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10.5 用二元一次方程组解决问题
1．我国古典数学文献《增删算法统宗,六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放,二人暗里参详,甲云得乙九只羊,多乙一倍之上,乙说得甲九只,两家之数相当,二人闲坐恼心肠,画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧,两人心里暗中数羊,如果乙给甲9只羊,那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊,那么两人的羊数相同,请问甲,乙各有多少只羊？设甲有羊x只,乙有羊y只,根据题意列方程组正确的为( )
A. B.
C. D.
2．世界钢铁看中国,中国钢铁看河北．河北钢铁产能约占全国总量的五分之一,约占全球总量的十分之一．河北钢铁产业通过产能压减和绿色化转型,实现了从高消耗、高污染、高排放到高质量发展的跨越,成为全国标杆．某钢铁厂去年的利润（总产值总支出）为20亿元,今年总产值比去年增加了,总支出比去年减少了,今年的利润为78亿元．去年的总产值、总支出各是多少亿元？设去年的总产值为x亿元,总支出为y亿元,则可列方程组为( )
A. B.
C. D.
3．《孙子算经》（如图）是中国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪.现在的传本共三卷，卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法；卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法；卷下记录算题，不但提供了答案，而且还给出了解法.其中记载“今有木不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，问：几何？”译文“用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？”设绳子长x尺，木头长y尺，可列方程组为( )
A. B. C. D.
4．《孙子算经》中有一道题，其大意为：用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺（注：1尺米）；将绳子对折再量长木，长木剩余1尺.问：木长多少尺？现设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为( )
A. B. C. D.
5．《孙子算经》中有一道题,原文是：“今有木,不知长短.引绳度之,余绳四足五寸；屈绳量之,不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余尺.将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺,问木长多少尺.现设绳长x尺,木长y尺,则可列二元一次方程组为( )
A. B. C. D.
6．随着电影《哪吒2之魔童闹海》的热映，与之相关的某漫画册的销量也急剧上升.某书店分两次购进该漫画册共3500套，第二次的总价比第一次多20000元，且两次进价都是40元/套.设该书店第一次购进x套，第二次购进y套，根据题意，所列方程组正确的是( )
A. B.
C. D.
7．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为( )
A. B.
C. D.
8．《九章算术》中记载了这样一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元.问有多少人，该物品价值多少元.若设共有x个人，该物品价值y元，则符合题意的方程组为( )
A. B. C. D.
9．小妍在翻阅《九章算术》时，看到这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何.”题目大意为：甲、乙两人各有钱若干，若乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50，问甲、乙原本各有多少钱.为解决这个问题，小妍设甲原有x钱，乙原有y钱，可以得到的方程组是( )
A. B. C. D.
10．我校开设多种形式的劳动教育课程,提高同学们的基本劳动能力,帮助同学们树立“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”的观念.在某次劳动课上,同学们学习制作福袋和灯笼.已知每卷彩纸可制作福袋40个或灯笼25个,且每卷彩纸只能做其中的一种.现有36卷彩纸,完成后打算将2个福袋和1个灯笼配成一套礼物送给父母.最后彩纸没有剩余,礼物也刚好成套.设做福袋用了x卷彩纸,做灯笼用了y卷彩纸,根据题意,下面所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
11．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书大约在一千五百年前,其中一道题,原文是：＂今三人共车,两车空；二人共车,九人步.问人与车各几何？＂意思是：现有若干人和车,若每辆车乘坐3人,则空余2辆车：若每辆车乘坐2人,则有9人步行,问人与车各有多少？设有x人,y辆车,可列方程组为( )
A. B. C. D.
12．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用,已知银杏树叶年的平均滞尘量国槐树叶年的平均滞尘量的2倍少4毫克,两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克,设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x毫克,一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y毫克,依据题意,可列方程组为( )
A. B. C. D.
13．《九章算术》中有这样一道题,其大意是有大、小两种盛酒的桶,已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛,古代一种容量单位),1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.设1个大桶可以盛酒x斛,1个小桶可以盛酒y斛,则可列方程组是( )
A. B. C. D.
14．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公、众客都来到店中,一房七客多七客,…….”诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人,那么有7人无房住；…….据此求客房和客人的数量.若设客房有x间,客人有y人,得到的方程组是,则省略的条件是_________________________________________________.
15．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题,“隔墙听得客分银,不知人数不知银.七两分之多四两,九两分之少半斤”（明代的度量衡中1斤两）.其题意为：客人一起分银子,若每人7两还剩4两；若每人9两还差8两,银子共有_____________两.（注：“两”为古代货币单位）
16．某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器（如图）进行了蒸馏酒实验.用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率）如下表：
类别 原材料 出酒率
粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水）
芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水）
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16千克；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36千克，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍.
（1）求第一次实验分别用了多少千克粮食糟醅和芋头糟醅.
（2）受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的.若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少千克大米？
17．2025年春晚中由张艺谋执导的《秧BOT》节目受到了全国观众的追捧，彰显了我国在机器人技术这一领域处于世界领先地位.某科技公司分别研发出机器狗和人形机器人.已知1台机器狗和2台人形机器人一次可以运载物资，10台机器狗和5台人形机器人一次可以运载物资.求1台机器狗和1台人形机器人每次各能运载多少物资.
18．某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售.小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元.A，B两种饮料每杯分别是多少元？
19．某工厂准备在开学前生产甲、乙两种型号的开学文具礼盒共60万套.甲礼盒的成本为15元/套；乙礼盒的成本为20元/套.该工厂计划筹集资金1100万元,且全部用于生产甲、乙两种礼盒,则这两种礼盒各生产多少万套？
20．某校九年级举行读书活动，学校要求各班班长根据学生阅读需求，统计需购的书籍类型和数量，如下表所示.根据以上信息，求九（1）班和九（2）班各有多少人.
