个特性
确定性：集合中的元素是确定的．
(2)互异性：同一集合中的元素是互不相同的．
(3)无序性：集合中的元素没有顺序．
练习：1.(多选)下列所给对象能构成集合的是(　　)
A．平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点 B．高中数学必修第一册课本上的所有难题
C．比较接近1的整数的全体 D．某校高一年级的16岁以下的学生
知识点二 元素与集合的关系
(1)元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a A a不属于集合A
(2)常用的数集及其记法
常用数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N＋ Z Q R
练习：1.(多选)集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是(　　)
A． M B．0∈M C．1∈M D．－ M
2.已知集合A中元素x满足2x＋a>0，a∈R，若2∈A，则实数a的取值范围为________．
3.方程x2＋2x－8＝0和方程x2＋x－12＝0的所有实数解组成的集合为M，则M中的元素个数为________．
4．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是(　　)
A．1∈M B．0∈M C．－1∈M D．－2∈M
5．(多选)集合A中含有三个元素2，4，6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为(　　)
A．2 B．－2 C．4 D．6
6.(多选)下面几个命题中正确的有(　　)
A．集合N*中最小的数是1 B．若－a N*，则a∈N*
C．若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2 D．x2＋4＝4x的解集中有2个元素
知识点三 集合的表示方法
1.列举法：将元素一一列举出来，中间用逗号隔开并用花括号括起来的方法
2.描述法：
前提条件 A是一个集合
要表示的集合 集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合
形式 {x∈A|P(x)}
结论 对于任何y∈{x∈A|P(x)}，都有y∈A且P(y)成立
练习：1.用描述法表示下列集合：
(1)大于1且小于8的有理数；
(2)函数y＝－x的图象上的点组成的集合；
(3)数轴上与原点的距离大于3的点组成的集合．
2.已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1)若1∈A，用列举法表示A；(2)当集合A中有且仅有一个元素时，求a的值组成的集合B.
3.由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是(　　)
A.{x|－3C.{x|－34．已知集合A＝{(x，y)|x＋y≤2，x，y∈N}，则A中元素的个数为________．
5．(多选)方程组的解集可以表示为(　　)
A. B．C.{1，2} D．{(x，y)|x＝1，y＝2}
6.已知集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，R＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，a∈P，b∈Q，则(　　)
A.a＋b∈P B.a＋b∈Q C.a＋b∈R D.a＋b不属于P，Q，R中的任意一个
7.已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，即a＋b＝________．
8.集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}．
(1)若集合A中有两个元素，求k的取值范围；
(2)是否存在实数k使集合A与集合{1}相等？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
知识点四 集合间的基本关系 ：子集、真子集、集合相等的概念
①子集的概念
文字语言 符号语言 图形语言
集合A中 任意一个 元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有 包含关系 ，称集合A是集合B的子集 A B (或B A)
②集合相等
如果集合A是集合B的子集(A B)，且集合B是集合A的子集(B A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.
③真子集的概念
文字语言 符号语言 图形语言
如果集合A B，但存在元素 x∈B，且x A ，称集合A是集合B的真子集 A B(或B A)
④空集
定义：不含任何元素的集合叫做空集．用符号表示为： .规定：空集是任何集合的子集．
集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，①若A B，且B C，则A C； ②若A B，B C，则A C.
子集、真子集的个数问题
集合 元素个数 所有子集 子集个数
{a} 1个 ，{a} ________个
{a，b} 2个 ，{a}，{b}，{a，b} ________个
{a，b，c} 3个 ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} ________个
规律：由上表可得出“元素个数”与“子集个数”之间关系是：若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
练习：1.已知集合A＝{a－2，1，2}，且－3∈A，试写出集合A的子集，并写出集合A的真子集．
2.已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|11)，且B A，求实数m的取值范围．
3.下列四个集合中，是空集的是(　　)
A．{x|x＋3＝3} B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R}
C．{x|x2≤0} D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R}
4.设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B确切的关系是________．
5.若整数x，y能使{2x，x＋y}＝{7，4}成立，则xy＝________．
6.若一个集合含有n个元素，则称该集合为“n元集合”．已知集合A＝，则其“2元子集”的个数为(　　)
A．6 B．8 C．9 D．10
7.设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系； (2)若B A，求实数a的取值集合．
8.已知集合M＝{x|－2≤x≤5}，N＝{x|a＋1≤x≤2a－1}．
(1)若M N，求实数a的取值范围；
(2)若M N，求实数a的取值范围；
(3)是否存在实数a，使M＝N？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
知识点五 交集
[微点拨]
(1)A∩B仍是一个集合．
(2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B.
(3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝ .
练习：1.设集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝，则A∩B＝________．
2.设集合M＝{x|03.若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x|x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
{2} B．{3} C．{－3，2} D．{－2，3}
4.已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3，或x＞5}，则A∩B＝(　　)
A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4，或x＞5} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2，或x＞5}
知识点六 并集
[微点拨]
(1)A∪B仍是一个集合．
(2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x B；②x∈A且x∈B；③x A且x∈B.
