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期末　学情评估
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．若关于x的方程(a＋1)x2＋x－2＝0是一元二次方程，则a满足(　　)
A．a≠－1 B．a≠1
C．a≠±1 D．a为任意实数
2．某班9名学生参加定点投篮测试，每人投篮10次，投中的次数统计如下：3，6，4，6，4，3，6，5，7.这组数据的中位数和众数分别是(　　)
A．5，4 B．5，6
C．6，5 D．6，6
3．已知方程x2－3x＋2＝0的两根是x1，x2，则＋的值是(　　)
A．1 B．2
C．1.5 D．2.5
4．如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点(点P不与点O，B重合)，连接CP.若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是(　　)
A．70° B．105°
C．125° D．155°
(第4题)　　　(第7题)　(第8题)
5．在一个不透明的袋子里，装有3个红球、2个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是(　　)
A. B.
C. D.
6．若关于x的方程(x－4)2＝m＋1有实数根，则m的取值范围是(　　)
A．m≥0 B．m≥－1
C．m＞－1 D．m＞1
7．如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分的面积为(　　)
A. B.
C. D.
8．如图，AB是半圆O的直径，弦EF∥AB，点C在OA上(点C不与点O，A重合)，点D在上，连接CD，DE，CF，且∠ACD＝∠BCF，若AB＝a，CD＝b，CF＝c，则DE2的值为(　　)
A．a2－b2＋c2 B．a2＋b2－c2
C．(a＋b)2－c2 D．a2－(b＋c)2
二、填空题(每小题2分，共20分)
9．写出一个两根分别为－1和0的一元二次方程：________________．
10．甲、乙两名同学5次数学考试的平均成绩都是102分，方差分别为s甲2＝38，s乙2＝15，则________同学的数学成绩更稳定．
11．若圆锥的底面圆半径是2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积是________．
12．小明本学期数学综合实践活动、期中考试及期末考试的成绩分别是88分、90分和90分，各项占学期成绩的百分比分别为10%、40%、50%，则小明的数学学期成绩是________分．
13．如图，以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则正六边形ABCDEF至少旋转________°.
(第13题)　(第17题)　(第18题)
14．若一组数据3，x，4，5，6的唯一众数是5，则这组数据的中位数是________．
15．已知整数c使方程x2－2x＋c＝0无实数根，则c的值可以是________．
16．一个不透明布袋里装有4个红球和5个白球(这些球除颜色外其余均相同)，现在放进去n个黄球(仅颜色不同)．若从中任意摸出的1个球是黄球的概率为，则n＝________．
17．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E，＝2，连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F.若∠AFB＝68°，则∠DEB＝________°.
18．如图，AC，BC是⊙O的两条弦，M是的中点，作MF⊥AC，垂足为F，若BC＝，AC＝3，则AF＝________．
三、解答题(共76分)
19．(8分)选择适当的方法解下列方程：
(1)(x－3)2＝4; (2)x2－4x－5＝0.
20．(8分)某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，八(1)班、八(2)班各选取五名选手参赛．两班参赛选手成绩(单位：分)依次如下：
八(1)班：8，8，7，8，9.
八(2)班：5，9，7，10，9.
学校根据两班的成绩绘制了如下不完整的统计表：
班级 平均数/分 众数/分 中位数/分
八(1)班 8 b c
八(2)班 a 9 9
根据以上信息，请解答下面的问题：
(1)填空：a＝________，b＝________，c＝________；
(2)已知八(1)班成绩的方差是0.4，请你计算八(2)班成绩的方差，并从方差的角度分析哪个班级成绩更稳定．
21．(8分)在5张相同的小纸条上，分别写有：①；②；③1；④乘法；⑤加法．将这5张小纸条做成5支签，①②③放在不透明的盒子A中搅匀，④⑤放在不透明的盒子B中搅匀．
(1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到无理数的概率是________；
(2)先从盒子A中任意抽出2支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率．
22．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)求作⊙P，使圆心P在BC上，且⊙P与AC，AB都相切；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若AC＝4，BC＝3.求⊙P的半径．
23．(8分)某青年党支部在精准扶贫活动中，给贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗每棵的价格比甲种树苗每棵的价格少2元，用2 400元购买乙种树苗的数量恰好是用4 800元购买甲种树苗的数量的.
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元；
(2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗，购买甲种树苗的数量与第一次相同，购买乙种树苗的数量比第一次多5m棵，而甲种树苗和乙种树苗均有涨价，甲种树苗每棵的价格比第一次购买时的价格高元，乙种树苗每棵的价格比第一次购买时的价格高元，最终发现第二次购买两种树苗的总费用比第一次购买两种树苗的总费用高220m元，求m的值．
24．(12分)如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，点C在⊙O上，CE⊥AB于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，且CE＝CF.
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若CF＝，∠BAF＝60°，求阴影部分的面积．
25．(12分)材料：已知a，b均不为0，若分式的值为0，则x＝a或x＝b，因为＝＝x－(a＋b)＋，即x－(a＋b)＋＝0，所以关于x的方程x＋＝a＋b的两个解为x1＝a，x2＝b.如：方程x－＝－1可写成x＋＝－2＋1，所以此方程的两个解为x1＝－2，x2＝1.