人文类/（本/人） 科学类/（本/人）
九（1）班 5 2
九（2）班 4 3
共计/本 335 190
21．某工厂承接一批纸箱加工任务，用如图（1）所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图（2）所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸箱（加工时接缝材料不计）.若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张，问竖式纸箱、横式纸箱各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？
22．宣宣家里有甲、乙两种大小不同的玻璃容器若干个,他想了解这两种容器的具体容积,于是用1个容积为50毫升的量筒,通过反复倒水比较,发现1个甲容器与50毫升量筒的容积之和恰好为2个乙容器的容积之和,2个甲容器和1个乙容器的容积之和,恰好为50毫升量筒的19倍,求每个甲、乙玻璃容器的容积各是多少毫升？
23．某水果店用3450元购进甲、乙两种水果共，每种水果的成本价与利润率如下表所示：
类别 成本价/（元/kg） 利润率
甲 20 25%
乙 15 20%
全部售完后，求该水果店获得的总利润.[注：利润=售价-成本，利润率=（售价一成本）÷成本×100%]
参考答案
1．答案：D
解析：如果乙给甲9只羊,那么甲的羊数为乙的2倍,
；
如果甲给乙9只羊,那么两人的羊数相同,
.
根据题意可列方程组.
故选：D.
2．答案：A
解析：设去年的总产值为x亿元,总支出为y亿元,
由题意得,．
3．答案：B
解析：依题意，得，故选B.
4．答案：B
解析：由“用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺”可列方程，由“将绳子对折再量长木，长木剩余1尺”可列方程.联立上述方程即可.
5．答案：B
解析：设绳长x尺,长木为y尺,
依题意得,
故选：B.
6．答案：C
解析：根据题意可列方程组故选C.
7．答案：A
解析：∵5头牛、2只羊，共值金10两，
∴；
∵2头牛、5只羊，共值金8两，
∴.
∴根据题意可列出方程组
.
故选：A.
8．答案：C
解析：每人出8元，多3元，.每人出7元，少4元，，根据题意可列方程组为
9．答案：C
解析：若乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50，.若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50，，根据题意可列方程组为
10．答案：B
解析：设做福袋用了x卷彩纸,做灯笼用了y卷彩纸,
由题意得,,
故选：B.
11．答案：B
解析：现有若干人和车,若每辆车乘坐3人,则空余2辆车：若每辆车乘坐2人,则有9人步行,问人与车各有多少？设有x人,y辆车,可列方程组为
12．答案：B
解析：已知银杏树叶年的平均滞尘量国槐树叶年的平均滞尘量的2倍少4毫克,两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克,设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x毫克,一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y毫克,依据题意,可列方程组为
13．答案：B
解析：已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛,古代一种容量单位),1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.设1个大桶可以盛酒x斛,1个小桶可以盛酒y斛,则可列方程组是
14．答案：如果每一间客房住9人,那么就恰好空出一间客房
解析：由题意可知,方程组中第一个方程对应题干已知的“每一间客房住7人,那么有7人无房住”.
第二个方程,x为客房总数量,表示实际使用的客房比总客房少1间,即空出1间客房,
表示所有客人恰好住满,
因此可得省略的条件为如果每一间客房住9人,那么就恰好空出一间客房.
15．答案：46
解析：设客人共有x人,银子为y两,
根据题意,银子总数不变,可得方程,
解得：,
银子共有两.
16．答案：（1）第一次实验用了40千克粮食糟醅和20千克芋头糟醅
（2）需要准备37.5千克大米
解析：（1）设第一次实验用了x千克粮食糟醅和y千克芋头糟醅.
由题意，得
解得
答：第一次实验用了40千克粮食糟醅和20千克芋头糟醅.
（2）方法一：设需要大米m千克.
由题意，得.
解得.
答：需要准备37.5千克大米.
方法二：（千克），
（千克）.
答：需要准备37.5千克大米.
17．答案：1台机器狗每次能运载物资，1台人形机器人每次能运载物资
解析：设1台机器狗每次能运载物资，1台人形机器人每次能运载物资，
根据题意得解得
答：1台机器狗每次能运载物资，1台人形机器人每次能运载物资.
18．答案：A饮料每杯元，B饮料每杯8元
解析：设每杯A饮料x元，每杯B饮料y元，
根据题意得：，
解得：.
答：每杯A饮料元，每杯B饮料8元.
19．答案：生产甲礼盒20万套、乙礼盒40万套
解析：设生产甲礼盒x万套、乙礼盒y万套.
根据题意,可得
解得
答：生产甲礼盒20万套、乙礼盒40万套.
20．答案：九（1）班有35人，九（2）班有40人
解析：设九（1）班有x人，九（2）班有y人.
由题意得解得
答：九（1）班有35人，九（2）班有40人.
21．答案：加工竖式纸箱200个，加工横式纸箱400个，恰好能将购进的纸板全部用完
解析：设加工竖式纸箱x个，加工横式纸箱y个.
根据题意，得
解得
答：加工竖式纸箱200个，加工横式纸箱400个，恰好能将购进的纸板全部用完.
22．答案：一个甲玻璃容器的容积为370毫升,一个乙玻璃容器的容积为210毫升.
解析：设一个甲玻璃容器的容积为x毫升,一个乙玻璃容器的容积为y毫升,
根据题意,得,
解得,
答：一个甲玻璃容器的容积为370毫升,一个乙玻璃容器的容积为210毫升.
23．答案：该水果店获得的总利润为780元
解析：设购进甲种水果，购进乙种水果.
依题意，得解得
（元）.
答：该水果店获得的总利润为780元.

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