练习：1.设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝________．
2.已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝________．
3.设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝(　　)
A．{x|2＜x≤3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x＜4} D．{x|1＜x＜4}
3.(多选)满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A可能是(　　)
A．{5} B．{1，5} C．{1，3} D．{1，3，5}
4.已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N＝________．
5.(多选)设集合A＝{x|2＋x≥4}，集合B＝{x|－1≤x≤5}，则(　　)
A.A∩B＝{x|－1≤x≤2} B．A∩B＝{x|2≤x≤5}
C.A∪B＝{x|x≥－1} D．A∪B＝{x|x≥2}
6．若集合A＝{x|－32}，则A∪B＝________，A∩B＝________．
7．集合A＝{(0，1)，(1，1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________．
8.设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．
(1)求a，b的值及A，B；(2)求(A∪B)∩C.
9.已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1(1)若m＝－3，求A∩B； (2)若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
知识点七 补集
1.全集
(1)概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：通常记作 U．
2．补集
练习：1.已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－22.已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则 A(A∩B)＝(　　)
A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5}
3.设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则( RS)∪T＝(　　)
A．{x|－24．设全集U＝{2，4，a2}，集合A＝{4，a＋3}， UA＝{1}，则a的取值为(　　)
A．－3 B．3 C．－1 D．1
5.(多选)已知集合A＝{x|－1A．A∩B＝ B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪( RB)＝{x|x≤－1，或x>2} D．A∩( RB)＝{x|26.已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．
(1)若( RA)∪B≠R，求a的取值范围； (2)若A∩B≠A，求a的取值范围．
知识点八 命题
(1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
(2)分类：判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题．
(3)结构：“若p，则q”“如果p，那么q”
知识点九 充分条件与必要条件
如果p q且q p，则称p是q的充分不必要条件；
如果p q且q p，则称p是q的必要不充分条件；
如果p q且q p，则称p是q的充要条件
如果pq且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
练习：1.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的________．
2．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(　　)
A．x<0，y<0 B．x<0，y>0 C．x>0，y>0 D．x>0，y<0
3.设集合A＝{－1，p，2}，B＝{2，3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的________．
4.设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N M”的________．
5．等式|a＋b|＝|a|＋|b|成立的充要条件是(　　)
A．ab＝0 B．ab<0 C．ab≥0 D．ab≤0
6.设集合A＝{－10}，条件p：x∈A，条件q：x∈B.
(1)若p是q的充要条件，求正实数m的取值范围；
(2)若p是q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围．
知识点十 全称量词与全称量词命题
全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给
符号表示
全称量词命题 含有全称量词的命题
形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)”
[微点拨]
(1)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“凡是”．
(2)全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来．
知识点十一 存在量词与存在量词命题
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个，有些、有的、对某些
符号表示
存在量词命题 含有存在量词的命题
形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“ x∈M，p(x)”
[微点拨]
(1)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等．
(2)存在量词命题含有存在量词，有些存在量词命题中的存在量词是省略的，理解时需要把它补充出来．
练习：1.下列命题是存在量词命题的是(　　)
A．函数y＝x2的图象的顶点为(0，0) B．正方形都是平行四边形
C．不相交的两条直线是平行直线 D．存在实数大于或等于3
2．下列四个命题中，是真命题的为(　　)
A．任意x∈R，有x2＋3<0 B．任意x∈N，有x2>1
C．存在x∈Z，使x5<1 D．存在x∈Q，使x2＝3
3．已知命题p：“ x∈R，关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根”是真命题，则实数m的取值范围是(　　)
A．m<3 B．m>3 C．m≤3 D．m≥3
4．(多选)下列命题是全称量词命题，且是真命题的是(　　)
A．菱形的对角线互相垂直 B． n∈N*，<1
C． x∈R，x2＝0 D．对任意x∈R，x2＋x＋1>0
5.已知命题p： x∈R，x2＋x＋2－a<0为真命题，求实数a的取值范围．
6.若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是________．
知识点十二 含量词的命题的否定
p p 结论
全称量词命题 x∈M，p(x) x∈M， p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题 x∈M，p(x) x∈M， p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题
练习：1.(多选)关于命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　)
A． p： x∈R，x2＋1＝0 B． p： x∈R，x2＋1＝0
C．p是真命题， p是假命题 D．p是假命题， p是真命题
2.命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围．
3.已知方程(a＋5)x2＋2(a＋1)x＋a－5＝0.
(1)若 a∈R，使方程只有一个实根，求a的值；
(2)若 a∈M，方程至少有一个实根，求集合M.
4.已知命题p： x∈R，使x2＋ax＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．
知识点十三 不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 ac>bc c的符号
ac5 同向可加性 a＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 ac>bd 同向
7 可乘方性 a>b>0 an>bn (n∈N，n≥2) 同正
练习：1.已知12.若1A.－33.(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　)
A.若a>b，c>d，则ac>bd B.若ab>0，bc－ad>0，则－>0
C.若a>b，c>d，则a－d>b－c D.若a>b，c>d>0，则>
4.(多选）下列命题中是真命题的是(　　)
A.若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1 B. x∈R，2x＝x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1 D． x∈R，x2＋2≤0
5.(多选）已知全集U＝A∪B，集合A＝{1，3，4}，B＝，则(　　)
A．集合A的真子集有8个 B．{1}∈U
C．U中的元素个数为5 D． UA B
6.(多选）定义集合运算：A B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{，}，
B＝{1，}，则(　　)
A．当x＝，y＝时，z＝1
B．x可取两个值，y可取两个值，z＝(x＋y)×(x－y)对应4个式子
C．A B中有4个元素
D．A B的真子集有7个
第一章知识网络：