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)方程x＋＝－8的两个解为x1＝________，x2＝________；
(2)若方程x－＝2的两个解为x1＝m，x2＝n，求＋－6的值；
(3)若关于x的方程x－＝5t－6的两个解x1，x2满足2x1＋x2＝－，求t的值．
26．(12分)【阅读材料】如图①所示，对于平面内⊙P，在⊙P上有弦AB，取弦AB的中点M，我们把弦AB的中点M到某点或某直线的距离叫作弦AB到这点或这条直线的“密距”．例如：图①中线段MO的长度即为弦AB到原点O的“密距”．过点M作y轴的垂线交y轴于点N，线段MN的长度即为弦AB到y轴的“密距”．
【类比应用】已知⊙P的圆心为P(0，8)，半径为4，弦AB的长度为4，弦AB的中点为M.
(1)如图②所示，如果弦AB在⊙P上运动，在运动过程中，圆心P到弦AB的中点M的距离变化吗？若不变化，请求出PM的长；若变化，请说明理由．
(2)如图②所示，当AB∥y轴时，求弦AB到原点O的“密距”．
(3)如图②所示，如果弦AB在⊙P上运动，在运动过程中求出弦AB到原点O的“密距”d的取值范围．
答案
一、1.A　2.B　3.C　4.D　5.C　6.B　7.B　8.D
二、9.x(x＋1)＝0(答案不唯一)　10.乙　11.6π　12.89.8
13．60　14.5　15.2(答案不唯一)　16.3　17.66　18.
三、19.解：(1)x1＝5，x2＝1.　(2)x1＝5，x2＝－1.
20．解：(1)8；8；8
(2)由(1)可知，八(2)班成绩的平均数是8分，
∴八(2)班成绩的方差为×[(5－8)2＋(9－8)2＋(7－8)2＋(10－8)2＋(9－8)2]＝3.2.
∵3.2＞0.4，∴八(1)班成绩更稳定．
21．解：(1)
(2)画树状图略．由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的有①②⑤，①③④，①③⑤，②①⑤，②③④，②③⑤，③①④，③①⑤，③②④，③②⑤，共10种，∴抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率为＝.
22．解：(1)如图所示．
(2)设⊙P的半径为R，⊙P与AB相切于点D，连接PD，如图，则PB＝3－R，
在Rt△ABC中，AB＝＝5.
∵⊙P与AC，AB都相切，
∴AD＝AC＝4.
∴BD＝AB－AD＝5－4＝1.
在Rt△PBD中，PD2＋BD2＝PB2，
∴R2＋12＝(3－R)2，解得R＝.
23．解：(1)设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是元，
由题意，得＝×，解得x＝10，
经检验，x＝10是原分式方程的解，且符合题意，
∴x－2＝8.
答：甲种树苗每棵的价格是10元，乙种树苗每棵的价格是8元．
(2)由(1)可知，2 400÷8＝300(棵)，4 800÷10＝480(棵)，
由题意，得480＋＝2 400＋4 800＋220m，
解得m1＝12，m2＝0(不符合题意，舍去)．
答：m的值为12.
24．(1)证明：如图，连接OC，AC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，且CE＝CF，
∴AC是∠EAF的平分线，∠CFA＝90°，
∴∠1＝∠2.
∵OA＝OC，∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴OC∥AF.又∵∠CFA＝90°，
∴∠OCF＝90°，
∴CF是⊙O的切线．
(2)解：∵∠BAF＝60°，∴∠1＝∠2＝30°.
∵CE＝CF＝，∴在Rt△ACE中，AC＝2CE＝2，∴AE＝＝3.
易知∠COE＝2∠2＝60°，∴∠OCE＝30°，∴OE＝OC.
又∵OA＝OC，∴OA＝OC＝2OE，∴AE＝OA＋OE＝3OE＝3，∴OE＝1，∴OA＝OC＝2，
∴S阴影＝S扇形OBC－S△OEC＝π－.
25．解：(1)－3；－5(或－5；－3)
(2)∵方程x－＝2的两个解分别为x1＝m，x2＝n，
∴m＋n＝2，mn＝－4，
∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝(2)2－2×(－4)＝32，
∴＋－6＝＋－6＝－6＝－6＝－10.
(3)∵x－＝5t－6，
∴x＋1＋＝5t－5，即x＋1＋＝t＋4t－5.
∴x1＋1＝t，x2＋1＝4t－5或x1＋1＝4t－5，x2＋1＝t.
∴x1＝t－1，x2＝4t－6或x1＝4t－6，x2＝t－1.
∴2x1＋x2＝2(t－1)＋4t－6＝6t－8或2x1＋x2＝2(4t－6)＋t－1＝9t－13.
∵2x1＋x2＝－，
∴6t－8＝－或9t－13＝－.∴t＝或t＝.
当t＝时，x2＋1＝4t－5＝0，不合题意．
故t的值为.
26．解：(1)圆心P到弦AB的中点M的距离不变化．连接PM，PA，如图．
∵点M是弦AB的中点，P为圆心，
∴PM⊥AB，MA＝MB＝AB＝2.
∵PA＝4，∴PM＝＝2.
(2)连接OM，如图．
∵⊙P的圆心为P(0，8)，∴OP＝8.
∵AB∥y轴，由(1)得PM⊥AB，∴PM⊥y轴．
在Rt△OMP中，由勾股定理得OM＝＝＝2，∴由“密距”的定义得弦AB到原点O的“密距”是2.
(3)∵当弦AB在⊙P上运动时，OP－PM≤OM≤OP＋PM，∴8－2≤d≤8＋2.

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